高考数学(理数)一轮复习学案10．9《正态分布》(含详解)

1、PAGE PAGE 10109正态分布1正态曲线的性质函数，(x)eq f(1,r(2) ) SKIPIF 1 0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线简称_(2)正态曲线的性质曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在x处达到峰值_；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示当一定时，曲线的形状由确定，越_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示2正态分布的定义与简单计算(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P

2、(aXb)_，则称随机变量X服从正态分布，记作_(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(X)0682 6；P(2X2)0954 4；P(32)p，则P(0X2)p，所以P(2x2)12p，所以P(0X2)eq f(12p,2)eq f(1,2)p故选D 设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是eq f(1,2)，则等于 ()A1 B2 C4 D不能确定解：当函数f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性知， 4故选C (eq avs4al(2016新余二模)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1

3、)的密度曲线)的点的个数的估计值为 ()附：若XN(，2)，则P(X)0682 6，P(2X2)0954 4，P(3X3)0997 4A430 B215C2 718 D1 359解：因为2，1，所以P(4X0)0954 4，P(5X1)0997 4，所以阴影部分P(0X1)eq f(0997 40954 4,2)0021 5，故落入阴影部分的点的个数约为10 0000021 5215，故选B (eq avs4al(2016青岛模拟)某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布N(110，102)，已知P(100110)034，估计该班学生数学成绩在120分以上的有_人解：数学成绩的正态曲线

4、关于直线x110对称，因为P(100110)034所以P(120)P(100)eq f(1,2)(10342)016数学成绩在120分以上的人数为016508故填8 已知当XN(，2)时，P(X)0682 6，P(2X2)0954 4，P(3X3)0997 4，则eq iin(3,4,)eq f(1,r(2) SKIPIF 1 0 dx_解：由题意，1，1，P(3X4)eq f(1,2)P(2X4)P(1X3)eq f(1,2)(0997 40954 4)0021 5故填0021 5类型一正态分布的概念与性质已知三个正态分布密度函数i(x)eq f(1,r(2)i) SKIPIF 1 0 (x

5、R，i1，2，3)的图象如图所示，则 ()A123，123B123，123C123，123D123，123解：由正态曲线关于直线x对称，知1 23；的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则123实际上，由1(1)2(2)3(3)，则eq f(1,r(2)1)eq f(1,r(2)2)eq f(1,r(2)3) ，即123故选D点拨：正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可由，(x)的解析式推知如一定，当x且x增大时，(x)2减小eq f(（x）2,22)增大 SKIPIF 1 0 增大，(x)在x左侧单调递增其他类似可得某市期末教学质量检测，

6、甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是 ()A甲学科总体的方差最小B丙学科总体的均值最小C乙学科总体的方差最小D甲、乙、丙的总体的均值不相同解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方差最小故选A类型二正态分布的计算问题设XN(1，22)，试求(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解：因为XN(1，22)，所以1，2(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0682 6(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)eq f(1,2)P(3X5)P(1X3)eq f(1

7、,2)P(14X14)P(12X12)eq f(1,2)P(2X2)P(X)eq f(1,2)(0954 40682 6)0135 9(3)因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)eq f(1,2)1P(3X5)eq f(1,2)1P(14X14)eq f(1,2)1P(22c1)P(X2c1)P(Xc3)，所以2c1c332，所以ceq f(4,3)故填eq f(4,3)类型三正态分布的实际应用(eq avs4al(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的

8、零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：99510129969961001992998100410269911013100292210041005995经计算得 SKIPIF 1 0 eq f(1,16)eq isu(i1,16,x)i997，seq r(f(1,16)

9、isu(i1,16, )（xixto (x)）2) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16.用样本平均数 SKIPIF 1 0 作为的估计值 SKIPIF 1 0 ，用样本标准差s作为的估计值 SKIPIF 1 0 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( SKIPIF 1 0 3 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3 SKIPIF 1 0 )之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0997 4，0997 4160959 2，eq r(00

10、08)009解：(1)抽取一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0002 6，故XB(16，0002 6)，因此P(X1)1P(X0)10997 4160040 8，X的数学期望为E(X)160002 60041 6(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由 SKIPIF

11、 1 0 997，s0212，得的估计值为 SKIPIF 1 0 997，的估计值为 SKIPIF 1 0 0212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在( SKIPIF 1 0 3 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3 SKIPIF 1 0 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除( SKIPIF 1 0 3 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3 SKIPIF 1 0 )之外的数据922，剩下数据的平均数为eq f(1,15)(16997922)1002，因此的估计值为1002 SKIPIF 1 0 之外的数据922，剩下数据的样本方差为eq f(1,15)(1

12、 59113492221510022)0008，因此的估计值为eq r(0008)009点拨：解决正态分布问题有三个关键点：对称轴X；标准差；分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0(eq avs4al(2018武汉市4月调研)在某市高中数学竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(，2)，其中，2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2，

13、那么该区4 000名考生成绩超过8481分(含8481分)的人数估计有多少人？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过8481分的考生人数为，求P(3)(精确到0001)附：s220475，eq r(20475)1431；zN(，2)，则P(z) 0682 6；P(2z2)0954 4；0841 340501解：(1)由题意知：中间值455565758595概率01015020301501所以 SKIPIF 1 0 45015501565027503850159501705，所以这4 000名考生的竞赛平均成绩 SKIP

14、IF 1 0 为705分(2)依题意z服从正态分布N(，2)，其中 SKIPIF 1 0 705，2s220475，1431，所以z服从正态分布N(，2)，即N(705，14312)，而P(z)P(5619z8481)0682 6，所以P(z8481)eq f(10682 6,2)0158 7所以竞赛成绩超过8481分的人数估计为0158 74 0006348635人(3)全市竞赛考生成绩不超过8481分的概率为10158 70841 3而B(4，0841 3)，所以P(3)1P(4)1Ceq oal(4,4)0841 341050104991正态曲线的性质特点可用来求其数学期望和标准差：正态

15、曲线是单峰的，它关于直线x对称，据此结合图象可求；正态曲线在x处达到峰值eq f(1,r(2)，据此结合图象可求2正态分布计算中应注意的问题：(1)正态曲线与x轴之间的面积为1(2)正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等(3)几个常用公式P(Xa)1P(Xa)；P(X0，则P(Xb)eq f(1P（b0)和N(2，eq oal(2,2)(20)的密度函数分别为1(x)和2(x)，其图象如图所示，则有 ()A12，12B12C12，12，12解：f(x)eq f(1,r(2)eeq sup6(f(（x）2,22)中x是对称轴，故12；越大，曲线越“矮胖”，越小曲线越“高瘦”，故

16、12故选A2(eq avs4al(2016郑州调研)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)08，则P(04)()A06 B04 C03 D02解：由P(4)08，得P(4)02又正态曲线关于x2对称则P(0)P(4)02，所以P(0a1)，则实数a等于 ()A4 B5 C6 D7解：根据对称性有eq f(a5a1,2)4，得a6故选C4已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为 ()附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()6826%，P(22)9544%A456% B1359% C2718% D3174

17、%解：依题设，XN(0，32)，其中0，3所以P(3X3)0682 6，P(6X6)0954 4因此P(3X6)eq f(1,2)P(6X6)P(3X3) eq f(1,2)(0954 40682 6)0135 91359%故选B5(eq avs4al(2017石家庄模拟)设XN(1，2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X3)0022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ()附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P()0682 6，P(22)0954 4A12 076 B13 174 C14 056 D7 539解：由题意得，P(X1)P

18、(X 3)0022 8，所以P(1X3)10022 820954 4，因为P(22)0954 4，所以121，故1，所以P(0X1)eq f(1,2)P(0X0)：f(x)eq f(1,r(2)eeq sup6(f(（x+）2,22)；f(x)eq f(1,r(2)eeq sup6(f(（x-）2,4)；f(x)eq f(1,r(2)r(2)eeq sup6(f(x2,4)；f(x)eq f(1,r()e(x)2，则可以作为正态分布密度函数的个数有()A1 B2 C3D解：对于，f(x)eq f(1,r(2)eeq sup6(f(（x+）2,22).由于(，)，所以(，)，故它可以作为正态分布

19、密度函数；对于，若1，则应为f(x)eq f(1,r(2)eeq sup6(f(（x-）2,2).若eq r(2)，则应为f(x)eq f(1,r(2)r(2)eeq sup6(f(（x-）2,4)，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于，它就是当eq r(2)，0时的正态分布密度函数；对于，它是当eq f(r(2),2)时的正态分布密度函数所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数故选C.7(eq avs4al(2018福州模拟)若随机变量XN(，2)，且P(X5)P(X1)02，则P(2X5)P(X1)，所以eq f(51,2)2，所以P(2X5)eq f(1,2)P(1X

20、5)eq f(1,2)(10202)03故填038(eq avs4al(2017广州模拟)按照国家规定，某种大米质量(单位：kg)必须服从正态分布N(10，2)，根据检测结果可知P(99101)096，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2000名职工， 则分发到的大米质量在99 kg以下的职工数大约为_解：由题意得P(101)eq f(1P（99101）,2)002，从而分发到的大米质量在99 kg以下的职工数大约为002200040(人)，故填409已知某种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，)上是减函数，且f(

21、80)eq f(1,8r(2)(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72mm88mm间的零件大约占总数的百分之几？解：(1)由于正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，且在x80处取得最大值因此得80，eq f(1,r(2)eq f(1,8r(2)，所以8故正态分布密度函数的解析式是，(x)eq f(1,8r(2) eeq sup6(f(（x-8）2,128)(2)由80，8，得80872， 80888所以零件尺寸位于区间(72，88)内的概率是0682 6因此尺寸在72mm88mm间的零件大约占总数的6826%10在某市组

22、织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生分数线是多少？解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，因为XN(60，100)，所以60，10所以P(X90)eq f(1,2)1P(30X90)eq f(1,2)(10997 4)0001 3又P(X90)eq f(13,n)，所以eq f(13,n)0001 3所以n10 000(2)设受奖学生的分数线为x0则P(Xx0)eq f(228,10 000)0022 8因为0

23、022 860所以P(120 x0Xx0)12P(Xx0)0954 4所以x0602080故受奖学生的分数线是80分11(eq avs4al(2017四川广元三诊)质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图(1)写出频率分布直方图甲中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为seq oal(2,1)，seq oal(2,2)，试比较seq oal(2,1)，seq oal(2,2)的大小(只要求写出答案)；(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20的概率；(3)由频率分布直方图

24、可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(，2)其中近似为样本平均数 SKIPIF 1 0 ，2近似为样本方差seq oal(2,2)，设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(1455，3845)的桶数，求X的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2eq r(14275)1195；若ZN(，2)，则P(Z)0682 6，P(2Zseq oal(2,2)(2)设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件B：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一桶的质量指标不大于20，且另一桶大于20，则P(A)02001003，P(B)01002003，所以P(C)P(A)P(B)P(