坐标与位置变化

1、第十讲坐标与位置变化【知识要点】图形的坐标变化与图形平移之间的关系在平而直角坐标系中，当纵坐标不变坐标都加上或减去一个正数亘陆 图形会向 右或向左平移彳个单位长度;当横坐标不变，纵坐标都加上或减去一个正数a时，图形会向 上或回上里位长度.【例1】如图所示的箭头是将坐标为(0,0), (1,2), (1,1), (4,1), (4, -1), (1, 1), (1, 2), (0,0)的点用线段依次连接而成的，若纵坐标保持不变，横坐标分别加1, 再将所得的点用线段依次连接起来，所得的，图案与原来的图案相比有什么变化？若是横坐 标保持不变，纵坐标分别减2呢？y21-I()23456-1-2A21(

2、-!013456X-1-23尸2I-1O23456X-1/-2L分析：当横坐标不变，纵坐标加上或减去一个正数2时，原图形就相应地向上或向下平 移2个单位长度；当纵坐标不变时，横坐标加上或减去一个正数2时，则原图形会向右或向 左平移曰个单位长度.解:若纵坐标保持不变,横坐标分别加1,则所得各点的坐标依次是(1,0), (2, 2), (2, 1), (5, -1), (2, -1), (2, 2), (1,0),将各点用线段依次连接起来，所得图案如 图所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向右平移了 1个单位 长度.若横坐标保持不变，纵坐标分别减2,则所得各点的坐标依次是(0

3、, 2), (1,0), (1, 1), (4, 1), (4, 3), (1, 3), (b 4), (0 2),将各点用线段依次连接起来 所得图案如图所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、人小不变，整个箭头向下平移 了 2个单位长度.点评：解答本题的关键是求出图形变化后的点的坐标，再根据坐标用线段依次将点连接 起来即可得到新图案.图形的坐标变化与图形的伸长和压缩之间的关系在平而直角坐标系中,为图形的纵坐标不变，横坐标扩人或缩小一定倍数时,图形就相 应地被横向拉长或压缩该借数,而纵阿不变;肖图形的横坐标不变，纵坐标扩人或缩小一定 借数时,图形就相应地被纵向拉长或压缩该倍数，而横向不变.【例

4、2】如图所示的小船是将坐标为(1,0), (3, 0), (4, 1), (2, 1), (2,3), (1,2),，(0,1), (1,0)的点用线段依次连接而成的，现将各点的坐标作如下变化：纵坐标保 持不变，横坐标分别变成原来的15倍，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与 原来的图案相比有什么变化？43/21/-11234解：纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的1.5倍，所得各个点的坐标依次是：(1.5, 0), (4. 5, 0), (6,1), (3, 1), (3, 3), (1.5,2), (1.5, 1), (0, 1), (1.5, 0),将各点 用线段依次连接起来，所

5、得图案如图所示，与原图相比，整条船被横向拉长为原来的15 倍.析规律坐标与图形变化的对应关系当横坐标不变，纵坐标扩人或缩小为原来的2倍时，图形就要被纵向拉长或压缩为原来 的a倍；当纵坐标不变，横坐标扩人或缩小为原来的b倍时，原图形就要被横向拉长或压缩 ，为原来的&倍.图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系在平面直角坐标系中，当图形上各点的横坐标不变，纵坐标乘一1时，所得的新图形与 原图羽关于卡轴对称：当图形上各点的纵坐标不变,模坐标乘一 1哄所得的新罔形与原图形关于匕轴对称:当图形上各点的横、纵坐标都乘一1时，那么所得到的新图形与原图形关 于原点对称-换董皆对称点的坐标变化规律对应点的坐标对称

6、情况可以简单记为：关于横轴对称，“横不变，纵相反”:关于纵轴 对称，“纵不变，横相反”:关于原点对称，“全相反”【例3】按要求回答问题：在平面直角坐标系中描出点(1,2), (1,4), (1,6), (3, 6), (1,4), (3, 2), (1,2),并将各点用线段依次连接起来.将上述各点作如下变化：纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段按第一问中的顺序连 接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？横.纵坐标分别乘一1呢？分析：解决本题的关键是分别在两坐标轴上找到对应点，过这两点分别平行于两坐标轴 的直线的交点即为所求的点如要描点

7、(1,6)的位置，先在*轴上找到点1,在y轴上找到 点6,过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点；理解平移、旋转、伸缩等 图形的特征.解：如图所示.Y石4Y石4/?()246各点的坐标依次是：(1,5), (1,7), (1,9), (3,9), (1,7), (3, 5), (1,5). 所得的图案如图所示，与原来的图案相比，图形向上平移了3个单位长度.180 ,即两个图形关于0点成中心对称.图形的变换与点的坐标的关系将图形放在平面直角坐标系中，我们可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点 的坐标，我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形.通过点的坐标的变化与图形 的变换

8、，可以得到图形变换的规律.图形是由点组成的，点的坐标发生了变化，图形也会发生相应的变化；图形移动时，点 的坐标也发生变化.其变化规律为：纵坐标不变，横坐标按比例增人时，图形被横向拉长；纵坐标不变，横坐标按比例 减小时，图形被横向“压缩图形向右平移时，纵坐标不变，横坐标增人；图形向左平移时，纵坐标不变，横坐 标减小；图形向上平移时，横坐标不变，纵坐标增丿心图形向下平移时，横坐标不变，纵坐 标减小.横坐标加上一个数，纵坐标不变时，图形左、右平移(加负数，左移，加正数，右移)； 纵坐标加上一个数，横坐标不变时，图形上、下平移(加正数，上移，加负数，下移)横坐标不变，纵坐标乘一1时，所得图形与原图形关

9、于x轴对称；纵坐标不变，横 坐标乘一1时，所得图形与原图形关于y轴对称【例4】如图1,在平面.直角坐标系内，一个封闭的图形初宓上各顶点的坐标分别为水一 2,0), 5(1,2), 0(2,1), 0(3,2), (2,0).将各顶点的横坐标都加上3,纵坐标不变，并把得到的顶点依次连接，则所得的图形和原图形相比，位置有怎样的变化？如果将各顶点的纵坐标都加上3,横坐标不变，顺次连接各顶点，所得图形与原图 形的位置有什么变化？将各顶点的横坐标都加上4,纵坐标都加上5,顺次连接各顶点，所得的图形与原图形的位置有怎样的变化？艸765432D1丿74*/192：4671-2765432D1丿74*/192

10、：4671-2-3X图1-2A B、C、D, 点的纵坐标都加上3,所得顶点的坐标分别是Az(-29 3), 2(1,5), G(2, 4), 2(3,5), 2(2,3),顺次连接各点得到图形足EG2& 图形足相当于图形 月加疋向上平移3个单位长度后得到的(如图2)各顶点的坐标横坐标都加上4,纵坐标都加上5,所得顶点的坐标分别是Js(2, 5), 3(5,7), G(6, 6), A7), (6,5)依次连接各顶点,所得图形佔相当于先把图 形馭迹向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的(如图2)5-从变化的“鱼”中探索坐标变化与图形变化的关系通过变化的“鱼”,在坐标系内，将图形的坐

11、标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压 缩乃妙地融合在一起，既体现了图形的现实性、趣味性，又体现了数学的深刻性以及数形结 合的思想方法平移：原图形的坐标中,，横坐标保持不变，纵坐标分别增加(减少)a(0),则所得图 案被向上(向下)平移a个单位长度，形状、犬小未发生改变；反，之，纵坐标不变，横坐标 分别增加(减少)3(0),则所得图案被向右(向左)平移1),则将原图案压缩2便可得新图案aa【例5】下面的方格纸中画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1“小猪”所占的面积为多少？(2)在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线眩对称的图案(只画图，不写作法)；(3)以G为原点，血所在直线为x轴

12、，的所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度 建立平面直角坐标系，可得点月的坐标是(, ).点，再连接起来即可；(3)以G为原点，血所在直线为x轴，的所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度 建立平面直角坐标系，可得点月的坐标是(, ).点，再连接起来即可；(3)按要求画出直角坐标系立即可得答案，这样的问题可充分考查学 生的动手能力，又让学生在操作中体验着成功解：观察图形：“小猪”所占面积包括29个小正方形和7个小三角形面积和，每个 小三角形面积是小正方形面积的一半，所以“小猪”所占面积为325(2) “小猪”关于直线眩对称的图案如图所示.-Lrri r r-tL丄 Lidrr -t(3)点月

13、的坐标是(-4,1).【素质能力测试】A组 TOC o 1-5 h z 已知点A (nl,n+l)在x轴上，则a等于. 已知P(3,2), P点是P点关于原点0的对称点，则点的坐标为. 若一个点的坐标是(一3, 4),则这个点关于;I轴的对称点的坐标是.已知ZVIBC三顶点坐标分别是A (-7, 0)、B (1, 0)、C (-5, 4),那么ABC的面积等于5若Ja-3 +(b+2)】=0,则点M (a.b)关于y轴的对称点的坐标为以点(4, 0)为圆心，以5为半径的圆与y轴交点的坐标为7点A (7, -3)关于丫轴的对称点是则线段AB的长是r8.已知等边ABC的两个顶点坐标为A (-4,

14、0)、B (2, 0),则点C的坐标为, ABC的面积为1如图，在直角坐标系中，第一次将AOAB变换成OAb,第二次将AOAB变换成 0佃 第三次将第一次将OA：B：变换成 OAsBs,己知 A(l, 3), Ai(2, 3), Ac(4, 3), As(8, 3), B(2, 0), Bi (4,0), B：(&0), Bs(16, 0).观察每次变换前后的三角形冇何变化，找出规律，按此规律再将OA3B3变换成OAb,则At的坐标为, B.的坐标为.若按第(1)题中找到的规律将AOAB进行n次变换，得到OA.Bn，推测A的坐标为 B的坐标为2在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整

15、点.且规定，正方形的内部不 包含边界上的点观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方幷内部有9个整 点，则边长为8的正方形内部的整点的个数为() HA. 64B. 49C. 36D. 25A. 64B. 49C. 36D. 253如图，处F是由遊绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是.4在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交 点的三角形)ABC的顶点A, C的坐标分别为(Y, 5), (-1, 3).请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；请作出AABC关于y轴对称的Z

16、kA Br C:写出点B的坐标.5李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的线段AB.实 数加对应4B上的点M,如图1；将43折成正三角形，使点A、B重合于点P,如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0,2）, PM与x轴交于点NgO）,如图3当m = y/3时，求的值你解答这个题目得到的值为（）A. 4-2*A. 4-2*解：（1）点解：（1）点A的坐标是（-2, 0），点C的坐标是（1, 2）（温州）如图，在直角坐标系中，RtAAOB的两条直角边0A, 0B分别在x轴的负半轴，y 轴的负半轴上，且0A=2, 0B=l将RtAAO

17、B绕点0按顺时针方向旋转90 ,再把所得的像 沿x轴正方向平移1个单位，得ACDO.（1）写出点A, C的坐标；（2）求点A和点C之间的距离.（南京）在平面直角坐标系中，直线1过点M（3, 0）,且平行于y轴.（1）如果ZABC三个顶点的坐标分别是A （-2, 0）, B （-1, 0）, C （-1, 2）, A ABC关于y 轴的对称图形是厶AAxBiCx关于直线1的对称图形是 ARC：,写出A：BG的三个顶点的坐标；(2)如果点P的坐标是(-0),其中a0,点P关于y轴的对称点是点玖关于直线1的对称点是1的对称点是P2,求PP：的长.v1101X解:(1) AAcBzC：的三个顶点的坐标

18、分别是A； (4, 0) , B： (5, 0) , G (5, 2):(2)如图1,当0VaW3时，TP与Pi关于y轴对称,P (-a, 0),A Pi (a, 0), 又P1与巳关于1：直线X二3对称， 设 P: (x, 0),可得：+ =3,即 x=6-a,2/.P： (6a 0) 则 PP：=6-a- (-a) =6-a+a+a=6.如图2,当a3时，TP与P】关于y轴对称，P (-a, 0),A Pi (a, 0),又TP】与P2关于1：直线x=3对称,设Pu(X, 0),可得: + 二3, 即 x=6-a,2AP： (6a 0) 图2则 PP：=6-(-a) =6-a+a+a=6.

19、图2【锦后作尝】在平面直角坐标系中，已知点A (-4, 0)、B (0, 2),现将线段初向右平移，使月与坐 TOC o 1-5 h z 标原点0重合，则方平移后的坐标是.若点A的坐标为(6, 3), 0为坐标原点，将0A绕点0按顺时针方向旋转90得到OJ,则点A，的坐标为()A. (3, -6)B. (一3, 6)C. (一3, -6)D. (3, 6)点尸(1,2)关于原点的对称点F的坐标为点尸(-3, 2)关于y轴对称的点p的坐标是 .点M(-2, 1)关于X轴对称的点的坐标是()A. (2, 1 )B. (2, 1)C. (2 1 )D. (1, 2 )6 .把点尸：(2, -3)向右

20、平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到达点A处,则A的坐标是()则A的坐标是()C. (5 5)D. (1, 1)在直角坐标系中，A (1, 2)点的横坐标乘以一1,纵坐标不变，得到A点，则A与A的关系是()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.将A点向x轴负方向平移一个单位如图的坐标平面上有一正五边形遊陋，其中G。两点坐标分别为(1,0)、(2, 0).若在没有滑动的情况卞，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列 何者会经过点(75 , 0)?补充练习 TOC o 1-5 h z 在海战中，欲确定每艘战舰的位置，需要知道每艘战舰相对我方潜艇的()A.距离E.方位角

21、C.方向角和距离D.以上都不对【解答】解：由于在一个平面内要表示清楚一个点的位置，要有两个数据，故选C.在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是()A. (2, 1) B. (2, - 1) C. ( -2, 1) D.(2, - 1)【解答】解：点在第二象限的符号特点是横纵坐标均为负，符合题意的只有选项C.故选C.点P (2, 3)关于y轴对称点的坐标是()A. ( -2, 3) B. (2, -3) C. (2, 3) D.( 2, -3)【解答】解：点P (m, n)关于y轴对称点的坐标P ( - m, n),.点P ( -2, 3)关于y轴对称的点的坐标为(2, 3).故选C.若点P

22、在x轴的下方，y轴的左方，到每条坐标轴的距离都是3,则点P的坐标为()A. (3, 3) B. (-3, 3) C. ( - 3, - 3) D. (3, - 3)【解答】解：点P在x轴下方，y轴的左方，点P是第三彖限内的点，第三彖限内的点的特点是(-,-),且点到各坐标轴的距离都是3,点P的坐标为(3, -3).故选C.平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是()A.横坐标相等 B.纵坐标相等C.横坐标和纵坐标都相等D.以上结论都不对【解答】解：平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是纵坐标相等. 故选E.若点P (a, b)在第四象限，则点M (b-a, a-b)在( )A.第

23、一象限B.第二彖限C.第三象限D.第四彖限【解答】解：点P (a, b)在第四彖限，/. a0, b0,.点M (b-a, a-b)在第二象限,故选E.以边长为4的正方形的对角线建立平面直角坐标系，其中一个顶点位于y轴的负半轴上, 则该点的坐标为( )A. (2, 0) B. (0, - 2) C. (0, 22)D. (0, - 2a/2)【解答】解：正方形的边长是4,正方形的对角线是4伍，正方形的对角线互相平分，顶点到原点的距离为2伍， 位于y轴的负半轴上的点的坐标为(0, -2V2). 故选D.点A (2, 1)在第彖限.【解答】解：点A的横坐标20,.点A在第二彖限内.故答案填：二.已

24、知点P(3, 2),点A与点P关于y轴对称，则点A的坐标是.【解答】解：点P( -3, 2),点A与点P关于y轴对称，点A的坐标是(3, 2).已知点A (m- 1, 2),点E (3, 2m),且AB II y轴，则点B的坐标为.【解答】解：点A (m- 1, 2),点B (3, 2m),且AB II y轴，/. in - 1=3 得,m=4. - 2m=8点E的坐标为(3, 8).故答案为：(3, 8).若 P (x、y)在第二象限且|x|=2, |y|=3,则 x+y= .【解答】解：由P (x、y)在第二象限且|x|=2, |y|=3,得x= - 2, y=3.x+v= - 2+3=1,故答案为：1. 点P (m+3, m+1)在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为【解答】解：点P(m+3, m+1)在直角坐标系的x轴