2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第5章 第3节　平面向量的数量积及其应用

1、 平面向量的数量积及其应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1向量的夹角已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，当eq f(,2)时，a与b相互垂直，记作ab；当0时，a与b共线且同向；当时，

2、a与b共线且反向2平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定：0a0.3投影向量设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b，过eq o(AB,sup6()的起点A和终点B，分别作eq o(CD,sup6()所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq o(A1B1,sup6()，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq o(A1B1,sup6()叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos e

3、.提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为，则a在b上的投影向量为|a|cos eq f(b,|b|)eq f(abb,|b|2).4向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|eq r(aa)eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).(3)夹角：cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2

4、,2).(4)两非零向量ab的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2).6向量在平面几何中的应用(1)要证ABCD，可转化为证明eq o(AB2,sup6()eq o(CD,sup6()2或|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|.(2)要证两线段AB，CD平行，只要证存在唯一实数0，使等式eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()成立即可(3)要证两线段AB，CD垂直，只需证eq o(AB,sup6(

5、)eq o(CD,sup6()0.(4)求夹角问题，利用夹角公式cos eq f(ab,|a|b|).常用结论1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2(3)abeq f(1,4)(ab)2(ab)2(该式又称作极化恒等式)2有关向量夹角的两个结论两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的夹角的范围是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(3)

6、由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知|a|2，|b|6，ab6eq r(3)，则a与b的夹角等于()A.eq f(,6)B.eq f(5,6)C.eq f(,3)D.eq f(2,3)Bcos eq f(ab,|a|b|)eq f(6r(3),26)eq f(r(3),2)，又因为0，所以eq f(5,6).2若ab6，|a|8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为_. eq f(3,4)e向量b在向量a上的投影向量为eq f(ab,|a|)eeq f(3,4)e.3设e1和e2是互相垂直的单位向量，

7、且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于_. 1因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.4已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|1，则|a3b|_.eq r(10)因为ab0，|a|1，|b|1，所以|a3b|eq r(a3b2)eq r(a26ab9b2)eq r(12912)eq r(10). 考点一平面向量数量积的运算典例1已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()的值为_，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6

8、()的最大值为_.四字解题读想算思正方形ABCD且E是AB边上的动点；求eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()的最大值数量积的求解方法投影法数量积的几何意义数形结合基向量法数量积的运算三角形法则坐标法建系，求相关点的坐标，建立函数几何问题代数化，函数思想11法一(投影法)：设向量eq o(DE,sup6()，eq o(DA,sup6()的夹角为，则eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(DE,sup6()|eq o(DA,sup6()|

9、cos ，由图可知，|eq o(DE,sup6()|cos |eq o(DA,sup6()|，所以原式等于|eq o(DA,sup6()|21，要使eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()最大，只要使向量eq o(DE,sup6()在向量eq o(DC,sup6()上的投影达到最大即可，因为eq o(DE,sup6()在向量eq o(DC,sup6()上的投影达到最大为|eq o(DC,sup6()|1，所以(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max|eq o(DC,sup6()|21.法二(基向量法)：因为eq o(DE,sup6()eq o(DA,su

10、p6()eq o(AE,sup6()且eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()，所以eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(DA,sup6()|21，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AE,sup6()|eq o(AE,sup6()|，所以要使eq o(DE,su

11、p6()eq o(DC,sup6()最大，只要|eq o(AE,sup6()|最大即可，明显随着E点在AB边上移动，|eq o(AE,sup6()|max1，故(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max1.法三(坐标法)：以D为坐标原点，eq o(DC,sup6()与eq o(DA,sup6()所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0 x1，所以eq o(DE,sup6()(x,1)，eq o(CB,sup6()(0,1)，可得eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()x0111.因为eq o(DC,sup6()(1,0)，

12、所以eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()x，因为0 x1，所以(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max1.平面向量数量积的三种运算方法跟进训练1(1)(2021安徽合肥一模)在ABC中，AB2，AC3，eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(EB,sup6()，则eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()()Aeq f(7,6) B.eq f(7,6) Ceq f(16,3) D.eq f(16,3)(2)在RtABC中，Ceq f(,2)，AB4，AC2，若eq o(AD,su

13、p6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，则eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()等于()A18 B6eq r(3) C18 D6eq r(3) (3)(2021福州模拟)设向量e1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1).若a2e17e2，b4e13e2，则ab_，向量a在向量b上的投影向量为_(1)C(2)C(3)13eq blc(rc)(avs4alco1(f(52,25)，f(39,25)(1)在ABC中，因为eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，所以eq o(AD,

14、sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，又eq o(AE,sup6()eq o(EB,sup6()，所以eq o(CE,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC

15、,sup6()f(1,3)o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()2eq f(1,6)eq o(AB,sup6()26eq f(2,3)eq f(16,3)，故选C.(2)法一(基向量法)：由Ceq f(,2)，AB4，AC2，得CB2eq r(3)，eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()0，eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,su

16、p6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()Ceq o(B,sup6()eq f(3,2)(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(CB,sup6()218，故选C.法二(坐标法)：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2eq r(3)由题意得CBAeq f(,6)，又eq o(AD,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，所以D(1,3eq r(3)，则eq o(CD,sup6()eq

17、 o(CB,sup6()(1,3eq r(3)(0,2eq r(3)18，故选C.法三(投影法)：因为Ceq f(,2)，AB4，AC2，所以CB2eq r(3)，所以eq o(AB,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影为2eq r(3)，又eq o(AD,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，所以eq o(AD,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影为eq f(3,2)2eq r(3)3eq r(3)，则eq o(CD,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影为3eq r(3)，所以eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6

18、()|eq o(CB,sup6()|eq o(CD,sup6()|coseq o(CD,sup6()，eq o(CB,sup6()2eq r(3)3eq r(3)18，故选C.(3)因为向量e1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)，所以a2e17e22eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)7eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)eq blc(rc)(avs4alco1(2，7)，b4e13e24eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)3eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)eq

19、blc(rc)(avs4alco1(4，3)，所以ab247313，由aeq blc(rc)(avs4alco1(2，7)，beq blc(rc)(avs4alco1(4，3)可得：eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq r(449)eq r(53)，eq blc|rc|(avs4alco1(b)eq r(169)5，所以cosa，beq f(ab,blc|rc|(avs4alco1(a)blc|rc|(avs4alco1(b)eq f(13,r(53)5)，向量a在向量b上的投影向量为：eq blc|rc|(avs4alco1(a)cosa，beq f(b,blc|rc|(avs

20、4alco1(b)eq r(53)eq f(13,r(53)5)eq f(b,5)eq f(13,25)beq f(13,25)eq blc(rc)(avs4alco1(4e13e2)eq f(52,25)e1eq f(39,25)e2eq blc(rc)(avs4alco1(f(52,25)，f(39,25). 考点二平面向量数量积的应用平面向量的模典例21(2021全国甲卷)若向量a，b满足|a|3，|ab|5，ab1，则|b|_.3eq r(2)由|ab|5得(ab)225，即a22abb225，结合|a|3，ab1，得3221|b|225，所以|b|3eq r(2).平面向量的夹角典例

21、22(1)(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k(1)B(2)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3)(1)法一：因为(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，beq f(1,2)，又知a，b0，所以a，beq f(,3)

22、，故选B.法二：如图，令eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOBeq f(,3)，即a，beq f(,3).故选B.(2)因为2a3b与c所以(2a3b)c0，即(2k所以4k660，所以k3.若2a3b与c反向共线，则eq f(2k3,2)6，解得keq f(9,2)，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)

23、，3).平面向量的垂直典例23(1)(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab(2)已知向量eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()的夹角为120，且|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(AC,sup6()|2.若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，则实数的值为_(1)D(2)eq f(7,12)(1)法一：由题意，得ab|a|b|cos 60eq f(1,2).对于A，(a2b)

24、bab2b2eq f(1,2)2eq f(5,2)0，故A不符合题意；对于B，(2ab)b2abb21120，故B不符合题意；对于C，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(3,2)0，故C不符合题意；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b.故选D.法二：不妨设aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，b(1,0)，则a2beq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(r(3),2)，2ab(2，eq r(3)，a2beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)，2ab(0，eq r(3

25、)，易知，只有(2ab)b0，即(2ab)b，故选D.(2)因为eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()0.又eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，所以(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()0，即(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup

26、6()20，所以(1)|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos 120940.所以(1)23eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)940.解得eq f(7,12).1.求平面向量模的方法(1)若a(x，y)，利用公式|a|eq r(x2y2).(2)利用|a|eq r(a2).2求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos eq f(ab,|a|b|)，的取值范围为0，(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).(3)解三角形

27、法：把两向量的夹角放到同一三角形中跟进训练2(1)(2021郑州市第一次质量预测)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|a2b|()A3 B.eq r(3) C7 D.eq r(7)(2)设平面向量a(2,1)，b(，2)，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)(2，)B(，4)(4,1)C(1，)D(，1)(3)(2021全国乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则_.(1)D(2)B(3)eq f(3,5)(1)法一：因为a，b是单位向量，所以|a|1，|b|1.由|ab|1得|ab|21，即|a|22ab

28、|b|21，可得abeq f(1,2)，所以|a2b|eq r(a24ab4b2)eq r(124)eq r(7)，故选D.法二：设O是坐标原点，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b(图略)，因为|a|1，|b|1，|ab|1，所以OAB是等边三角形，所以abeq f(1,2)，所以|a2b|eq r(a24ab4b2)eq r(124)eq r(7)，故选D.(2)法一：因为a与b的夹角为锐角，所以cosa，b(0,1)又a(2,1)，b(，2)，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(22,r(5)r(24)(0,1)，整理得eq blcrc (av

29、s4alco1(220，,28160，)所以eq blcrc (avs4alco1(1，,4，)所以的取值范围为(，4)(4,1)故选B.法二：因为a与b的夹角为锐角，所以eq blcrc (avs4alco1(ab0，,a，b不共线.)又a(2,1)，b(，2)，所以eq blcrc (avs4alco1(220，,f(,2)f(2,1)，)所以eq blcrc (avs4alco1(1，,4，)所以的取值范围为(，4)(4,1)故选B.(3)法一：ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即(13，34)(3,4)0，3912160，解得eq f(3,5).法二：由(ab)b可知，(a

30、b)b0，即abb20，从而eq f(ab,b2)eq f(1，33，4,3242)eq f(15,25)eq f(3,5). 考点三数量积的最值(范围)问题典例3(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值是()A2 Beq f(3,2) Ceq f(4,3) D1B图法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PD,sup6()，则eq

31、 o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()2(eq o(PE,sup6()eq o(EA,sup6()(eq o(PE,sup6()eq o(EA,sup6()2(eq o(PE,sup6()2eq o(EA,sup6()2)而eq o(EA,sup6()2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2eq f(3,4)，当点P与点E重合时，eq o(PE,sup6()2有最小值0，故此时eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小

32、值，最小值为2eq o(EA,sup6()22eq f(3,4)eq f(3,2).图法二：(坐标法)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq r(3)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则eq o(PA,sup6()(x，eq r(3)y)，eq o(PB,sup6()(1x，y)，eq o(PC,sup6()(1x，y)，所以eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()(x，eq r(3)y)(2x，2y)2x22eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3)

33、,2)2eq f(3,2)，当x0，yeq f(r(3),2)时，eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小值，最小值为eq f(3,2).故选B.设a，b是平面内的两个向量，则有abeq f(1,4)(ab)2(ab)2；极化恒等式的几何意义是在ABC中，若AD是BC边上的中线，则eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()AD2BD2.具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数

34、量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合跟进训练3在半径为1的扇形AOB中，若AOB60，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是_.eq f(1,16)法一：(极化恒等式)如图，取OB的中点D，连接PD，则eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()PD2OD2PD2eq f(1,4)，即求PD的最小值图由图可知，当PDAB时，PDmineq f(r(3),4)，则eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是eq f(1,16).法二：(坐标法)图以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于

35、OB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，可得直线AB的方程为2xeq f(2r(3),3)y1，设Peq blc(rc)(avs4alco1(x，f(r(3),2)12x)，则eq o(OP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，f(r(3),2)12x)，eq o(BP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，f(r(3),2)

36、12x)，所以eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()4x23xeq f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,8)2eq f(1,16)，当xeq f(3,8)时，eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()取得最小值eq f(1,16). 考点四平面向量的应用典例4(1)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|80 N，则G的大小为_，F2的大小为_(2)如图，在ABC中，M为BC的中点，若AB1，AC3，eq o(AB,s

37、up6()与eq o(AC,sup6()的夹角为60，则|eq o(MA,sup6()|_.(1)160 N80eq r(3) N(2)eq f(r(13),2)(1)根据题意，F1F2G，如图所示：CAO90，AOC30，AC80，OC160，OA80eq r(3)，G的大小为160 N，F2的大小为80eq r(3) N.(2)M为BC的中点，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，|eq o(MA,sup6()|2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq f(1,4)(|eq o(

38、AB,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)(19213cos 60)eq f(13,4)，|eq o(MA,sup6()|eq f(r(13),2).用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤跟进训练4在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|F2|，F1与F2的夹角为.给出以下结论：越大越费力，越小越省力；的范围为0，；当eq f(,2)时，|F1|G|；当eq f(2,3)时，|F1|G|.其中正确结论的序号是

39、_对于，由G(F1F2)为定值，所以|G|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 2|F1|2(1cos )，解得|F1|2eq f(|G|2,21cos ).由题意知(0，)时，ycos 单调递减，所以|F1|2单调递增，即越大越费力，越小越省力，正确；对于，由题意知，的取值范围是(0，)，故错误；对于，当eq f(,2)时，|F1|2eq f(|G|2,2)，所以|F1|eq f(r(2),2)|G|，故错误；对于，当eq f(2,3)时，|F1|2|G|2，所以|F1|G|，故正确故正确的结论为.4.突出考查平面向量数量积核心概念的内涵与外延数学概念是数学的本质，是推导公式和定理的

40、主要依据，也是解题的一把钥匙，高考试题所考查的核心概念均源于教材，且高考注重对核心概念及教材知识的考查，如2020年新高考卷第7题考查数量积的概念的应用，2021年新高考卷第8题考查事件相互独立性的概念理解所以在一轮复习时，教师一定要重视对教材核心概念的复习，引导学生认真研读教材，注意细节，真正认清概念的内涵与外延典例5(2020新高考卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()的取值范围是()A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)A法一(坐标法)：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,

41、0)，B(2,0)，C(3，eq r(3)，F(1，eq r(3)设P(x，y)，则eq o(AP,sup6()(x，y)，eq o(AB,sup6()(2,0)，且1x3.所以eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()(x，y)(2,0)2x(2,6)故选A.法二(投影法)：eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AP,sup6()|eq o(AB,sup6()|cosPAB2|eq o(AP,sup6()|cosPAB，又|eq o(AP,sup6()|cosPAB表示eq o(AP,sup6()在eq o(AB,sup6()方向上的投影，结合几何

42、图形(图略)，当点P与F重合时投影最小，当P与点C重合时，投影最大，又eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()2eq r(3)2cos 306，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()22cos 1202，故当点P在正六边形ABCDEF内时，2eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()6.平面向量中的范围、最值问题的两种解题思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解

43、等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决跟进训练5在ABC中，AB6，O为ABC的外心，则eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()等于()A.eq r(6) B6 C12 D18D如图，过点O作ODAB于D，可知ADeq f(1,2)AB3，则eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(AB,sup6()36018.1.平面向量与三角形的“四心”向量具有数形二重性，借助几何直观研

44、究向量，优化解题过程，进而提高解题效率设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|eq f(a,2sin A).(2)O为ABC的重心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0.(3)O为ABC的垂心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6().(4)O为ABC的内心aeq o(OA,sup

45、6()beq o(OB,sup6()ceq o(OC,sup6()0.平面向量与三角形的“重心”问题 eq avs4al(典例6)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 eq o(OP,sup6() eq f(1,3)(1) eq o(OA,sup6()(1) eq o(OB,sup6()(12) eq o(OC,sup6()，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点C取AB的中点D，则2 eq o(OD,sup6() eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()， eq o(OP,sup6() eq f(1,3

46、)(1) eq o(OA,sup6()(1) eq o(OB,sup6()(12) eq o(OC,sup6()， eq o(OP,sup6() eq f(1,3)2(1) eq o(OD,sup6()(12) eq o(OC,sup6() eq f(2（1）,3) eq o(OD,sup6() eq f(12,3) eq o(OC,sup6()，而 eq f(2（1）,3) eq f(12,3)1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心平面向量与三角形的“内心”问题 eq avs4al(典例7)在ABC中，AB5，AC6，cos A eq f(1,5)，O是ABC的内心，若 eq

47、 o(OP,sup6()x eq o(OB,sup6()y eq o(OC,sup6()，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A eq f(10r(6),3)B eq f(14r(6),3)C4 eq r(3)D6 eq r(2)B根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bc cos A，得a7.设ABC的内切圆的半径为r，则 eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)(abc)r，解得r eq f(2r(6),3