博弈理论知识讲义

1、Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.第八章 博弈论前面章节对对经济人人最优决决策的讨讨论，是是在简单单环境下下进行的的，没有有考虑经经济人之之间决策策相互影影响的问问题。本本章讨论论这个问问题，建建立复杂杂环境下下的决策策理论。开开展这种种研究的的的理论论叫做博博弈论，也也称为对对策论(Gamme TTheoory)。最近近十几年年来，博博弈论在在经济学学中得到到了广泛泛应用，在在揭示经经济行为为相互制制约性质质方面取取得了重重大进展展。大部部分经济济行为都都可视作作博弈的的特殊情情况，比比如

2、把经经济系统统看成是是一种博博弈，把把竞争均均衡看成成是该博博弈的古古诺-纳什均均衡。博博弈论的的思想精精髓与方方法，已已成为经经济分析析基础的的必要组组成部分分。第一节 博博弈事例例博弈是一种种日常现现象，例例如棋手手下棋，双双方都要要根据对对方的行行动来决决定自己己的行动动，双方方的目的的都是要要战胜对对方，互互不相容容，互相相影响，互互相制约约。一般般来讲，博博弈现象象的特征征表现为为两个或或两个以以上具有有利害冲冲突的当当事人处处于一种种不相容容的状态态中，一一方的行行动取决决于对方方的行动动，每个个当事人人的收益益都取决决于所有有当事人人的行动动。当所所有当事事人都拿拿定主意意作出决

3、决策时，博博弈的局局势就暂暂时确定定下来。博博弈论就就是研究究这种不不相容现现象的一一种理论论，并把把当事人人叫做局局中人(plaayerr)。博弈论推广广了标准准的一人人决策理理论。在在每个局局中人的的收益都都依赖于于其他局局中人的的选择的的情况下下，追求求收益最最大化的的局中人人应该如如何采取取行动？显然，为为了确定定出可行行的策略略，每个个局中人人都必须须考虑其其他局中中人面临临的问题题。下面面来举例例说明。例1便士士匹配(Mattchiing Pennniees)(二人零零和博弈弈)设博弈中有有两个局局中人甲甲和乙，每每个局中中人都有有一块硬硬币，并并且各自自独立安安排硬币币是否正正面

4、朝上上。局中中人的收收益情况况是这样样的：如如果两个个局中人人同时出出示硬币币正面或或反面，那那么甲赢赢得元元，乙输输掉元元；如果果一个局局中人出出示硬币币正面，另另一个局局中人出出示硬币币反面，那那么甲输输掉元元，乙赢赢得元元。表1： 便士匹匹配博弈弈局势表表 乙乙甲正面反面正面(正，正)(正，反)反面(反，正)(反，反)对于这个博博弈，每每个局中中人可选选择的策策略都有有两种：正面朝朝上和反反面朝上上，即甲甲和乙的的策略集集合都是是正面面，反面。当当甲和乙乙都作出出选择时时，博弈弈的局势势就确定定了。显显然，该该博弈的的局势集集合是(正面面,正面)，(正正面,反反面)，(反面,正面)，(反

5、反面,反面)，即即各种可可能的局局势的全全体，也也称为局局势表，即即表1。表2： 甲和乙乙的收益益表 乙乙甲正面反面正面 ,反面, ,每个局中人人的收益益都取决决于所有有局中人人的决策策，也就就是说，局局中人的的收益是是博弈局局势的函函数。本本例中，甲甲的收益益函数为为：，；乙的的收益函函数为：，。局中中人的收收益函数数也可用用表格或或矩阵加加以表示示，并称称其为收收益表或或收益矩矩阵。表表2中，甲甲的收益益列在左左边，乙乙的收益益列在右右边。该博弈的特特点在于于每个局局中人的的收益都都是另一一个局中中人的付付出，即即甲和乙乙的收益益之和为为零，收收支发生生在局内内，不涉涉及任何何局外人人。这

6、种种博弈就就是所谓谓的二人人零和博博弈。习习惯上，人人们喜欢欢把二人人博弈的的第一个个局中人人甲叫做做“列”，第二二个局中中人乙叫叫做“行”，而且且总是把把列的收收益写在在前面(即左边边)，行的的收益写写在后面面(即右边边)。例2囚徒徒难题(Priisonners DDeliimma)(二人变变和博弈弈)表3： 囚徒博博弈局势势表乙甲合作背叛合作(合作,合合作)(合作,背背叛)背叛(背叛,合合作)(背叛,背背叛)有两个狂徒徒甲和乙乙因共同同参与了了一起犯犯罪活动动而被囚囚禁收审审。他们们可以选选择合作作，拒绝绝供出任任何犯罪罪事实；也可以以选择背背叛，供供出对方方的犯罪罪行径。这这就是所所谓的

7、囚囚徒博弈弈，也叫叫做囚徒徒难题。博博弈的局局中人甲甲和乙都都有两种种可选择择的策略略：合作作与背叛叛。囚徒博弈的的意义在在于它可可以解释释寡头垄垄断厂商商的行为为，关键键是赋予予合作与与背叛具具体的经经济含义义。比如如在双头头垄断的的情况下下，合作作可以解解释为“保持索索要一个个高价”，背叛叛可解释释为“降价以以争夺对对手的市市场”。右表表给出了了囚徒博博弈的局局势表。局中人可以以事先讨讨论这局局博弈，但但实际决决策必须须独立地地做出。如如果甲采采取合作作策略，不不供出乙乙的犯罪罪事实，那那么乙就就能得到到30000元的的收益。同同样，如如果乙采采取合作作策略，那那么甲就就能得到到30000

8、元的的收益。可可见，如如果甲乙乙双方都都采取合合作策略略，双方方各得330000元收益益。但是，审讯讯者用110000元奖赏赏来鼓励励局中人人采取背背叛策略略。这样样，只要要局中人人选择背背叛，他他就会得得到10000元元鼓励，而而不管另另一个局局中人会会采取什什么策略略。需要注意的的是，囚囚徒博弈弈中的货货币支付付来自第第三方局外外人，这这正是囚囚徒博弈弈同便士士匹配博博弈的不不同之处处。奥曼曼(Auumannn)119877年对囚囚徒博弈弈给出了了一个特特别简单单的描述述：每个个局中人人都可以以对仲裁裁人简单单地宣告告“给我110000元”或“给对方方30000元”。表4： 甲和乙乙的收益

9、益表 乙 甲合作背叛合作3000, 30000 0, 40000背叛4000, 01000, 10000简单分析一一下就会会发现，如如果一个个局中人人采取合合作策略略，而另另一个局局中人采采取背叛叛策略，那那么采取取合作策策略的局局中人的的收益为为零，而而采取背背叛策略略的局中中人的收收益为440000元(330000元收益益再加上上10000元的的背叛鼓鼓励)。如如果双方方都采取取背叛策策略，则则双方的的收益各各为10000元元。表44列出了了甲乙双双方的收收益情况况。从收收益表可可以看出出，甲乙乙双方的的收益之之和不为为零，而而且收益益和是变变化的。因因此，囚囚徒博弈弈是一种种变和博博弈。

10、直觉上看，甲甲和乙都都应采取取合作策策略(互互不供出出对方的的犯罪事事实)，各各得30000元元收益。但但从收益益表可以以得出这这样的结结论：如如果一个个局中人人认为另另一个局局中人将将合作，从从而他将将得到330000元收益益，那么么他若采采取背叛叛策略，就就将总共共能获得得40000元的的收益；如果他他认为另另一个局局中人为为了得到到10000元鼓鼓励而将将背叛，那那么他也也就只好好为了自自己也取取得10000元元鼓励而而采取背背叛策略略(否则则，他将将一无所所获)。总总之，在在收益最最大化动动机的驱驱使下，局局中人的的最优选选择是背背叛。这这样一来来，甲乙乙双方都都采取背背叛策略略，各得

11、得10000元收收益；而而不是都都采取合合作策略略，各得得30000元。这这是一个个典型的的博弈悖悖论，问问题的关关键在于于每个局局中人都都有背叛叛的鼓励励，而不不管其他他局中人人将做什什么。例3古诺诺博弈(双头垄垄断：产产量较量量)法国经济学学家古诺诺(Coournnot)于18838年年以天然然矿泉井井为例，首首次建立立了简单单的双头头垄断博博弈模型型，其特特点是，垄垄断厂商商双方都都天真地地以为对对方不会会改变原原有产量量水平，双双方都追追求各自自利润最最大化。古古诺假定定：有两个个天然矿矿泉在一一起，分分别为厂厂商甲和和乙占有有；两个矿矿泉都为为自流井井，生产产成本为为零，边边际成本本

12、也为零零；甲和乙乙面对相相同的需需求曲线线，采用用相同的的价格；双方都都以为对对方的产产量水平平不会改改变。在在这些假假设前提提下，甲甲和乙各各自独立立决定自自己的产产量水平平，以求求利润最最大化。设是甲乙双双方共同同面临的的反需求求函数。当当甲的矿矿泉水产产量为，乙乙的产量量为时，矿矿泉水的的市场价价格为，甲甲的利润润, 乙乙的利润润为。在在这个博博弈中，甲甲乙双方方的策略略都表现现为选择择产量水水平，局局中人的的收益即即为厂商商的利润润。当甲甲的产量量为时，乙乙以为甲甲不会改改变这一一产量，而而选择一一个合适适的产量量水平以以使自己己的利润润达到最最大。同同样，当当乙的产产量水平平为时，甲

13、甲以为乙乙不会改改变这一一产量，而而选择一一个合适适的产量量水平以以使自己己的利润润达到最最大。为了说明这这个博弈弈的结果果，假设设甲乙双双方面临临的反需需求函数数。用表示示这局博博弈中甲甲选择的的最优产产量，表表示乙选选择的最最优产量量水平，则则甲乙各各自的收收益分别别为和。由于于实现了了利润最最大化，因因此解之得：当当乙的产产量水平平为时，甲甲决定的的产量水水平为(这是甲甲对乙的的反应函函数)；当甲的的产量水水平为时时，乙决决定的产产量水平平为(这这是乙对对甲的反反应函数数)。其其中，表表示矿泉泉水市场场容量(即价格格为零时时的矿泉泉水需求求量)。进进一步求求解可得得：, 即博弈弈的结果果

14、是双方方最终各各占据矿矿泉市场场的三分分之一。反反应函数数说明，古古诺博弈弈中每个个局中人人的决策策(选定定的产量量水平)不但依依赖于其其他局中中人的决决策，而而且与市市场的容容量有关关。例4贝特特兰博弈弈(双头头垄断：价格较较量)古诺博弈模模型描述述了双头头垄断厂厂商之间间展开的的产量较较量。实实际上厂厂商之间间的产量量较量并并不如价价格较量量那么普普遍，寡寡头之间间应该有有激烈的的价格竞竞争。不不论市场场价格如如何，只只要某一一厂商降降低价格格，而其其他竞争争对手保保持原价价格不变变，那么么降价厂厂商就能能占有全全部市场场。这就就是说，我我们假定定消费者者只从最最低价格格厂商那那里购买买产

15、品。为为此，法法国经济济学家贝贝特兰(Berrtraand)于18883年年提出了了以价格格为选择择策略的的贝特兰兰博弈模模型，反反对古诺诺关于产产量的博博弈模型型。还以矿泉水水为例，在在贝特兰兰博弈模模型中各各厂商都都预期对对手不会会改变价价格，从从而将自自己的价价格确定定在利润润最大化化的水平平之上。这这就是说说，贝特特兰博弈弈的构建建同古诺诺博弈相相似，所所不同的的是贝特特兰博弈弈中局中中人的策策略是选选择价格格，而古古诺博弈弈局中人人的策略略是选择择产量水水平。贝特兰博弈弈中两个个局中人人甲和乙乙也是面面临相同同的市场场需求函函数，不不过现在在价格是是自变量量，产量量为因变变量(古古诺

16、模型型正好相相反)。设设市场需需求函数数为, 为了分分析上简简单起见见，进一一步设(这里，,，即与古诺模型中的市场需求相同)。局中人的收益仍是他所获得的利润。如果甲和乙乙不相互互勾结串串通，当当乙采取取了价格格水平时时，甲认认为乙不不会改变变这一价价格水平平，从而而为了占占领市场场而要采采取低于于乙的价价格水平平的价格格，于是是甲的利利润为，乙乙的利润润为零；同样，当当甲采取取了价格格水平时时，乙认认为甲不不会改变变这一价价格水平平，从而而为了占占领市场场而要采采取低于于甲的价价格水平平的价格格，于是是乙的利利润为, 甲的的利润为为零。如果甲和乙乙相互勾勾结串通通起来，采采取相同同的价格格策略

17、，即即，那么么甲和乙乙就能索索要一个个垄断价价格，并并且每人人可收取取一半的的垄断利利润。由此可见，甲甲和乙的的利润函函数分别别为： ， 如果甲和乙乙勾结串串通，合合作起来来，那么么双方就就能按照照最大利利润价格格获得垄垄断价格格，并且且各得最最大利润润的一半半。这里里，利润润最大化化价格是是按照确定的。但但是，占占领市场场的诱惑惑对每个个局中人人都存在在，只要要他稍微微降价，他他就能获获得全部部市场。假假如甲先先进入该该矿泉市市场，那那么甲就就按照利利润最大大化价格格$P_1=QQ_o/(2bb)$获获取最大大利润。 继而乙乙进入这这个市场场，且乙乙认为甲甲不会改改变他的的价格$P_11$，

18、于于是乙为为了夺取取市场而而采取低低于甲的的价格水水平的一一个价格格(。由于于乙夺走走了市场场，甲同同样又会会采取低低于乙的的价格水水平的价价格，以以夺回市市场。这这样不断断往复下下去，直直至最后后甲乙双双方都把把价格水水平定为为零时才才可达到到均衡，此此时双方方的收益益为零，市市场各占占一半(即甲的的销售量量和乙的的销售量量相等，且且)。这这就是甲甲乙双方方不合作作的结果果，双方方都变得得更差。以上分析表表明：把把贝特兰兰博弈与与古诺博博弈作比比较，对对同一市市场来说说，由于于选择了了不同的的策略集集合(一一个以产产量作为为策略，另另一个以以定价作作为策略略)，得得出了不不同的博博弈结果果，

19、贝特特兰博弈弈的均衡衡价格、均均衡产量量和均衡衡利润都都呈完全全竞争状状态(超超额利润润为零)，而古古诺博弈弈的结果果不是这这样；再再把贝特特兰博弈弈同囚徒徒难题博博弈作比比较，二二者具有有相似的的结构，即即局中人人合作会会取得最最好的结结果，但但利益的的诱惑促促使他们们采取不不合作的的行动，致致使双方方博弈的的结局都都变得更更差。贝特兰博弈弈也可用用囚徒博博以来解解释：合合作是指指两个厂厂商的勾勾结，背背叛是指指两个厂厂商独立立行动，没没有勾结结。合作作，可以以索要一一个高的的垄断价价格；背背叛，则则导致市市场价格格为零，双双方利润润为零。可可见，双双方合作作起来，对对两个厂厂商都有有利，似

20、似乎应该该合作。但但博弈的的最终结结果是双双方都采采取背叛叛策略，导导致谁也也得不到到利润。本节所举的的这些事事例说明明，寡头头垄断厂厂商之间间展开的的竞争与与较量完完全可以以用博弈弈加以描描述和研研究。实实际上，经经济学中中大部分分经济现现象都可可以作为为博弈的的特殊情情形进行行研究，比比如历史史上解决决竞争均均衡的存存在性这这一经济济学基本本问题时时，就把把经济系系统看成成为一局局博弈。为了研究博博弈，必必须抓住住博弈现现象的基基本要素素，这些些要素是是：局中中人、策策略、收收益。也也就是说说，博弈弈可以用用局中人人集合、策策略集合合和收益益函数加加以描述述。局中中人从策策略集合合中选择择

21、一种策策略后所所获得的的效用或或利益，就就是局中中人的收收益(ppayooffss)，也也叫做得得失。我我们假定定每一个个局中人人都知道道他自己己和别人人的策略略集合与与收益函函数，这这就是说说，每个个局中人人的策略略集合与与收益函函数为所所有局中中人所共共知。当当然，每每个局中中人都知知道其他他局中人人掌握着着这些信信息和知知识。局局中人的的收益不不但依赖赖于他自自己的策策略选择择，而且且依赖于于其他局局中人的的策略选选择。我我们再假假定每个个局中人人在给定定的主观观信念下下会选择择收益最最大化的的行动，并并且当新新的信息息根据贝贝叶斯规规则到来来时，这这些信息息会得到到修正(即根据据贝叶斯

22、斯全概率率公式从从先验概概率计算算后验概概率)。第二节 策策略博弈弈为了能够正正确地应应用博弈弈论研究究经济问问题，需需要对博博弈加以以准确地地描述和和定义。要要定义一一个博弈弈，需要要确定三三件事情情：一是是局中人人集合(sett off pllayeers)，一是是局中人人的策略略集合(sett off sttrattegiies)，一是是局中人人的收益益函数(payyofff fuuncttionn)。这这三件事事情中，确确定策略略集合是是至关重重要的。局局中人以以策略决决定胜负负，目标标是使他他的收益益最大化化。这种种以策略略定胜负负的博弈弈，称为为策略博博弈(ggamee off s

23、ttrattegyy)。正正象比较较古诺博博弈和贝贝特兰博博弈时说说明的问问题一样样，用博博弈论研研究经济济问题时时，对于于同一经经济现象象，由于于选择了了不同的的策略集集合，得得到的博博弈结果果截然不不同。用表示博弈弈的局中中人集合合，表示示局中人人的策略略集合，表示的收益函数，则就表示了一个博弈。根据局中人的多少，博弈可分为二人博弈和多人博弈。根据博弈的策略集合是否有限，博弈还又可分为有限博弈和无限博弈。例如，便士匹配和囚徒难题都是有限博弈，而古诺博弈和贝特兰博弈都是无限博弈。还可根据所有局中人的收益总和是否固定，把博弈分为常和博弈和变和博弈。常和博弈分为零和博弈(即收益总和为零的博弈)和

24、非零和博弈。二人零和有限博弈是所有博弈中最简单、最重要的一类，通常称为矩阵博弈。本节以二人博弈为重点，介绍有关策略博弈的概念与理论。一策略表表与收益益矩阵设二人博弈弈的局中中人是甲甲和乙。甲甲有种可可选策略略，策略略表为；乙有种种可选策策略，策策略表为为。当甲甲采取策策略，乙乙采取策策略时，称为为博弈的的局势，集集合就是是局势集集合(局势表表、局势矩矩阵)，即即每个局中人人选择自自己的策策略时，都都要考虑虑对手的的行动。这这样每个个局中人人的收益益不但与与自己的的选择有有关，而而且与对对手的选选择有关关，收益益函数是是定义在在局势集集合上的的函数，这这里假定定了局中中人的收收益是可可以用实实数

25、来都都来计量量的。用用表示局局中人甲甲的收益益函数，用用表示局局中人乙乙的收益益函数。由由于局势势集合是是有限集集合，收收益函数数和都可用用矩阵加加以表示示，这些些矩阵就就称为收收益矩阵阵。记,，则甲甲和乙的的收益矩矩阵分别别为：，当(常数)时，该该博弈就就是常和和博弈。否否则，就就是变和和博弈。局局中人的的策略与与收益也也可用收收益表加加以表达达：表1： 博弈的的收益表表乙的策略甲的策略，一般情况下下，二人人博弈可可表示成成。但对对于二人人常和博博弈，则则可简单单地表示示成，其其中为收收益的常常数和。而而矩阵博博弈则可可更简单单地表示示成，或或者直接接用甲的的收益矩矩阵来表表示矩阵阵博弈。二

26、最小最最大原理理局中人的目目标是选选择使自自己收益益最大化化的策略略，我们们来分析析局中人人如何决决策。假假定甲乙乙双方彼彼此了解解对方的的收益表表。如果果甲通过过间谍获获悉乙采采取某种种策略时时，甲必必然会采采取相应应的某种种策略，以以求自己己的收益益最大，即即选择使使下式成成立：但是，当甲甲不知道道乙会采采取什么么策略时时，如果果甲是一一个避险险者，那那么他必必将作最最坏的打打算，以以求取得得较好的的效果。首首先，甲甲要从收收益表中中找出自自己的每每一种策策略下至至少可获获得的收收益(即所能能获得的的最小收收益)，即先先求解，然然后从这这些最小小收益策策略中选选择出收收益最大大的策略略，即

27、“从最小小收益中中选择最最大收益益”。从收收益矩阵阵来看这这个决策策过程，即即甲首先先选出自自己的收收益矩阵阵的各行行的最小小值，然然后从这这些最小小值中再再选出最最大值：这就是求解解策略博博弈的最最小最大大原理，其其合理性性表现为为：如果果甲采取取按照最最小最大大原理确确定的策策略，那那么不论论乙采取取什么策策略，甲甲都可至至少得到到这个最最小最大大收益。由由此可见见，最小小最大原原理是能能够确保保局中人人收益的的一种原原理。今今后，我我们把局局中人甲甲按照最最小最大大原理所所确定的的策略，叫叫做甲的的稳妥策策略。对于局中人人乙来说说，他的的决策行行为和决决策过程程同甲是是一样的的，只不不过

28、乙要要依赖于于收益矩矩阵。乙乙决策的的最小最最大原理理是：乙乙先选出出收益矩矩阵的各各列的最最小值，然然后从这这些最小小值中选选出最大大值：局中人乙按按照最小小最大原原理确定定的策略略，称为为乙的稳稳妥策略略。读者可能会会问：甲甲先找出出他的收收益矩阵阵各列的的最大值值，然后后再从这这些最大大值中选选出最小小值，不不也是一一种很好好的决策策办法吗吗？其实实，这种种决策办办法叫做做最大最最小法，照照此办法法做出的的决策，在在甲不知知道乙会会采取什什么策略略的情况况下不能能保证甲甲的最大大最小收收益能够够达到。原原因在于于最大最最小法需需要确定定出乙的的每种策策略下甲甲的最大大可能的的收益。假假如

29、甲按按照最大大最小法法选出了了策略, 那么么当乙采采用策略略时，甲甲可得到到最大最最小收益益。但是是，若乙乙采用的的不是策策略, 而是策策略，那那么甲如如不重新新选择他他的收益益矩阵第第列的最最大值的的话，他他的最大大最小收收益就不不一定能能够达到到，这正正是最大大最小法法同最小小最大原原理的区区别。实际中，在在甲不知知道乙会会采取什什么策略略的情况况下选定定了自己己的策略略以后，乙乙的策略略才出台台，为甲甲也获悉悉了乙的的这一行行动时，甲甲很有可可能来不不及调整整自己原原定的策策略，从从而给甲甲带来一一定的损损失。因因此，最最大最小小法在保保证局中中人收益益方面不不如最小小最大原原理那么么保

30、险。当甲和乙的的稳妥策策略都已已选定时时，二者者结合起起来能否否成为博博弈的结结果呢？答案是是未必。请请看下面面二人零零和博弈弈的事例例。例1. 高高度不确确定的博博弈考虑二人博博弈，甲甲的策略略集合，乙乙的策略略集合，甲甲和乙的的收益矩矩阵和通过博博弈的收收益表给给出(见表22)。表2： 甲和乙乙的收益益表乙甲4，1，2，3，对于甲来说说，；对对于乙来来说，。这这说明甲甲的稳妥妥策略是是，乙的的稳妥策策略是。但是，当甲甲采取时时，乙采采取的收收益小于于采取的的收益，因因而乙要要改用策策略。在在乙改用用后，甲甲采取策策略的收收益小于于采取的的收益，因因而甲也也要改用用策略。而而当甲改改用后，乙

31、乙采用的的收益小小于采用用的收益益，于是是乙又要要改回到到；在乙乙改回到到后，甲甲也要改改回到收收益最大大的策略略。这就就让我们们看到：当甲采采取时，乙乙要采用用；然后后甲改用用，乙随随之改用用；甲再再改用，乙乙又改用用，如此此不断往往复下去去，博弈弈的结局局是高度度不确定定的。一般来讲，要要想一个个二人博博弈具有有确定的的结局，必必须存在在这样的的局势：满足这个条条件的的的局势，叫叫做博弈弈的均衡或最优解解或最优局局势，其其中的和和分别叫叫做局中中人甲和和乙的最最优策略略或均衡策策略。这这个条件件也就叫叫做博弈弈的均衡衡条件。对于二人常常和博弈弈来说，是是博弈的的最优解解当且仅仅当数学中，满

32、满足这个个条件的的点叫做做函数的的鞍点。因因此，是是博弈的的最优解解当且仅仅当是收收益函数数的鞍点点。下面面的定理理给出了了鞍点的的判别条条件。鞍点定理是收益益函数的的鞍点的的充要条条件是：证明：必要要性. 设是的鞍点点，即。从可知，对对一切成成立，这这就蕴含含着，即即。注意，。这这就证明明了。充分性设设满足。从从可知；从从可知。所所以，即即是函数数的鞍点点。既然二人常常和博弈弈的最优优解恰好好就是收收益函数数的鞍点点，鞍点点定理告告诉我们们，当收收益函数数的鞍点点存在时时，利用用最小最最大原理理确定的的博弈局局势就是是二人常常和博弈弈的最优优解。但是，当收收益矩阵阵不存在在鞍点时时，常和和博

33、弈就就没有最最优解，博博弈的结结局就是是高度不不确定的的。鉴于于此，我我们将有有鞍点的的常和博博弈称为为严格确确定的博博弈。三反应函函数博弈的局中中人总是是要考虑虑对手的的行动，然然后确定定自己的的对策。当当乙采取取了某种种策略，而而且被甲甲所觉察察时，甲甲必然有有所反应应，要确确定出相相应的对对策以使使自己的的收益在在乙选择择的情况况下达到到最大，即即要使。甲甲对乙的的行动的的这种反反应，确确定了一一个从乙乙的策略略集合到到甲的策策略集合合的映射射，即对对任何，甲甲的反应应策略是是按照来来确定的的。这个个映射就就叫做甲甲对乙的的反应函函数。同样的道理理，可以以确定出出乙对甲甲的反应应函数，即

34、即对任何何，是按照照来确定定的。利用反应函函数，我我们也可可以解释释博弈的的结局。就就象古诺诺博弈一一样，假假如甲先先采取某某种策略略，乙通通过某种种途径获获悉了甲甲的这一一行动，并并认为甲甲不会改改变他的的策略，于于是作出出反应，决决定采取取策略，以以使自己己的收益益最大化化。当乙乙采取策策略时，甲甲掌握了了这一信信息，并并认为乙乙不会改改变他的的策略，于于是作出出反应，改改变原来来的策略略，决定定采用，以以求收益益最大化化。这时时，乙再再次对甲甲的行为为作出反反应，采采取新策策略。甲甲也再次次对乙的的行动作作出反应应，采取取新策略略。这样样的反应应不断下下去，直直到最后后达到且且时博弈弈实

35、现了了均衡，此此时的局局势就是是博弈的的最优解解(均衡、最最优局势势)。综上所述，博博弈的结结局是实实现均衡衡，并且且均衡由由甲乙双双方的反反应函数数确定，即即由方程程组决定定。事实实上，是是该方程程组的解解当且仅仅当，而而这正是是博弈实实现均衡衡的含义义。注意意，以上上关于反反应函数数的讨论论，没有有要求策策略集合合的有限限性，即即集合和和可以是是任何集集合。下面考虑二二人无限限博弈的的一种特特殊情况况：策略略集合和和都是实实数区间间。比如如，本章章第一节节例3中中古诺博博弈的局局中人策策略集合合就是区区间(半半直线)，例44中贝特特兰博弈弈的局中中人策略略集合也也是半直直线。假假设局中中人

36、甲和和乙的收收益函数数和可微，则则甲对乙乙的反应应函数由由方程(一阶条条件)决定，乙乙对甲的的反应函函数由方方程(一阶条条件)决定，从从而博弈弈的最优优解就是是如下方方程组的的解：例2二人人博弈的的反应函函数及最最优解设二人博弈弈中，甲甲和乙的的策略集集合和为，收益益函数和和分别如如下：求偏导数得得方程组组。由此此可知局局中人甲甲和乙的的反应函函数分别别为，博博弈的最最优解为为。四策略选选择的经经济模拟拟第一节中曾曾经指出出，描述述一个博博弈时策策略集合合的选择择至关重重要。比比较古诺诺博弈和和贝特兰兰博弈，虽虽然二者者的目的的都是要要模拟同同一经济济现象双头头垄断，但但二者的的结构却却很不同

37、同。古诺诺博弈中中厂商的的策略是是选择产产量，厂厂商的收收益是策策略变量量的连续续函数；而贝特特兰博弈弈中厂商商的策略略是选择择价格，厂厂商的收收益是策策略变量量的非连连续函数数。这导导致了相相当不同同的均衡衡，究竟竟哪一种种是正确确的呢？如果抽象地地看待这这个问题题，那么么“哪一种种模型正正确”这样的的提问并并无什么么意义。要要回答这这个问题题，就必必须看模模型试图图模拟什什么。不不要问哪哪一种模模型是正正确的，而而去问策策略选择择中什么么样的考考虑是切切入主题题的，这这样的提提问可能能会更加加有益一一些。比比如，如如果我们们观察OOPECC公司的的公告，就就会发现现OPEEC企图图为每一一

38、个员工工决定产产量配额额，并且且允许按按照世界界石油市市场价格格定价，这这样按照照产量水水平而不不是按价价格水平平来模拟拟博弈策策略，就就可能更更加合理理。在策略选择择的经济济模拟中中还有另另一方面面的考虑虑，乃就就是一旦旦对手的的行为被被观察到到，那么么对手的的策略应应该是被被承诺的的或者是是难以改改变的。然然而到目目前为止止，所描描述的博博弈是“一次性性”(onne-sshott)博弈弈，其特特点是一一旦知道道对手的的行动，策策略变量量可以很很快地进进行调整整。例如如，假设设我为我我的产品品选择一一个价格格，然后后发现我我的对手手制定了了一个略略低一些些的价格格，在这这种情况况下我可可以很

39、快快地调整整我的价价格。因因此，尽尽管“一次性性”博弈所所描述的的现象应应该是发发生在实实际生活活中的现现实，但但在“一次性性”博弈中中模拟这这种能够够很快调调整的策策略反应应并不具具有多大大的意义义。似乎乎应该使使用多阶阶段博弈弈，这样样才能捕捕获到策策略选择择行为的的所有可可能的内内容。另一方面，如如果我们们把古诺诺博弈中中的产量量水平解解释成为为厂商的的生产能能力，那那么一定定产量的的产品生生产就可可能是不不可撤消消或不可可改变的的资本投投资。这这种情况况下，厂厂商一旦旦发现对对手的产产量水平平，而要要改变厂厂商自己己的产量量水平，则则可能是是难以办办到或非非常昂贵贵的。生生产能力力或产

40、量量水平似似乎是厂厂商策略略的天然然选择，即即使一次次性博弈弈中也是是这样。同大部分经经济模拟拟一样，在在策略选选择的经经济模拟拟中，如如果既要要让博弈弈简单明明了以便便分析，又又要能够够说明实实际策略略的迭接接要素，那那么如何何表示博博弈的策策略选择择，就是是一项艺艺术。第三节 重重复博弈弈到目前为止止，所谈谈论的博博弈是一一次性的的。其实实，任何何博弈都都可以一一次一次次地重复复进行，且且每一次次重复都都不是简简单地重重复前一一次的着着法，而而会考虑虑得比前前一次更更全面些些，技法法也会更更高些。就就好像棋棋手下棋棋一样，一一局结束束了再开开一局，前前一局在在某些着着法上吃吃了亏，这这一局

41、中中就会吸吸取教训训而加以以注意，正正所谓“吃一暂暂，长一一智”。反反反复复地地开局，给给棋手不不断积累累经验，让让棋手的的技艺越越来越高高。通过博弈的的重复进进行，局局中人的的经验越越来越丰丰富，这这种经验验源于博博弈历史史。实际际上，重重复博弈弈中的每每一点处处，局中中人决定定自己的的选择时时会考虑虑到达该该点之前前的全部部博弈历历史，比比如象棋棋棋手在在上一局局中因出出车慢而而吃了亏亏，那么么这一局局中就会会吸取前前一局的的教训而而赶快把把车开出出来。这这样一来来，重复复博弈中中局中人人的策略略空间随随着博弈弈被重复复的次数数的增加加而变得得越来越越大，也也就是说说，博弈弈历史越越长，局

42、局中人的的策略空空间越大大，可以以选择的的着法越越多。由由于“我的对对手会基基于我的的选择历历史而修修正他的的行为，我我必须在在做出自自己的选选择时考考虑到这这种影响响”，所以以，重复复博弈的的结果不不绝不是是一次性性博弈的的简单重重复。例1. 囚囚徒博弈弈的重复复我们以囚徒徒博弈为为例，来来分析重重复博弈弈问题。囚囚徒博弈弈中，企企图获得得“(合作作，合作作)”解是两两个局中中人的长长期利益益所在。对对于每个个局中人人来说，可可行的做做法是试试着给另另一个局局中人发发出“信号”以表明明他的“善意”，并且且在博弈弈一开始始移动就就进行合合作。当当然，背背叛是另另一个局局中人的的短期利利益所在在

43、。如果果他不合合作而采采取背叛叛策略，那那么对方方就可能能失去耐耐心而从从此以后后永远只只实行背背叛。这这样一来来，背叛叛者就会会因只看看到眼前前利益而而丧失合合作的长长期利益益。基于于这种推推理可以以得到的的事实是是，一个个局中人人目前的的做法将将在未来来将得到到回应其他他局中人人的未来来选择可可能依赖赖于这个个局中人人当前的的选择。现在来分析析一下“(合作作，合作作)”局势能能否成为为重复囚囚徒博弈弈的一个个均衡。我我们分两两种情况况进行讨讨论，一一种情况况是有限限次重复复博弈，另另一种情情况是无无限次重重复博弈弈。先讨论有限限次重复复博弈，为为此假定定每个局局中人都都知道博博弈将重重复一

44、个个固定的的次数（比比如重复复次）。考考虑最后后一轮博博弈实施施之前局局中人给给予的推推理，此此时每个个人都认认为他们们在进行行一次性性博弈。由由于这是是最后一一次移动动，将来来不会再再有，因因此均衡衡的标准准逻辑推推理便得得以应用用，其结结果是局局中人双双方都选选择“背叛”策略。再再考虑最最后一次次移动之之前的移移动，这这里似乎乎每个局局中人都都重视合合作，以以向对方方发出他他是“好人”的信号号，以便便能在下下一次以以及最后后一次移移动中合合作。但但是，我我们已经经看到，最最后一次次移动中中双方都都将采取取背叛，因因此在倒倒数第二二次的移移动中合合作就没没有什么么优势可可言。采采取合作作是为

45、了了得到长长期利益益，为了了在将来来最后一一次移动动中得到到回应。然然而，将将来最后后一次移移动中并并不能得得到合作作，双方方都背叛叛了，结结果倒数数第二次次移动中中双方也也只有采采取背叛叛。同理理不断向向后归纳纳(baackwwardds indducttionn)，结结果最后后一次移移动之前前的所有有移动中中，合作作并不能能带来什什么长期期利益，没没有什么么优点，局局中人惟惟有相信信其他局局中人将将在最后后一次移移动中背背叛，用用现在的的善意企企图去影影响未来来下一次次的移动动是无利利可图的的。因此此，在重重复某一一固定次次数的囚囚徒难题题重复博博弈中，每每一局博博弈的均均衡局势势都是“(

46、背叛叛，背叛叛)”，而不不是“(合作作，合作作)”。再来考虑博博弈可无无限次重重复的情情况。当当博弈的的重复次次数为无无限时，情情况就大大不相同同了。此此时，局局中人在在每一个个阶段都都知道博博弈至少少还要重重复一次次以上，因因而合作作大有前前景，长长期利益益在望。在在这种无无限次重重复的囚囚徒博弈弈中，每每个人的的策略都都是一个个函数序序列，它它表明每每个局中中人在每每个阶段段是选择择合作还还是选择择背叛，都都是作为为此阶段段之前博博弈历史史的函数数。重复复博弈中中，局中中人的收收益是各各阶段收收益的贴贴现值之之总和贴现现和(向时刻刻0贴现现）。具具体地说说，设局局中人在在时刻的的收益(即第

47、局重重复中的的收益)为，他在在重复博博弈中的的收益就就是贴现现和，其其中为贴贴现率。只只要贴现现率不很很高，囚囚徒博弈弈每一局局重复的的均衡局局势便都都是“(合作作，合作作)”，每个个人在各各个阶段段都会看看到合作作的利益益。为了了说明这这个事实实，我们们采用第第一节例例2提供供的数据据。假设两个局局中人一一直合作作，移动动到了时时刻。如如果本次次移动中中一个人人决定背背叛，那那么另一一个人会会因本次次移动中中采取合合作而未未得收益益，从而而从下次次以后永永远采取取背叛策策略，给给对方以以惩罚。第第一个背背叛者从从本次开开始，以以后只能能继续背背叛（因因为合作作的收益益为零），结结果他虽虽然在

48、本本次移动动中立即即得到了了40000元的的收益，但但也以以以后无限限次的110000元收益益这个低低收益流流来毁灭灭自己，他他从背叛叛中得到到的收益益贴现和和为元。另另一方面面，如果果他持续续合作下下去，永永不背叛叛，那么么对方也也不会背背叛，于于是他从从合作中中得到的的收益贴贴现和为为元。比比较和可知，只只要贴现现率，就就有。这这就说明明，只要要贴现率率不很高高，当一一方背叛叛时，另另一方也也采取背背叛给其其以惩罚罚，就能能使背叛叛者偿其其苦果。由由此看来来，只有有双方互互相合作作下去。如如有一方方背叛，另另一方就就要执行行惩罚策策略来使使背叛者者饱偿苦苦果，因因而没有有一方能能够从背背叛

49、中会会有收获获。所以以，在贴贴现率不不很高的的情况下下，囚徒徒博弈重重复的均均衡是局局中人双双方在各各阶段都都采取合合作策略略。以上论述实实际上是是很有力力的，有有一个称称为弗尔尔克(FFolkk)的著著名定理理支持了了这一论论述。该该定理断断言：在在重复的的囚徒博博弈中，任任何收益益如果高高于局中中人双方方一致背背叛所能能得到的的收益，那那么都将将被作为为重复博博弈均衡衡而得到到支持。上上面我们们还提到到了惩罚罚策略，实实际上这这个策略略可明确确叙述成成：“在当前前移动中中合作，除除非其他他局中人人在最后后移动中中背叛”。采取取这个策策略的理理由是，如如果一个个局中人人背叛，那那么他将将在收

50、益益上得到到永久性性惩罚。另另外，上上面论述述中还涉涉及到了了贴现率率，并要要求贴现现率不很很高。实实际上，当当贴现率率很高时时，当前前收益就就是特别别重要的的，因为为将来的的货币贬贬值太大大了，现现在的收收益要抵抵得上将将来收益益的好几几倍，因因而当事事人只好好顾及当当前收益益，力求求当前收收益越多多越好，而而把未来来长远利利益放在在次要位位置上。下面再看一一个双头头垄断的的重复博博弈事例例。例2维持持卡特尔尔考虑一个简简单的重重复双头头垄断，如如果两个个厂商都都执行古古诺博弈弈均衡策策略，则则得到利利润；如如果以共共同利润润最大化化决定产产量水平平，即执执行卡特特尔行动动，则得得到利润润。

51、我们们知道，一一次性博博弈中共共同利润润最大化化的产量量不是博博弈均衡衡，每个个厂商都都有激励励去倾销销额外数数量的产产品，如如果他认认为其他他厂商将将保持产产量不变变的话。但但是在重重复博弈弈中，只只要贴现现率不太太高，合合作起来来以使共共同利润润最大化化之策略略，将是是重复博博弈的最最优解。可以证明，如如果这种种简单的的双头垄垄断博弈弈是一次次性的，那那么每个个厂商以以古诺产产量生产产将是博博弈的最最优解。但但是，如如果这个个博弈是是不断重重复的，那那么每个个厂商都都采取按按照卡特特尔产量量生产的的策略，即即都选择择合作，将将是双头头垄断重重复博弈弈的最优优解。对对不合作作的适当当惩罚，是

52、是采取生生产古诺诺产量水水平这一一策略。可可见，在在不断重重复的双双头垄断断博弈中中，由于于一次性性博弈均均衡这种种惩罚策策略的存存在，局局中人都都将以长长远利益益为重，来来维持卡卡特尔。第四节 混混合策略略并非所有博博弈都有有严格确确定的结结局。进进一步，实实际中博博弈局中中人常常常希望自自己的行行动隐秘秘不被暴暴露，不不被对手手觉察。对对于这两两个问题题，目前前意义上上的策略略博弈是是解决不不了的。在在博弈非非严格确确定或者者局中人人希望保保守秘密密的情况况下，局局中人的的最好做做法是采采取混合合策略，即即以一定定的概率率采取某某种策略略。这样样做，甚甚至连局局中人自自己也不不知道每每一次

53、行行动中究究竟采取取什么策策略，竞竞争对手手就更不不得而知知了。而而且对于于非严格格确定的的博弈来来说，采采用混合合策略就就可求得得最优解解。当一一种混合合策略以以概率11选择某某种策略略时，这这种策略略就是前前三节所所谈论的的“纯”策略，可可见混合合策略扩扩展了策策略概念念。一混合策策略的概概念我们以两人人博弈为为例，来来对混合合策略的的概念以以及采取取混合策策略时局局中人的的行动目目标进行行解释。至至于更一一般的多多人博弈弈，将在在下一节节中讨论论。设为有限二二人策略略博弈，其其中为局局中人甲甲的策略略集合，为乙的策略集合，和分别为甲和乙的收益函数。局中人为了了保持自自己决策策的秘密密性，

54、不不再象以以前那样样选择纯纯策略，而而决定采采用随机机办法来来选择策策略。也也就是说说，局中中人对纯纯策略的的选择由由某种随随机装置置来决定定，对每每个纯策策略来说说，采用用它只有有可能性性的大小小，也就就是用多多大的概概率来选选择各个个纯策略略。这样样，对方方就不可可能事先先知道究究竟选择择哪个纯纯策略，甚甚至连局局中人自自己也不不可能事事先知道道，而纯纯策略是是在最后后时刻借借助随机机装置选选择出来来的。通通过借助助随机装装置，局局中人原原来对纯纯策略的的选择变变成为现现在对各各个纯策策略的概概率大小小的选择择。如果还嫌借借助随机机装置给给出的选选择各个个纯策略略的概率率大小具具有一定定的

55、客观观性，怕怕被对方方估计出出来，局局中人还还可进一一步采取取主观概概率分布布，以使使对纯策策略的选选择带有有真正的的不确定定性(参参见第六六章关于于主观概概率的介介绍)。这种以某种种概率选选择的策策略就是是混合策策略，更更准确地地说，选选择混合合策略就就是选择择一个概概率分布布，然后后按照这这个分布布给出的的概率来来选择各各个纯策策略。假假如甲选选择策略略的概率率为 ，则向向量代表表着甲选选择各种种纯策略略的概率率分布，实实际上就就表示了了甲的一一种混合合策略。这这就是说说，混合合策略是是用概率率分布来来表示的的，混合合策略的的变化完完全反映映为概率率分布的的变化。今今后，我我们把概概率分布

56、布就称为为局中人人甲的混混合策略略。原来的纯策策略可看看成是这这样的一一种混合合策略：以概率率1选择择策略，以以概率00选择其其他策略略。如此此一来，甲甲的策略略集合由由原来的的纯策略略集合扩扩张成为为混合策策略集合合。同样样，局中中人乙的的选择集集合也由由原来的的纯策略略集合扩扩张成为为混合策策略集合合。当甲甲采取混混合策略略，乙采采取混合合策略时时，就称称为博弈弈的混合局局势。在采取混合合策略的的情况下下，局中中人的目目标是要要使预期期收益最最大化。当当甲采取取混合策策略，乙乙采取混混合策略略时，甲甲和乙的的预期收收益分别别为和：这里，和都都写成行行向量形形式，“”为转置置运算。甲甲的收益

57、益函数由由原来的的扩充成成为，乙乙的收益益函数由由原来的的扩充成成为。在策略集合合和收益益函数都都得到扩扩充以后后，原来来的纯策策略博弈弈就扩充充成为混混合策略略博弈，而而且可看看成是一一般的二二人博弈弈，不过过这个博博弈的收收益函数数具有双双线性性性，即对对于任何何，及任任何实数数，都成成立：的混合局势势就是的的局势。博博弈叫做做纯策略略博弈的的混合扩扩充。关关于混合合扩充，下下述两个个事实是是明显的的：(1) 博博弈是常常和博弈弈当且仅仅当混合合扩充是是常和博博弈。(2) 如如果是常常和博弈弈，则混混合扩充充保持了了原来博博弈的收收益和。混合扩充的的最优解解(均衡)，叫做做原博弈弈的最优混

58、混合解(混合均均衡)。也即即是的最优优混合解解，是指指且。当是的最优优混合解解时，和和分别叫叫做甲和和乙的最最优混合合策略。可可以证明明：(3) 纯纯策略博博弈的最最优解必必然是混混合扩充充的最优优解。(4) 当当是常和和博弈时时，是的最优优混合解解当且仅仅当。从(4)可可知，是是常和博博弈的最最优混合合解当切切仅当是是预期收收益函数数的鞍点点。应用用第二节节的鞍点点定理，我我们得到到常和博博弈的最最优混合合解的又又一判别别条件：(5) 设设是二人人常和博博弈，则则是的最优优混合解解的充分分必要条条件是 。二混合策策略的意意义有时，给予予混合策策略一个个有意义义的解释释是困难难的。第第一节例例

59、1所述述的便士士匹配博博弈，由由于收益益矩阵没没有鞍点点，因而而没有纯纯策略意意义下的的最优解解。但由由于硬币币出现正正面或反反面，总总有一个个概率分分布情况况，因此此采取混混合策略略来把便便士匹配配博弈加加以扩充充，然后后寻找混混合策略略意义下下的最优优解，这这显然是是我们大大家都能能够感觉觉得到的的应该采采取的做做法。然然而对于于象双头头垄断这这样的一一些其他他经济利利益博弈弈来说，采采取混合合策略似似乎是不不现实的的。除了混合策策略在一一定范围围内缺乏乏现实意意义外，还还有一些些逻辑上上的原因因导致对对混合策策略难以以解释。我我们用一一个例子子来说明明这一点点。例1性别别博弈(Battt

60、lee off thhe SSexees)性别博弈收收益表卡夫茹达话剧足球话剧2，10，0足球0，01，2这里介绍的的博弈背背后隐藏藏的故事事是一场场“性别之之战”。茹达达(Rhhondda，女女)和卡卡夫(CCalvvin，男男)本周周末一起起欢度良良宵，但但他们二二人的娱娱乐爱好好不同。茹茹达喜欢欢看话剧剧，而卡卡夫喜欢欢看足球球比赛。如如果他们们同时选选择看话话剧，则则茹达可可得2个个单位的的效用，卡卡夫可得得1个单单位的效效用；如如果同时时选择看看足球比比赛，则则他们得得到的效效用正好好与此相相反；如如果他们们选择不不同的娱娱乐，则则得不到到任何效效用。右右表给出出了茹达达和卡夫夫的收