高考数学(理数)一轮复习学案10．5《几何概型》(含详解)

1、PAGE PAGE 10105几何概型1随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是_利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数2几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为_，简称_3概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)_求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解自查自纠：1均等的2长度面积体积几何概率模型几何概型3eq f(构成事件A的区域的长度（面积或体积）,试验

2、的全部结果构成的区域长度（面积或体积）) (eq avs4al(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ()Aeq f(7,10) Beq f(5,8) Ceq f(3,8) Deq f(3,10)解：因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq f(4015,40)eq f(5,8)故选B (eq avs4al(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随

3、机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ()Aeq f(1,4) Beq f(,8) Ceq f(1,2) Deq f(,4)解：不妨设正方形边长为2，则所求为eq f(12f(1,2),22)eq f(,8)故选B (eq avs4al(2018全国卷)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则 ()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解：设ABc，ACb，BCa，则a2b

4、2c2，Seq f(1,2)bc，Seq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup12(2)eq f(1,2)S，Seq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2)eq sup12(2)eq f(,2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)eq sup12(2)eq f(,2)SS，由几何概型概率公式知A正确故选A (eq avs4al(2017江苏)记函数f(x)eq r(6xx2)的定义域为D在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是_解：由6xx20，解得2x3，则D2，3，则所求概率为eq f(3（2）,5（4）)eq f(5,9)故填eq

5、 f(5,9) (eq avs4al(2016全国卷改编)从区间0，1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为_(用m，n表示)解：由题意可知(xi，yi)(i1，2，n)在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知eq f(f(,4),1)eq f(m,n)，所以eq f(4m,n)故填eq f(4m,n)类型一以长度为度量的几何概型(eq avs4al(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，

6、8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()Aeq f(1,3) Beq f(1,2) Ceq f(2,3) Deq f(3,4)解：由题意可知满足条件的时间段为7：508：00，8：208：30，共20分钟，由几何概型知所求概率为eq f(20,40)eq f(1,2)故选B点拨：以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P(A)eq f(事件A对应的线段长,试验的全部结果对应的线段长)(eq avs4al(2016山东)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_解：

7、由已知得，圆心(5，0)到直线ykx的距离小于半径，所以eq f(|5k|,r(k21)3，解得eq f(3,4)keq f(3,4)，由几何概型得Peq f(f(3,4)blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),1（1）)eq f(3,4)故填eq f(3,4)类型二以面积为度量的几何概型(1)(eq avs4al(2018莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是 ()Aeq f(,8) Beq f(,4) Ceq f(1,2) Deq f(3,4)解：任取的两个数记为x，y，则eq blc(avs4alco1(0

8、x1，,0y1，)如图所示，它们构成的有序实数对(x，y)对应的点所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y满足x2y21，所对应的点(x，y)位于阴影区域内(不包括x，y轴)故所求概率Peq f(f(1,4)12,11)eq f(,4)故选B点拨：以面积为度量的几何概型概率计算公式： Peq f(事件A构成区域的面积,整个试验的全部结果构成区域的面积)解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率多注意数形结合(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去则两人能会面的概率为_解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点

9、的时间，则两人能够会面的充要条件是eq blc|rc|(avs4alco1(xy)15在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示由几何概型的概率公式得：P(A)eq f(S阴影,S)eq f(602452,602)eq f(10515,3 600)eq f(7,16)所以，两人能会面的概率是eq f(7,16)故填eq f(7,16)点 拨：平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标

10、(x，y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间而能会面的时间由eq blc|rc|(avs4alco1(xy)15所对应的图中阴影部分表示本题的难点在于把实际问题转化为几何模型(1)(eq avs4al(2018石家庄调研)在满足不等式组eq blc(avs4alco1(xy10，,xy30，,y0)的区域内随机取一点M(x0，y0)，设事件A“y02x0”，那么事件A发生的概率是()Aeq f(1,4) Beq f(3,4) Ceq f(1,3) Deq f(2,3)解：如图，作出不等式组eq blc(avs4alco1(xy10，,xy30，,y0)表示的平面区域(即ABC)

11、，其面积为4事件A “y02x0”表示的区域为AOC，其面积为3所以事件A发生的概率是eq f(3,4)故选B(2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为_解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x、y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即yx1或xy2故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0，24，y0，24A为图中阴影部分，全部结果

12、构成的集合为边长是24的正方形及其内部故所求概率为P(A)eq f(A的面积,的面积)eq f(（241）2f(1,2)（242）2f(1,2),242)eq f(5065,576)eq f(1 013,1 152)故填eq f(1 013,1 152)类型三以体积为度量的几何概型已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC eq f(1,2)VSABC的概率是 ()Aeq f(7,8) Beq f(3,4) Ceq f(1,2) Deq f(1,4)解：当点P到底面ABC的距离小于eq f(3,2)时， VPABC eq f(1,2)VSABC由几何概型

13、知，所求概率为P1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(3)eq f(7,8)故选A点 拨：以体积为度量的几何概型概率计算公式： Peq f(构成事件A的区域的体积,试验的全部结果构成的区域的体积)；对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ()Aeq f(,12) B1eq f(,12) Ceq f(,6) D1eq f(,6)解：正方体的体积为2228

14、，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为eq f(1,2)eq f(4,3)r3eq f(1,2)eq f(4,3)13eq f(2,3)，则点P到点O的距离大于1的概率为1eq f(f(2,3),8)1eq f(,12)故选B类型四几何概型与定积分(eq avs4al(2017湖南郴州一质)如图，ABC中的阴影部分是由曲线yx2与直线xy20所围成，向ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ()Aeq f(7,32) Beq f(9,32) Ceq f(7,16) Deq f(9,16)解：令x2x2x1或2，则所求概率Peq f(iin(1,2,)（x2x2）dx,f(

15、1,2)44)eq f(f(9,2),8)eq f(9,16)，故选D点拨：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而定积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型(eq avs4al(2016银川一模)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)sinx及直线xa(a(0，)与x轴围成，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为eq f(1,2)，则a_解：根据题意，阴影部分的面积为eq iin(0,a,)sinxdxcosx|eq oal(a,0)1cosa，又矩形的面积为aeq

16、f(4,a)4，则由几何概型的概率公式可得eq f(1cosa,4)eq f(1,2)，即cosa1，又a(0，所以a故填类型五几何概型与平面区域的综合性问题(eq avs4al(2017宁夏银川一中二模)已知实数a，b满足0a1，1b1，则函数yeq f(1,3)ax3ax2b有三个零点的概率为_解：对yeq f(1,3)ax3ax2b求导数，可得yax22ax，令ax22ax0，可得x0或x2因为0a1，所以x2是极大值点，x0是极小值点由函数yf(x)eq f(1,3)ax3ax2b有三个零点，可得eq blc(avs4alco1(f（2）0，,f（0）0，)即eq blc(avs4al

17、co1(4a3b0，,b0)画出可行域如图中阴影部分所示，实数a，b满足0a1，1b1，为长方形区域，且长方形的面积为2，阴影部分的面积为eq f(1,2)(1eq f(1,4)1eq f(5,8)，所以所求概率为Peq f(f(5,8),2)eq f(5,16)故填eq f(5,16)点 拨：解决此类问题的核心能力是转化与构造，就本例而言，即是将概率转化为N型曲线零点问题，从而由零点个数及极值情况构造不等式组，即随机试验对应几何图形换句话说，解题的关键是找“两域”：基本事件对应的总体区域D和随机事件对应的子区域d在区间0，1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为 ()A

18、eq f(1,4) Beq f(1,2) Ceq f(2,3) Deq f(3,4)解：要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，所以a2b0作出eq blc(avs4alco1(0a1，,0b1，,a2b0)的可行域如图阴影部分所示，易得该函数无零点的概率Peq f(1f(1,2)1f(1,2),11)eq f(3,4)故选D类型六随机模拟试写出一个随机模拟的方法，用来近似计算由yx21与y8所围区域的面积解：在平面直角坐标系内画出正方形，如图所示，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值设事件A表示“随机向正方形内投点，所投的点落

19、在阴影部分”S1用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少个点(x，y)满足yx21(即点落在阴影部分)首先置n0，m0S2用变换rand( )*84产生44之间的均匀随机数x，表示所投的点的横坐标；用变换rand( )*8产生08之间的均匀随机数y，表示所投的点的纵坐标S3判断点(x，y)是否落在阴影部分，即是否满足yx21如果是，则计数器m的值加1，即mm1；如果不是，m的值保持不变S4表示随机试验次数的计数器n的值加1，即nn1如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束程序结束后，用事件A发生的频率eq f(m,n)作为事件A的概率的近似值设阴影部分的面积为

20、S，正方形的面积为64由几何概型的概率公式得P(A)eq f(S,64)所以阴影部分面积的近似值为eq f(64m,n)点拨：利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积的一个常用思路是：在不规则图形外加一个规则图形，利用几何概型的概率公式求出落在所求面积的图形内任意一点的事件发生的概率；再利用随机模拟的方法产生随机数，计算相关频率当试验次数增加到一定程度，所得的频率就可以看成用几何概型的概率公式求出的概率，进而可求出所求的面积用类似方法也可求出不规则几何体的体积关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120

21、名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x，y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；最后再根据统计数m估计的值，假如统计结果是m34，那么可以估计的值约为 ()Aeq f(22,7) Beq f(47,15) Ceq f(51,16) Deq f(53,17)解：由题意得，eq blc(avs4alco1(0 x1，,0y1，)则(x，y)所在区域面积为1又x，y，1能构成钝角三角形，则有x2y21，满足条件的(x，y)所在区域面积为eq f(,4)eq f(1,2)，则eq f(34,120)eq f(f(,4)f(1,2),1)得eq f(47,15)故选B1几

22、何概型与古典概型的关系几何概型与古典概型都是等可能概型，区别在于前者的实验结果不是有限个2解决几何概型问题需注意的几点(1)能正确区分古典概型与几何概型例1：在区间0，10上任意取一个整数x，求x不大于3的概率例2：在区间0，10上任意取一个实数x，求x不大于3的概率例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为eq f(4,11)例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为eq f(3,10)(2)准确分清几何概型中的测度定性例3：在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，求CAM30的概率例4：在等腰RtABC中，C90，在CAB内

23、过点A作射线交线段BC于点M，求CAM 30的概率例3中的测度定性为线段长度，当CAM0 30，CM0eq f(r(3),3)ACeq f(r(3),3)CB满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上，故所求概率等于eq f(CM0,CB)eq f(r(3),3)例4中的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在CAB内，CAB45所以所求概率等于eq f(CAM0,CAB)eq f(30,45)eq f(2,3)(3)科学设计变量，数形结合解决问题例5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率例6：某人午觉醒来，

24、发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率例5是必修3P136的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为eq f(10,60)eq f(1,6)例6容易犯解例5形成的定势思维的错误，得到错误答案eq f(5,60)eq f(1,12)原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取0，60内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|xy|5结合线性规划知识可解，所求概率为eq f(602552,602)eq f(23,144)通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度在画好几何图形

25、后，利用数形结合思想解题3几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决1(eq avs4al(2017福建龙岩一模)在区间0，上随机取一个数x，则ysinx的值在0到eq f(1,2)之间的概率为()Aeq f(1,6) Beq f(1,3) Ceq f(1,2) Deq f(2,)解：在区间0，上，ysinx的值在0到eq f(1,2)之间，则xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)eq blcrc(a

26、vs4alco1(f(5,6)，)，区间长度为eq f(,3)，所求概率为eq f(f(,3),0)eq f(1,3)故选B2如图，两个同心圆(O为圆心)，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，点P在圆环内无规则地自由运动，点P与点O的距离小于3 km的概率为 ()Aeq f(1,12) Beq f(5,12) Ceq f(1,3) Deq f(1,5)解：小于3 km的圆环面积为(3222)5；圆环总面积为(4222)12，根据几何概型公式，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为Peq f(5,12)eq f(5,12)故选B3有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆

27、心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ()Aeq f(1,3) Beq f(2,3) Ceq f(1,4) Deq f(3,4)解：设点P到点O的距离不大于1的概率为P1，由几何概型，则P1eq f(V半球,V圆柱)eq f(f(2,3)13,122)eq f(1,3)故点P到点O的距离大于1的概率P1eq f(1,3)eq f(2,3)故选B4(eq avs4al(2017湖南永州一模)如图所示的阴影部分是由x轴，直线x1及曲线yex1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是 ()Aeq f(1,e) Beq f(1,e1)C1eq f(

28、1,e) Deq f(e2,e1)解：由几何概型可知，所求概率为eq f(iin(0,1,)（ex1）dx,1（e1）)eq f(e2,e1)故选D5在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于eq f(1,2)的概率为 ()Aeq f(1,4) Beq f(1,2) Ceq f(3,4) Deq f(7,8)解：设任取两点所表示的数分别为x，y，则0 x1，且0y1由题意知|xy|0，即ab1所有的试验结果(a，b)|1ae，且0b2，对应区域面积为2(e1)；事件A(a，b)|ab0的概率解：由已知得f(x)eq f(1lnx,x2)，x2，3，故f(x)0eq f(1lnx,x2)0，解得2x1得构成三角形的点P在ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角必是锐角，coseq f(x2y212,2xy)0，x2y21，即点P在以原点为圆