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1、PAGE PAGE PAGE 3习题课(一) 计数原理一、选择题1(x3x2x1)(y2y1)(z1)展开后的不同项数为()A9B12C18 D24解析:选D分三步:第一步,从(x3x2x1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2y1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z1)中任取一项有2种方法根据分步乘法计数原理得不同项数为43224.2教室里有6盏灯,由3个开关控制,每个开关控制2盏灯,则不同的照明方法有()A63种 B31种C8种 D7种解析:选D由题意知,可以开2盏、4盏、6盏灯照明,不同方法有Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,3)Ceq oal(3,3)7(种)3小王有
2、70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡若他至少买一张,则不同的买法共有()A7种 B8种C6种 D9种解析:选A要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”,分3类完成:买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事买1张IC卡有2种方法,买2张IC卡有3种方法,买3张IC卡有2种方法不同的买法共有2327种4将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A252种 B112种C70种 D56种解析:选B分两类:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分
3、配方案共Ceq oal(3,7)Aeq oal(2,2)Ceq oal(2,7)Aeq oal(2,2)352212112(种)5用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个解析:选B当五位数的万位数字为4时,个位数字可以是0,2,此时满足条件的偶数共有Ceq oal(1,2)Aeq oal(3,4)48(个);当五位数的万位数字为5时,个位数字可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有Ceq oal(1,3)Aeq oal(3,4)72(个),所以比40 000大的偶数共有4872120(个)故选B.66把椅子
4、摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120C72 D24解析:选D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个空当,再把三人带椅子插放在四个空当中,即共有Aeq oal(3,4)24种坐法二、填空题7.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,则从A处到B处共有_条不同的线路可通电. 解析:按上、中、下三条线路可分为三类,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有224条根据分类加法计数原理,共有3148条不同的线路答案:885n13n(nN)除以3的余数是_. 解析:5n13n(61)n(121)nCeq oal(0,n)6n(1)0Ceq oal(1,n)6n1(1
5、)1Ceq oal(n,n)60(1)nCeq oal(0,n)12nCeq oal(1,n)12n1Ceq oal(n,n)120.当n为奇数时,Ceq oal(n,n)60(1)nCeq oal(n,n)1200,故5n13n能被3整除,余数为0.当n为偶数时,Ceq oal(n,n)60(1)nCeq oal(n,n)1202,故5n13n被3除余数为2.答案:0或29农科院小李在做某项试验中,计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种,分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物),若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱,则不同的种植方案有_种(用数字作答)解
6、析:由已知条件可得第1块地有Ceq oal(1,2)种种植方法,则第24块地共有Aeq oal(3,5)种种植方法,由分步乘法计数原理可得,不同的种植方案有Ceq oal(1,2)Aeq oal(3,5)120种答案:120三、解答题10某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血共有9人,AB型血共有3人(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不
7、同的选法(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以由分类加法计数原理,共有2879347种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以由分步乘法计数原理,共有287935 292种不同的选法11已知二项式eq blc(rc)(avs4alco1(5xf(1,r(x)n展开式中各项系数之和比二项式系数之和大240.(1)求n;(2)求展开式中含x项的系数;(3)求展开式中所有含x的有理项解:(1)由已知得,4n2n240,2n16,n4.(2)二项展开式的通项为Ceq o
8、al(r,4)(5x)4req blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)rCeq oal(r,4)54r(1)rx4eq f(3,2)r,令4eq f(3,2)r1r2,所以含x项的系数为Ceq oal(2,4)52(1)2150.(3)由(2)得,4eq f(3,2)rZ(r0,1,2,3,4),即r0,2,4.所以展开式中所有含x的有理项为:第1项625x4,第3项150 x,第5项x2.12已知m,n是正整数,f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值(精确到0.01)解:(1)根据题意得,Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n)7,即mn7,f(x)中的x2的系数为Ceq oal(2,m)Ceq oal(2,n)eq f(mm1,2)eq f(nn1,2)eq f(m2n2mn,2).将变形为n7m代入上式得,x2的系数为m27m21eq blc(rc)(avs4alco1(mf(7,2)2eq f(35,4),故当m3或m4时,x2的系数最小当m3,n4时,x3的系数为Ceq oal(3,3)Ceq oal(
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