天津南开光明中学 高三数学文模拟试卷含解析

1、天津南开光明中学 高三数学文模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增加的，又f（3）=0，则x?f（x）0的解集是（）Ax|x3，或0 x3Bx|3x0，或x3Cx|x3，或x3Dx|3x0，或0 x3参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】由已知可判断f（x）在（，0）内的单调性及所过点，作出其草图，根据图象可解不等式【解答】解：f（x）是奇函数，且在（0，+）内递增，f（x）在（，0）内也递增，又f（3）=0，f（3）=f（3

2、）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象可知，x?f（x）0?xf（x）0?xf（x）0?或?x3或x3，x?f（x）0的解集是x|x3或x3故选C【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属中档题2. 在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为 A B C D参考答案：C3. 给定两个命题p、q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：B因为p是q的必要而不充分条件，所以q是p的必要而不充分条件，即p是q的充分而不必要条件，选A.4. （多选

3、题）下列函数中，既是偶函数，又在(0,+ )上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：BC【分析】易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,先利用与的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,对于选项A,则为奇函数,故A不符合题意；对于选项B,即为偶函数,当时,设,则,由对勾函数性质可得,当时是增函数,又单调递增,所以在上单调递增,故B符合题意；对于选项C,即为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为,则在上单调递增,故C符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知是偶函数,但在不恒增,故D不符合题意；故选:BC【点睛】

4、本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.5. 直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为，则的值为( )A. B. C. D. 参考答案：B略6. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2，则等于（ ）参考答案：A试题分析：由题意2得点A是BC的中点，则，故选A考点：向量的运算7. 函数f（x）=ex+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2xy3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）ABCD2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据函数f（x）和g（x）关于直线2xy3=0，则利

5、用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可【解答】解：f（x）=ex+x2+x+1，f（x）=ex+2x+1，函数f（x）的图象与g（x）关于直线2xy3=0对称，函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值直线2xy3=0的斜率k=2，由f（x）=ex+2x+1=2，即ex+2x1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2xy3=0的最小距离，此时d=，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2故选：D8. 函数的定义域为（） 参考答案：答案：A解析：选

6、A.9. 已知向量满足 与的夹角为，则的最大值为（A） （B） （C） （D）参考答案：D10. 已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（a）、f（a）、f（3a）成公差不为0的等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（）A0条B1条C2条D3条参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出a，再分类讨论，求出切线的条数【解答】解：f（a）、f（a）、f（3a）成公差不为0的等差数列，2f（a）=f（a）+f（3a），代入化简可得a4a2=0，a0，a=1，a=1，函数f（x）=x33x2+1，设切点A（x0，y0），f（x）=3x26x，切线斜率为3x026x

7、0，又切线过原点，y0=3x03+6x02又切点A（x0，y0）在f（x）=x33x2+1的图象上，y0=x033x02+1由得：2x03+3x02+1=0，方程有唯一解；a=1，函数f（x）=x33x2+1，设切点A（x0，y0），f（x）=3x26x，切线斜率为3x026x0，又切线过原点，y0=3x03+6x02又切点A（x0，y0）在f（x）=x33x2+1的图象上，y0=x033x02+1由得：2x033x021=0，方程有唯一解；故选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时在R上是单调函数，则实数a的最小值是 。参考答

8、案：12. 设，若，则_参考答案：，13. 在中，则 参考答案：4略14. 定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点。已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是 。参考答案：略15. 设函数的定义域分别为，且。若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数。设，为在R上的一个延拓函数，且是奇函数，则= 参考答案：当时，；当时；。16. 已知p：?x，2xm（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是 参考答案：（，1）【考点】复合命题的真假【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，取交集即可【解答】解：已知p

9、：?x，2xm（x2+1），故m，令g（x）=，则g（x）在，递减，故g（x）g（）=，故p为真时：m；q：函数f（x）=4x+2x+1+m1=（2x+1）2+m2，令f（x）=0，得2x=1，若f（x）存在零点，则10，解得：m1，故q为真时，m1；若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是：（，1），故答案为：（，1）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题17. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（0，02），则直线与曲线的公共点的极径_.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题

10、，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）已知函数f（x）=lnx+a（其中aR，无理数e=2.71828）当x=e时，函数f（x）有极大值（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）任取x1，x2e，e2，证明：|f（x1）f（x2）|3参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（1）将x=e代入函数的表达式求出a的值即可；（2）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（3）问题转化为证明|f（x）maxf（x）min|3即可【解答】解：（1）由题知f（e）=lne+a=，解得a=0；（2

11、）由题可知函数f（x）的定义域为（0，+），又f（x）=，由0得0 xe；0得xe；故函数f（x）单调增区间为（0，e），单调减区间为（e，+）；（3）因为f（x）=lnx，由（1）知函数f（x）的单调减区间为（e，+），故f（x）在e，e2上单调递减，f（x）max=f（e）=lne=1=；f（x）min=f（e2）=lne2=2，f（x）maxf（x）min=（2）=，|f（x）maxf（x）min|=3，依题意任取x1，x2e，e2，欲证明|f（x1）f（x2）|3，只需要证明|f（x）maxf（x）min|3即可，由可知此式成立，所以原命题得证【点评】本题考查了导数的应用，考查了函数的

12、单调性，绝对值不等式的证明，本题属于中档题19. 已知椭圆的一个焦点，点在椭圆上()求椭圆的方程；()直线平行于直线（坐标原点），且与椭圆交于，两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围参考答案：（1）由已知，则 又点在椭圆上，所以 3分由解得（舍去），故椭圆的标准方程为 5分()由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，故的方程为由得，又线与椭圆交于，两个不同的点，设，则，所以，于是 8分为钝角等价于，且，则，10分即，又，所以的取值范围为 12分20. 斜三棱柱，其中向量,三个向量之间的夹角均为，点分别在上且， =4，如右图（）把向量用向量表示出来，并求；（）把向量用表示；（）求与所成角的余弦值.参考答案：略21. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.参考答案：（1）由题意可得，当时，得，无解；当时，得，即；当时，得，综上，的解集为.（2）因为存在，使得成立，所以，又，由（1）可知，则，所以，解得.故的取值范围为.22. （本题满分14分） 已知函数的极大值点为（）用实数来表示实数，并求的取值范围；（）当时，的最小值为，求的值；（）设，两点的连线斜率为 求证：必存在，使参考答案：（），由题设知（2分）韦达定理得另一极值点，因为为极大