2022届高考数学一轮复习学案第39讲排列组合二项式定理

1、 年通高考数学科一轮复习精品学案第 讲一课要求：分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例总出分类加法计数理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选 择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并 能解决简单的实际问题；二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 二命走向本局部内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三局部；考查内容：两个原理；2排列、组合的概念，排列数和合数公式，排列和组合的 应用；二项式定理，二项展开式的通项

2、公式，二项式系数及二项式系数和。排列组不仅是高中数学的重内容且在实际中有广泛的应用因此新高考会有题目涉及项定理是高中数学的重点内容高考每年必考内容高考会继续考察。考察形式单的考题会以选择填题的形式出现属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测 年高考本局部内容一定会有题目涉及现选择填空的可能性较大概相结合的解答题出现 的可能性较大。三要精讲排列、组合、二项式知识相互关系表两个根本原理1分类计数原理中的分类；2分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。排列1排列定义，排列数n n nn n-1n nn n n n nn n n

3、n n-1n nn n n n n nn n n n n k+1 2排列数公式：系A=n ( )!；3全排列列：Ann=n!4记住以下几个阶乘数：1！，2！，！=6，！，！=1206； 组合1组合的定义，排列与组合的区别；2组合数公式： m3组合数的性质! n - = n )! m ； m=C n-m； r nCrnCrn ； rC r=nC r-1； 0 1+C ； 0 +(n n=0，即 C +C +C 4=C +C =2； 二项式定理1二项式展开公式：(a+b)=C 0a+C 1 n-1+C kan-kk+C nbn；2通项公式：二项式展开式中第 k+1 项的通项公式是： =C kabk

4、；二项式的应用1求某些多项式系数的和；2证明一些简单的组合恒等式；3证明整除性。求数的末位；数的整性及求系数；简单多项式的整除问题； 4近似计算。当x|充分小时，我们常用以下公式估计近似值：(1+x)1+nx；n1+nx+ 四典例解析题型 ：计数原理n 2x2证明不等式。例 完成以下选择题与空题1有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，那么不同的投法有种。A81 B64 24 D 2四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 A81 B64 24 D 3有四位学生参加三项不同的竞赛，每位学生必须参加一项竞赛，那么有不同的参赛方法有；3 3 23 3 2 4 33 3 4 4 3每项竞赛只

5、许有一位学生参加，那么有不同的参赛方法有；每位学生最多参加一项竞赛赛只许有一位学生参加不的参赛方法有。解析成一件事分步进行还“类进行是选用根本原理的关键“投四封信这件事分四步完成一封信作为一步都有投入三个不同信箱的三种方法，因此：4，故答案选 A。此题也可以这样分类完成，四封信投入一个信箱中，C 种投法；四封信投入两个信箱中，有 C 1A +C C 种投法；四封信投入三个信箱，有两封信在同一信 箱中，有 2 3 种法有 C +C 2C 1A 2+C 2 +C 2A 3=81种选 A。2因学生可同时夺得 n 项军，故学生可重复排列，将 名学生看作 个店，项冠军看作客个客都可住进 家店中的任意一家

6、每个客有 4 种宿法。 由分步计数原理得：。故答案选 B。3学可以选择工程竞工程对学生无条件限制以1得 4 种竞赛工程可以挑学生而生选择工程的时机每一项可以挑 4 种同学生共有3=64种等价于从 4 个生中挑选 个生参加三个工程的竞赛，每人参加一项，故共有C 3 =24种例 2今有 个红球、3 个黄球 个球同色球不加以区分，将这 9 个排成一列 有种不同的方法用数字作答。解析此考查排列组合的根本识，由题意可知，因同色球不加以区分上一个组合问题，共有1260。点评计原理与分类计数理是排列组合中解决问题的重要手段底法，在高中数学中只这两个原理其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处遇到 比较复杂的

7、问题时，用分类的方法可以有效的将之化,到达求解的目的。题型 ：排列问题例 31在,2,3,4,5奇数的共有 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为A36 个 24 个 18 D 个3 3 32从 名男生和 名生中选出 3 人分别从事三项不同的工作，假设这 3 人至 少有 1 名生，那么选方案共有 A108 种 B186 种 C216 种 D270 种3在数字 1,2 符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的 全排列个数是 A6 12 C. D. 244高三一班学要安排毕业晚会的 4 各乐节目 个蹈节目和 个艺节目 的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种

8、数是 A18003600C 5040解析：1依题意，所选的三位数字有两种情况13 个数字都是奇数，有 A 种方法2 数字中有一个是奇数，有 3 故共有 1 3 3 3 种方法，应选 B；2从全部方案中减去只选派男生的方案数理的选派方案共有 A 7 =186 种选B3先排列 1，有种排法，再，两个符号插入，有 2种方法，共有 12 种法，选 B；4不同排法的种数为5 A ，应选 。点评合的应用排列的公式处实际问题先应该进入排列问题的情景清楚我 处理时应该如何去做。例 用数字 0，2，3 成没有重复数字的五位数，那么其中数字 ，2 相 邻的偶数有个用数字作答；2电视台连续播放 6 广告，其中含 4

9、 个不同的商业广告和 不同的公益广告， 要求首尾必须播放公益广告，那么共有种不同的播放方式结果用数值表示.解析可以分情况讨论： 假末数为 ，那么 2为一组，且可以交换位置，3，4，各为 个字，共可以组成2 12个五位数； 假设位数字为 ，那么 1 与它相邻，其余 个字排列，且 0 不首位数字，那么有2 4个五位数； 假设末位数字为 4那么 ，2为一组，且可以交换位置0各为 数字，且 0 不首位数字，那么有2 ) =8 个位数，所以全部合理的五位数共有 个。2 4 2 43 3 2 4 2 43 3 2分二步：首尾必须播放公益广告的有 A 2种；中间 个不的商业广告有 A 4种，从而应当填 A

10、2 48. 从应填 。点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。 题型三：组合问题例 51将 实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名， 那么不同的分配方案有 A种 B 种 种A10 B20 种C 种52 种解析1将 5 名习教师配到高一年级的 个实习，每班至少 名最多 名，那么将 教师分成三组，一组 人另两组都是 2 人，有C 5 A215种方法，再将 组分到 3 个，共有 90种不同的分配方案，选 B点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的根底，应用计数原理结合例 1某校从 8 教师中选派 4 名教师同时去 4 个远地区支每地 1 人，其中 甲

11、和乙不同去，那么不同的选派方案共有种；2名志愿者分到所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法 共有 A150(B)180(C)200种种解析：可以分情况讨论， 甲去，那么乙不去，有 3 =480 种法；甲不去，乙去，=480 种法甲、乙都不去，有 =360 种法；共有 1320 种同的选派方案；C 3C1 5 2 1 32人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两方式，假设是 ，么有 C C 25 2 3种，假设是 1,1,3那么有 2 种所以共有 种选 A点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；题型 ：排列、组合的综合问题10459 459 64010

12、10459 459 64010例 7平面上给定 10 个点，任意三点不共线，由这 0 个确定的直线中，无三条直线交于同一除原 10 点外条线互相平行直线所交成的点的个除 原 点外些线交成多少个三角形。解法一题设这 10 点确的直线是 2=45 条这 45 条线除原 点无三条直线交于同一点任意两条直线交一个点共有 C 2个交点。而在原来 点有 9 直线共点于此。所以，在原来点上有 点被重复计数；所以这些直线交成新的点是：C 2 2。2这些直线所交成的三角形个数可如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述 630 点或原来的 10 个。所以三角形的个数相当于从这 640 个中任取三 个

13、点的组合，即 3=43486080个解法二图对给定的 点任取 4 个，四点连成 6 条线，这 条线交 3个新的点。故原题对应于在 个中任取 4 点不取法的 倍即这些直线新交成的点 的个数是： 4=630。2同解法一。点评用列组解决有关几计算问题除了应用排列组合的各种方法与对策之 外，还要考虑实际几何意义。例 直 的 是自集合2,1,0,1,2,3的 3 个不同的元素， 并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解 设斜角为 ， 为锐角，得 tan=ab0,即 、 号。1 c=0 各有 种法 个重 33-2=7 条2假设 0a 有 3 种取法 有 种取法，而同时 还 4 种取法，且其

14、中任两条直线均不相同，故这样的直线有 条从而符合要求的直线共有 7+36=43 ；点评：此题是 1999 年国高中数学联赛中的一填空题，据抽样分析正确率只有 。 错误原因没有对 c=0 正分类；没有考虑 c=0 中出现重复的直线。题型 ：二项式定理例 1在( x13 x)24的展开式中，的幂的指数是整数的项共有A3 项B4 项C D 1210n 2 0 1 2022 0 1 202220220 1 202220221 20221210n 2 0 1 2022 0 1 202220220 1 202220221 2022 2 ( ) x10的展开式中含 的整数指数幂的项数是A0B24D解析：此题

15、主要考查二项式展开通项公式的有关知识；1T r1r24-1(-1)r724 r，当 r0，9，15，21， 时， 的数分别是 24，16，84，8，其中 ，8，08 均 为 2 的整数次幂，应选 C；2 13x 的开式通项为 1 C r ( x ) r ( ) r ( 10 3x 3r2，因此含 x 的正整数次幂的项共有 项. B；点评：多项式乘法的进位规那么。在求系数过程尽量先化简，降底数的运算级尽 量化成加减运算在算过程可以适当注意令值法的运用如求常数项可 在二 项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。例 10 x22022的二项展开式中 x 奇次幂的项之和为 当 x2时， 等

16、A.23008B.2C.230092 i 32 x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 其中 i x 开式中常数项是 (A)i (B) 45i (C) 45 (D)45 3假设多项式1么展x2x10a a ( x 0 92 ( 1010 则a 9 (A)9 9 (D)解析：设x 2022a x2022a x x ；那么当 x 2 时有 a 2 2 2022 2 ，当 x时 a 30092，1有 2022 230093008应 B； 4n n n n n n n n n n n n n 4n n n n n n n n n n n n n 2第三项的系数为 ，五项的系数为 ，由第三项与第五项的

17、系数之比为 314可得 么T r ( 2 r i)r ) r C r x10 r2 5r解得 r，故所求的常数项为( 8 C 45，选 A 3 令 ， 得a a 0 102210， 令 ， 得a a a a 0 1 ；点评：此题考查二项式展开式的特殊值法，根底题； 题型 ：二项式定理的应用例 证明以下不等式：1an2na n,a 是实数,n 22、b 为数，且1 + ，那么对于 N 有 a bn-a22nn+1。证明 a=x+，那么 an=(x+)+(x-na 2；=x+C 1xn-1+C n +x xn-1+( -1)n n +C 2xn-2+C 4xn-4+)即an2na 22n+C n-

18、1+C n n(a+b)n=bn n-1a+C n n上述两式相加得：n=(an (ab+ba)+ kn-kbk n-kk)+C n(an(*)1 + ，且 a 为正数 a bab=a+b又 an-kk+bk2a n )(k=1,2,nn n n n nn n n n n+1n+1n+1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n+1n+1n+1n n n n n n n n n n n n n n n n nn+2bn+C 1n 2n+C 2()n(a+b)na-b(C +C 2+C n-1) n2)2 n=2n+1点评：利用二项式定理

19、的展开式，可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题1中的换元法称之为均值换元对称换元。这样消 奇次，从而使每一项均大于或等于零。题2中，由由称位置二项式系数等，将展开式倒过来写再与原来的展开式相加， 这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。例 12 46n+5n+1被 除后的余数；2+C n-1 2 +C 7 以 ，得余数是多少3根据以下要求的精确度，求 1.02 的似值。精确到 ；精确到 。解析先考虑 n+5被 4 整的余数。5n+1=(4+1)=4n+1+C n+C 2 +C ，其被 除的余数为 1被 20 整的余数可以为 1，9，17然后考虑 n+1+5n+1被 5 整的余数。46n=4(5+1)n=4(5+C 1 2 n-2+C n-1， 被 整除的余数为 4其被 20 整的余数可以 ，9，14。 综上所述，被 20 整后的余数为 。2 +C n-1+C 2 n-2+C 7=(