五年级奥数牛吃草问题(二)教师版

1、6-1-10. 草题）教学目 初步了解牛吃草的变式,将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精英国科学家牛顿在他的普通算术一书,一道关于牛在牧场上吃草的问,牛在 牧场上吃草,场上的草在不断的、均匀的生长后人把类问题称为牛吃草问题或叫牛 顿问题“牛吃草问题主要涉及三个量草的数量的头数时间难点在于随着时间的增长, 草也在按不变的速度均匀生长,以草的总量不定牛草问题是小学应用中的难点解牛吃”问的要依： 草每天生长量不变； 每牛每天的食草量不变； 草总量 场有的草量 生的草量,中草场原有的草量是一个固定值 新的草量 天长量 数同片场的牛吃”问题一般解可结：设定 牛 天吃草量为1；草的生长速度 对牛的

2、头数 多天数 应牛的头数 少数 较多天数 较少天数；原来的草量 应的头数 的天数 的长速度 的天数；吃的天数 来草量 牛的头数 的生长速度)；牛的头数 来草量 的数 的生长速度“ 牛草”题有很多的变例,抽水问题、检票口检票问题等等只有理解了牛草问 题的本质和解题思路,才能以不变应万,松解决此类问题例题精模块一、 “牛”吃草问题的变例【 1】 地车中从站到面一向的动梯小乘扶梯如每 向迈级阶那他过 20 级台后达面如每向迈级阶 那走 级阶达面从台地有 级台【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题常类似“牛吃问”如将题目改为： / 9“在地铁车站中,从站台到地面有

3、一架向上的自动扶小强乘坐扶梯,如果每秒向 上迈一级台阶,那么他走过 20 秒到达地面；果每秒向上迈两级台那么走过 秒达地面问：从站台地面有多少级台阶”采用牛吃草问题的方法 , 电 20 秒所的阶数等于小强多走的阶数： 阶 , 电 梯 速度 为 10 阶 / 秒 扶 梯 长 为 （阶【答案】 60 级【固 两顽的子着动扶行的向走,男每可 级级女孩每 可 级级结果扶的端达一男走了 秒女走 秒问 该梯有少梯？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 本题牛吃草问题类似其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自扶梯运行的 速度则相当于草的增长速度上楼的速度要分成两部一部分是孩

4、子自己的 速度,另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度 女孩每秒走梯级女走的时男孩每秒走的梯男孩 走的时间女孩走的时间男孩走的时间 300 100) 1.5 , 自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯女孩走的时自动扶梯的速女 走的时间 300 600 （）所以动扶梯共有 级梯级。 【答案】 级【固 自扶以速下上行 ,两急子孩嫌梯的慢 ,于是行驶 扶上男每秒上 1 梯女每 秒钟走 梯级结男孩 50 秒达 上女用 60 到楼。楼共有少？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 该题于草匀速减少的扶梯的运行速度(50 60 自 动扶梯的梯级总数： 100 (级)【答案】 级

5、【 2】 明甲步去地出发段间小有去赶,若骑行,每小时 行 15 千, 小可追；若摩车每小时行 35 千米 小可追；若汽每时 45 千,分能上【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本 题 “ 牛草 和程问题中的追及问题的结合小明在 3 小内走了 15 千 米 么 小 明 的 速 度 为 ( 千 米 / ), 追 及 距 离 为米汽车去追话需要： 30 34(小时) 45 (分钟)【答案】 45 分【 3】 固速行的车乙车如甲以在速的 倍赶车 小后 车上车果车现速的 倍赶车3 小时甲追乙那如 果车现的度追乙问几小后车上车【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关

6、键词】对比思想方法【解析】 分 析道甲车相当于 牛,甲追赶乙的追及路程相当于 原草量 , 乙相当于 “ 新 生长的草 / 9设甲车的速度为 5 小走的路程为 , 所乙的速 度为 1 及路程为： 如果甲以现在的速度追赶乙 ,追上 的时间为： 7.5 )【答案】 15 时【 4】 、三同从 A 地出沿一路往 地途有骑人在方 行这辆分用 7 分钟、8 分、14 分追骑人已快车分行 米慢每钟 米中速的度多？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 可以骑车人与三辆车始相差的距离看成原有草量 ,车人的速度看成草生长的 速度,所以骑车人速度是 (14 7) (米/分)开始相差

7、的路程 为(600 400) 2800米所中速车速度为2800 400 750 (分【答案】 750 米/【 5】 、三同从 A 地出到 B 地去甲乙两的度别每时 千和小 48 米有辆车同从 B 地迎开分在们发 小 时7 小、8 小先与、乙丙相,求丙车速【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 相遇题可以看成是草速减少的过,全程看成是原有草量卡车速度看成是草匀 速减少的速度。所以卡车速度为： (7 （米/时）,全程： (60 24) 504 （米）,丙车速度为： （米时【答案】 39 千/小时【固 小、南妮三同时学出到园新正两的度别 每钟 米每分 16 米他出发同

8、风从园面来分别他 出后 6 分钟 分钟、8 分钟后小、南妮相遇求妮速【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 当小和风间相遇,南落后小新 米)依题意知正南和风间走这 米要 (分钟)正和风间的速度和为： 24 24 (米分)风间的速度 为： 24 (米),校到公园的距离为： (米所以妮妮的速度 为： (分)【答案】 13 /钟【 6】 方一有的子水里往个样容的桶舀第个距 缸 1 米小方 3 次恰把装满第个距缸 米,小用 4 次好 桶满第个桶水有 米那小要多次能它满（设方路 的度变水杯流的度不变【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 小

9、 方第二个桶比第一桶多用了一杯水 , 同多走了 2 米 所以从 杯中流出的速度是 0.2 （杯/）于是 桶原水量等于 3 2.4 杯 水,所以小方要 0.2) 次能把第三个桶装满。【答案】 6 【 7】 一水,池底了些水并还泉水断出为将池的抽原 / 9计调 台抽机时作但于省时的虑实际来 台抽水, 这比计节了 8 时工师测出如果初来1 台水,将会比 原划省 小时这,将水池水干,为了持中终有,还应至 少下 台水。【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】填空【关键词】对比思想方法陈省身杯,年级【解析】 设 每抽水机每小时抽 1 个位的水 原计划需要 t 小时抽完 , 则计划 小时抽 的水量为 8t ,

10、台水机时抽水量为 t 10 台抽水机时抽水量为 10(t 12) 所 以 , 8 个 时 的 出 水 量 为 8 t 72 12 个 小 时 的 出 水 量 为 8t 10( 12) t ,而水的出水速度是一定的 ,所以1 t 1.5 (72 ,解 得 t ,所以每小时出水量为 (72 24) 所以需要留下 6 台水机。【答案】 6 抽水机模块二、“牛”的数量发生变化【 8】 一场17 头牛 天将吃, 头牛 天以完有干牛了 天,卖掉 头,余下的再两便草完原有少牛草(草 均生)？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设 1 头 牛 天 的 吃 量 为 “1” 那

11、 么 每 天 生 长 的 草 量 为 ： 现有若干头牛吃了 天后卖掉了 4 头,余下的牛再吃两天便将草吃如果不卖掉 这 头,那么原有草量需增加 4 才恰好供这些吃 天所这些牛的头数 为 头)【答案】 40 【 9】 建工开前进批砖开后天进相数的如派 15 个工砌 砖14 天以砖完如果 个人 天可以砖完现在若名人 砌 6 天后调 6 名工,余人又作 4 天砌问来多工来 墙【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工运进的砖相当于原有草量,开后每天运进相同的砖相当于“新长的草”, 工人砌砖相当于牛在吃草”以设 名工人 1 天砖数量“1,么每天运来的 砖为 20 ：

12、现在派若干名工人砌了 后调走 工人,余工人又工作 才砌完如不调 走 6 名工人,么这些工人共砌 10 天砌完 26 210 所原有工人 21 名【答案】 名【 】 一片地可供 头吃 天,也可 4 牛 40 天如 头牛 天又加 了 头一吃还可再几？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设 1 头 的吃草量为1那么每天生长的草量 原有草量为： 如 头吃 30 天那将会吃去 天新生长 草量以及 原有草量此时原有草量还剩 120 30 而牛的头数变为 6,现在就相 当于有量 30,每生长草量 1,么 6 头吃几天可将它吃完”得答案为： / 9 【答案】 6 【 】 某

13、建工开前进批开后天进同量的,如果派 250 个工人 砌墙 天可把用如派 个人 天可把用现派 名工 人了 天,又增加 名工一砌还需再几可把砖完【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工运进的砖相当于原有草量,开后每天运进相同的砖相当于“新长的草”, 工人砌砖相当于牛在吃草”以设 名工人 1 天砖数量“1,么每天运来的砖为 ,有砖的数量为： 如果 120 名工人砌 天 , 将砌掉 天新运来的砖以及 原的砖 ,还剩 1350 950 的 原 有 的 砖 未 用 , 变 成 125 人 来 砌 砖 , 还 需 要 (天【答案】 4 天【固 食厂工运一面粉开后天进同量面

14、 ,如派 个工加 工品 30 天以面用如派 个人40 天可把粉完现在派 4 名工 人工 天又加 名人起,还需几天工？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开 工运进的面粉相当 “ 原草量 工后每天运进相同的面粉相当于 “ 生长 的草”工人加工食品相当于牛在吃草设 名 工 人 1 天 用 掉 面 粉 的 量 为 “1 那 么 每 天 运 的 面 粉 量 为 果 名工人干 30 天 , 那将会加工掉 30 天新运来的面粉量以及 90 原的面粉量 有还剩 120 30 未加工而后变成 6 名人还要 30 加完【答案】 6 模块三、多块地的“牛吃草问题”【 】 东升场

15、面块 平方的场上满草牧每都匀生长这牧 场供 头吃 天或者 头吃 天在升场西有块 6000 平米牧可多头吃 天【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设 1 头 1 的吃草量为1,那么 2000 平方米的牧场上 1 天长的草量为 27 72 ,每天生长的草量为 72 么 平方米的牧场上原 有草量为： 则 平方米的牧场每天生长的草量 原有草量为： 天 , 该场共提供牧草 27 , 可让 594 头)牛吃 【答案】 99 头【巩固】 有、两匀生长草甲地面是草面的 牛 12 能完草上草20 头牛 能完草上草问头 天能同吃 完块地的？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解

16、答 / 9【关键词】对比思想方法【解析】 设 1 头 1 天的吃草量“,由于甲草地的面积是乙草地面积的 3 倍把甲草地分成 面积相等的 块那每块都与乙草地的面积相等由于 头 12 天吃完甲草 地上的草相当于每块上的草由 牛 12 天完那么条件转换“ 头 能吃完乙草地上的草,20 头 天能吃完乙草地上的可知每天乙草地长草 为 为： 则甲、乙两 块草地每天的新生长草量为 5 20 原有草量为： 60 10 天同时吃 完两块草地上的需要 240 (头)【答案】 头牛【 】 有一 平米牧,每天有些在速长这块场供 头吃 天或可 15 头牛吃 天另一 平方米牧每方的量生 长都第块场同问这牧可 头吃少？【考

17、点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设牛天的吃草量“摘录条,将们转化为如下形式方便分析 头 20 天 ：原有草量20 天长的草量 头 10 天 ：原有草量10 天长的草量从上易发现：1200 平米牧场上 2010 天生长草量20015050,即 生长草量；那么 1200 方米牧场上原有草量100 或 510。 则 3600 平米的牧场 天生长草量536001200）；原有草量：100）300. 头里若 头牛去吃每天生长的剩 60 头需要 （天）可将 原有草吃完,它可供 头牛吃 5 天。【答案】 5 天【 】 有三草,面积别为 公、15 公和 公草地的一厚而且长得

18、 一快第一草可 10 头牛 30 天第块地供 28 头牛 天问 第块地供少牛 80 天？【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 (法 1) 头牛 天吃草量“”第一块草地可供 10 头吃 30 天说明 公草地 天供 1 60 份；第二块草地可供 头吃 45 天说 1 公草地 天 28 份 草 所 以 公 草 地 每 天 新 长 的 草 量 为 公顷原有草量为 60 公草地每天新生长的草量为 ；24 顷草地原有草量为 2 么 公 顷草地 天可提供草量为： 288 所共需要牛的头数是： (头)牛(法 现在是 3 块积不同的草要解决这个问,也可以将 草地的面积统一起 来

19、由于 那题中条件可化为 公草地可供 240 牛吃 30 天,也可供 头吃 45 天设 牛 1 天吃草量“那么 120 顷草地每天新生长的草量为 240 ,120 公 顷 草 地 原 有 草 量 为 公顷草地可 80 (头牛吃 80 天那 公草地可供 ()牛吃 天【答案】 头牛【巩固】 三牧场的长一密而且得样它的积别 公顷10 公 / 9顷 24 公第一牧饲 12 头可维 4 周第块场养 头, 可维 8 周问三牧上养少牛好以持 周【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设 1 头 吃草量“场养 头,以维持 4 周相当于 顷 牧场可供 头牛吃 周块场饲养 头牛可以维

20、持 8 周相当于 顷牧场 可 供 2.5 头 牛 吃 周 那 么 公 顷 牧 场 1 周 新 生 长 的 草 量 为 草量为 公顷牧场每天 新生长的草量为 1 24 原有草量为 288 想维持 周 需饲养： 40 (头)牛【答案】 40 牛【巩固】 17 头牛 28 公亩的,84 天可吃 头牛同牧 公的 54 天吃 完几牛同牧 公亩草24 天吃完假设公牧原量等且 匀生【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设 头 1 吃 牧草, 头牛 吃掉 54 份,明每公亩牧场 提供 1188 份草；17 头 84 天掉7 份说每公亩牧场 天提供1 28 份牧草每亩牧场 54

21、 30 天提供 36 份草 说明每公亩牧场每天的牧草生长量为 15 0.5 份 原草量为 51 份如果是 40 公的牧场原草量为 40 份每天新长出 0.5 20 份24 天 共提供牧草 20 24 840 份可 35 头吃 24 天【答案】 35 头1【巩固】 有片场场草得样,而且得一快它的积别 公顷103公和 公已 头牛 星吃第片场草, 头牛 9 星期完二 片场草那多头 星才吃第片场草【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 由于三牧场的公顷数不一致 ,给计算带来困难 ,如果将其均转化为 1 公时的情 形1原条件： 公 12 头 期3 公顷 21 头 9 星期

22、1 1转化：相当于把 3 公顷草地分割成 3 块,每块一公顷, 3.6 头来吃所以吃的时3 3间不变相当于把 公顷草地分割成 10 块每一公顷有 头来,所以吃的时 间不变 顷 3.6 头 4 星 14.4： 顷原有草量4 星 公新生草量 1 公2.1 头 9 星 ： 顷原有草量9 星 公新生草量分析得：1 天 1 公新生草量（18.914.4）（4）0.9； 顷原有草量10.8； 公 天新生草量； 公原有草量259.2；若想 18 星吃完需要：259.218（头）牛【答案】 36 头 / 9【 】 一个夫面为 公顷、 公和 公顷的块场三块牧上草得 样而长一快农夫将 头牛赶 2 顷牧牛 5 天完

23、草如 农将 8 头牛到 4 公的场牛 天吃草问若夫这 8 牛赶 公的场这块场供些吃天【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 (法 1)设 头 1 天吃草量为1,以将不同的公顷数统一转化为单位量 公来 解决把 顷牧场分割成 2 块每 公顷,每块可供 4 头吃 天；把 顷牧场分割成 4 块每 公顷,每块可供 2 头吃 15 天那么 1 公牧场每天新生长的草量为 草 量为 公牧场每天新生长的草量为 , 原草量为 90 牛里若有 6 头牛去吃每天新生长的剩 牛需要 90 (天可将原有 草吃完即它可供 头牛吃 45 天(法 题中 块牧场面积不同,要解决这个问题可以将 3

24、牧场的面积统一起来 设 牛 1 天草量为1 头赶到 2 公的牧场牛 吃完了草相当于 公顷的牧场可供 48 牛吃 5 天将 头牛赶到 顷的牧牛 15 天吃完草相 当于 顷的牧场可供 24 头吃 12 公的牧场每天新生长的草量为： 48 公顷牧场原有草量为 么 公顷牧场可供 16 头吃 ),以 公的牧场可供 8 头牛吃 45 天【答案】 45 【 】 4 牛 28 天以完 公牧上全牧7 头牛 63 天以吃 30 公顷牧 上部草那 60 头多天以完 公顷场全牧？每顷场 上有量等且公牧上天生草相【考点】牛吃草问题 【度 星 【型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 题中 面积不同的草要解决这个问题可以将 3 块地的面积统一起来 设 1 头 1 天的吃草量“1”,条件可转化为120 公顷牧场 48 头牛 28 天吃完；120 公顷牧场 头 63 天完那么 120 公顷牧场每天新生长 的 草 量 为 120 公 顷 牧 原 草 量 为 40 公顷牧场每天新生长的草量为2 公牧场 原有草量为 在 头里先分出 头来吃新生长的剩