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文档简介

1、y P( x) y Q x 一阶线性微分方程的通解为：y Ce P ( x )dx e P ( x )dx Q( x)e P ( x )dx dx.一阶线性微分方程的一般形式：y P( x) y Q( x) y f x 二阶线性齐次微分方程： f ( x) 0二阶线性非齐次微分方程： f ( x) 0二阶线性微分方程的一般形式：二阶齐次方程解的结构:如果函数 y1 ( x)与y2 ( x) 是方程y P( x) y Q( x) y 0的两个解,那么y C1 y1 C2 y2 也是方程的解.（C1 ,C2 是常数）.二阶非齐次方程的求解: 常数变易法y ( x)y( x)W 0,12y1( x)

2、y2 ( x)如果则二阶非齐次方程的通解为2y1 f dx,WWy C1 y1 C2 y2 y1y2 f dx y（C1 ,C2 是常数）.y py qy 0将y erx其代入上方程, 得故有特征根r 2 pr q 0, p p2 4q 2r1,2(r 2 pr q)erx 0:erx 0,二阶常系数齐次线性方程解法有两个不相等的实根1,2p2 p 4qr,2p2 p 4qr2 y er1 x ,12y er2 x ,两个线性无关的特解得齐次方程的通解为y C1e 1r x C2e 2;r x有两个相等的实根11,r xy e2pr r ,一特解为2y xer1 x ,12另一特解为得齐次方程的通解为y (C 1 C 2 x )e 1;r x有一对共轭复根r1 j ,2r j ,1y e( j ) x ,2y e( j ) x ,得齐次方程的通解为y e x (Ccos x Csin x).12二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:写出相应的特征方程;求出特征根;根据特征根的不同情况,得到相应的通解.三. 欧拉方程求解xn y(n) p1xn1 y(n1) pn1x y pn y f (x)令 x et ,

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