大学一年级高等数学

1、1.F(x)f(x)的一个原函数，M N表示“M 要条件是，则必有F(x)是偶函数f(x).F(x)是奇函数f(x).F(x)是周期函数f(x).F(x)是单调函数f(x)是单调函数1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解F(x) 0f (t)dt C ，且F (x) f (x).当 F(x) 为偶函数时， 有 F (x) F (x) F (x) F (x) f(x f(xf(xf(xf(x)f(x)为奇函数，则 x0f (t)dt F (x) 0f (t)dt C 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除

2、(B)(C);令f(x)=x, 则取F(x)= 12x2, 排除(D); 故应选(A).【评注f(x)F(x)次考查过. f(x)F(x)的有界性之间有何?【评注】应特别注意x ，limx从而limx x1 ，x1x1xx1x lime 0.lim tan x sinx =（）x0sin32xA.0；B.；C.1 16；D.1610Ctan x (1cos x)x 1x21解 原式limlim2.x0(2x)x08x316注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限不能在代数和的情形中使用如上中若对分子的每项作等价替换，则错误！原式 x0 x x 0 . (2x)3B.；C.116；D.16极限

3、limxx无穷小量是2x=2x 2 1函数y f在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是在某一极限过程中，以0 为极限的变量，称为该极限过程中无穷小量. 函 数yf (x)在点x0有定义；lim f ( x) xx0 时极限xx0存在；lim f (x) f (x ) 极限值与函数值相等，即xx00求1 x 1 ).x01 exxx223.求lim(3x)x5 x2x 225.求limx 0sin x 2tan 2x(x2 3x)27. 计算极限2nn13n )n. 分析】 .【详解】 lim(1 1 ) x x2 1e=lim x x2 1 e xx0 1 exx0ex x0

4、x2=lim12xe=lim 2 e x 3 .x02xx02222.f (x)=3lnx+1e3e 225.1626.ln 3 27. 332. 求lim1 2 nnn2n(n 1)32. 解：lim1 2 n 2 lim 2 limn 2n 2 n 12n22nnn43. lim11 n3nn 1)n143.=n1 e e)3nn研究函数在指定点的连续性sin x , x 0f (x) x,x 0指出下列函数在指定点是否间断如果间断指出是哪类间断点。f (x) 1,x1x 157. 试证正弦函数 y = sin x 在(-, 。59.f (x)xsin 1 函数=x是否在点x0连续？x 0

5、60. 求极限 lim ax 1 .x0 x48解limf ( x ) lim sin x 1xx0 x0 x而 f ( x0) f (0) 1lim f ( x ) f (0)x 0 x 0处连续。49. 间断，函数在x1 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点57. 证 x(-, +)，任给 x 一个增量 x，对应的有函数 y 的增量 y = sin( x + x)-sin x =2sin x cos(x x).222x 0 y 2 sin x 2 2x2弦函 x，由夹逼准则知y ，再由x 的任意性知正59. 证 虽然 f 是分段函数，但点 x = 0 两侧函数表达式一致。 lim f(x) limxsin 1 0 f (0) ，x 0 x0 x f xx = 0 处连续60.解 令a x1 = t，则x = log(1+t) ，当x0时，t0,a 原式limtlim11 ln a.tat0 l