均匀球体对质点的万有引力的计算及应用

1、均匀球体对质点的万有引力的计算及应用湖州中学 竺 斌牛顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这 个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于 1687 年正式发表了万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比 跟它们的距离的二次方成反比。即：Mm二 G这里的两个物体指的是质点。万有引力定律只给出了两个质点间的引力。而对于一般不 能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成许多小部分，使每一部分都可视为质点，根 据式求出物体 1 各小部分与物体 2 各小部分之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各 部分所受引力的矢量和。但

2、是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引力仍然可以用上式计算，其中 r 表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线。这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简单的几句话带过。我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算 万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”并计算均匀球壳对其内部质点的引力 和均匀球对其内部的引力，仅供大家参考。一、有关引力的计算1用微积分法。（1） 质点与均匀球体间的万有引力。若质点质量为m,与球心的距离为R。设球的半径4为a,密度为p，质量为M二p -兀a3。建立如图所示的坐vv 3标系。根据对称性可知，球对质点的引力必沿z方向，x，y方向上

3、合力为 0 。球上取一微元，坐标为（r, 0，申）,其体积为r2 s i n）d r fldp。对质点的万有引力。dF 二 Gmpvr2sin*drdOdp（Ra）r 2 + R 2 2rR cos *在z方向上的分力为：dF=dF cos a = Gmp r2(R rcos*)sin*v(r 2 + R 2 一 2rR cos * )32drdOd*F = F合 z=f a J 寸 GmPvr 2(R 一 r cos 申)血申 d 圖 dr 0 0 0(r2 + R2 一2rRcos申)32=Gmp J2KdoJar2(/(R一rcose)sinp dpv 0 00 (r2 + R2 一 2

4、rRcosp)32=Gmp -2兀Jar2dr兀1； r 2 R 2(*,r 2 + R2 一 2rR cosp +v02rR2Jr2 + R2 一 2rRcosp匚00Mm=GR2所以均匀球体对球外一点的万有引力好象球体的质量全部集中在球心一样。那么两个均 匀球体间的万有引力就可以分别把质量全部集中至各自球心，所以用公式计算时 r 就是球心 间距离。(2) 均匀球壳与球壳内质点间的万有引力。在 z 方向上的分力,若质点的质量为m与球心距离为R,球壳的密度为p v, 质量为M二p - 4兀C 一 R3)在 z 方向上的分力,v 321由对称性可知,球对质点的引力必沿 z 方向, x、y 方向

5、上合力为 0。球壳上一微元对质点的万有引力为dF = Gmpvr2sinPdrdOdp (R R)如果场点P在球内，则所有半径大于r=OP的那些球壳对P点的引力场强不起作用，只有 半径等于r的球对P点的引力场强有贡献。根据上面的结论有M二4兀r3 - p = 4兀r3M = r3M3v 34兀R 3/R 3E引二 GR3rR) F 二 E m 二 GMmrrR)引 引R 3所以均匀球体对球体内的一点的万有引力随深度的增加而减小。二、在高中物理竞赛中的应用例 1 地球内部引力势能的计算。如图所示，O点表示球心，地球质量为M,设想地球内部有一条从地球表面A开始到地心的直线通道A0, 质量为m物体从

6、地球表面A点沿直线AO运动到某点B，B到地心O的距离为r。要计算物体在B点的引力势能，就要计算物体从A 点运动到 B 点万有引力做的功，物体从 A 到 B 运动，受到的万有引力是变力，而万有引力仃二讐，与到点的距离是线形关系，所以万有引力做功可以很方便的计算。GMmR GMmr+GMmR GMmr+W 二 F. (R - r ) = Rl- (R - r)AB 2GMm二.（R2 -厂2）。万有引力做功等于引力势能减少GMm2 RGMm2 R 3(3R2 -r2) 。量，可得：W = E E ，其中E =一 ，所以E =AB pA pB pA R pB例 2如图所示，设想在地球表面的 A、B 两地之间开凿一直通隧道，在A 处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦，试证明小球在隧道内做简谐运动。地球内部质量均匀分布，不考 虑地球自转。设地心到隧道的距离为d，取隧道中点为坐标原点，当小球的位置矢量为x时，所受的引 力大小为F二-GMm rXT亦，此力沿隧道方向的分力为F = GMm飞丁石.R 3R