现控课件 现代控制理论 主讲：杨西侠山东大学网络教育学院

1、1现代控制理论基础2第1章 控制系统的状态空间模型1.1 状态空间表达式1.2 建立状态空间表达式的直接方法1.3 单变量系统线性微分方程转换为状态空间 表达式1.4 单变量系统传函转换为状态空间表达式1.5 结构图分解法建立状态空间表达式1.6 状态方程的线性变换1.7 多变量系统的传递函数阵31.1 状态空间表达式 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。一.状态、状态变量及状态空间 1.状态：定义能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。 完全描述：若给定 t =

2、t0 时刻这组变量的值（初始状态），又已知t t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。4 最小变量组：即这组变量应是线性独立的。 例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量。 在t = t0 时，若已知uc1(t0)，uc2(t0)，uc3(t0)和u(t)，则可求得输出y(t)（t t0），故可选uc1(t)，uc2(t)，uc3(t)作为状态变量。u(t)RC2C1C3i1i2i3y(t)5 但因 uc1 = uc2 + uc3 ，显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。一般的： 状态变量个数 = 系统含有独立储能元件的个数 =

3、系统的阶数 状态变量是具有非唯一性的。如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在 uc1，uc2，uc3中任选2个，选法不唯一。6 2. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量x1(t)，x2(t)，xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量又表示为：x(t) R n x(t) 属于n维状态空间 7 3.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10， x20，x30 。在u(t)作用下，系统的状态开始变

4、化，运动规律如下： 引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。8t0t1t2t3 x1 x2 x3 x30 x10 x209二.状态空间表达式 1。状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程式。 2。输出方程 输出量与x(t)和u(t)之间的代数方程。 y(t) = g x(t), u(t), t 3。状态空间表达式 状态方程和输出方程组合起来，构成了对一个系统动态的完整描述。10y(t)u(t)k f弹簧-质量-阻尼器系统4。建立方法：例1-1 试建立机械位移系统的状态空间表达式。解：列基本方程：11选择状态变量：取：故得：将以上方程组写矩阵形式12 系统的完整描述，必须

5、具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法 1）首先根据基本规则列基本方程； 2）选择系统的状态变量；（按状态定义选） 3）列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。即135。线性定常系统状态空间表达式的一般形式 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）多输入多输出系统对象输出元件u1 u2 urx1 x2 xny1 y2 ym 14其中：A 系统矩阵 n n 阶常数矩阵B 控制矩阵 n r 阶常数矩阵C 输出矩阵 m n 阶常数矩阵D 直连矩阵 m r 阶常数矩阵156。一般线性时变系统

6、： 区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程)7。 非线性定常系统:16 9。线性系统状态空间表达式的简便写法： 对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示: = (A, B, C, D) 定常 = (A(t), B(t), C(t), D(t) 时变8。非线性时变系统：17三 .线性系统状态空间表达式的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ： 按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。18结构图： y(t)u(t)D(t)xC(t)B(t)dtA(t)19 在采用模拟计算机对系统模拟时，必

7、须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图.例：单输入单输出系统 由下图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以下图又称计算机模拟图。20a11c1b1b2a22a21a12c2dtdt+x1x2yu21 下面举例说明： 例： 试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。M Ra ua La iaUf=const Ea J:电动机轴上的转动惯量 f:负载的阻尼摩擦性质22解：由基本规律列写原始方程：选状态变量:23故得状态方程：24而输出方程为：最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图2511+u(t)x1x2x3+Y(t)26 小结：状态空间表达式以

8、状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：u(t)x(t)输出方程 y = Cx+Duy(t)状态方程272.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂 ，其形式是一致的。28结 束29现代控制理论基础301.3 微分方程与状态空间表达式之间的变换 对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有

9、三种常用形式： 传递函数 微分方程 状态空间表达式 这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。 31一.输入项中不含有导数项：假设单输入单输出线性系统的微分方程为：D-E y (n) + a1 y (n1) + + an1 y + an y = b u S-E：状态空间表达式为： 对n阶系统要设n个状态变量，并且已知y(0), y(0), , y n1(0)，以及输入u就能惟一确定状态，故按状态娈量定义，可直接按初始条件选状态娈量。32令 x1 = y x2 = y xn1= y (n2)xn= y (n1)即33 其中

10、：A为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道，34例：D-E y + 6y + 11y + 6y = 6u S-E解：直接按能控标准形写出： a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6 b = 6 3536 二.输入项中包含有导数项： 可见最后一个方程中含有u的导数项。若按相变量法选状态，则出现解的不唯一性。37 以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变：若u =1(t)，则u = (t), , u(n) = (n1)(t)，将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运

11、动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法：方法二：首先引入中间变量z，令：38 若先状态变量为：比较两边可得输出为：394041而输出方程为：42 这种形式的状态空间表达式中A, B，所具有的特殊形式，称为能控标准型。 注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。但在实际系统中，一般输入的阶次低于输出的阶次，即b0 = 0，故输出方程可简化为：43 例 将以下高阶微分方程：y + 4y + 2y + y = u + u + 3u试用方法二写出其状态空间表达式。解：按方法二，可得：44结 束45现代控制理论基础46 如前所述，一个n阶系

12、统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。 状态向量的线性变换 1.定义：状态x与 的变换，称为状态的线性变换。1.6 状态方程的线性变换x其中P为非奇异 n n阵。 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：47 现取线性变换为 ,其中:是n n阶非奇异阵。代入上述表达式，得 2.基本关系式: 设一个n阶系统 ，状态矢量为x,其状态空间表达式为48比较可得：可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多个。故状态变量不是唯一的。 49例: 试建立下面RLC网络的状态空间表达式：解：根据电路原

13、理，得基本方程501. 选x1 = i, x2 = uc5152状态变换前后有以下关系534. 验证两状态空间表达式的变换关系54551.6.2 系统特征值的不变性 1.系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。 - 矩阵用参数的多项式做元的矩阵。 特征矩阵设常数矩阵 A=(aij) , 那么-矩阵叫做 A的特征矩阵。56是首项系数为1的的n次多项式，叫做 A的特征多项式，其根叫做 A的特征根。特征多项式 特征矩阵的行列式 特征向量 若x为n维向量，齐次线性方程组：( I A) x = 0有非零解的充要条件是 I

14、 A = 0，则式 I A = 0 又称为矩阵A的特征方程。其根为特征值i ( i =1, 2, , n)。将每一特征值代入齐次方程，得到相应的非零解xi ( i =1, 2, , n) ，若i互异，则xi为n个线性无关解。把解向量xi称为矩阵A对于i的特征向量。57 *系统特征值 线性定常系统的状态方程为系统矩阵A的特征值称为系统的特征值。 2.基本性质：定理：状态变换不改变系统的特征值。证明：58例：试求系统矩阵 的特征值。并说明 经过线性变换后，其特征值的不变性。 由于线性定常系统，系统的特征值决定了系统的基本特性。因此，线性变换不能改变系统的基本特性。解：59若取变换矩阵P和P 1分别

15、为601.6.3 化系统矩阵为对角标准形或约当标准形1. 化A阵为对角标准形 定理1-1 线性定常系统，若A的特征值1 , 2 , , n 互不相同，则必存在一非奇异阵P，使A阵化为对角标准形：并且，变换矩阵61式中列向量p1，p2 ， , pn 分别中A对应1， 2 ， , n 的特征向量。 证明：若齐次线性方程组：( I A) x = 0 的特征值1， 2 ， , n 互异，则对应的n个特征解向量Pi ( i =1, 2, , n)线性无关，且都满足方程 ( iI A) Pi = 06263证毕 注： A 阵转化为对角形以后，状态方程中各状变量间的耦合关系即随之消除，称之为状态解耦。 把A

16、 阵转化为对角线标准形变换矩阵P的求法：1。先求A的特征值： I A = 0 1， 2 ， , n 2。求A的特征向量：令 ( i I A ) Pi = 0 Pi 3。由各特征矢量构成P 阵： P =P1 P2 Pn 64 例：设系统的状态方程为：试求将A阵变换为对角阵后的状态方程。解:6566673. 求变换阵68则变换后的状态方程为69 定理1-2：线性定常系统，若A阵具有以下形式：70例：系统状态空间表达式为：试变换为对角线标准形。71系统矩阵A为友矩阵，则变换阵P可取范德蒙阵，即：解：系统特征方程为：7273经线性变换后系统状态空间表达式为：74 2. A阵有相重特征值： 若A阵具有重

17、特征值，又可分为两种情况来讨论： * 1）A阵有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量，此时仍可把A化为对角形，方法同情形1。例：已知矩阵将A化为对角形或约当形。7576可等效为方程组：7778* 2） A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n，此时A不能转化为对角形。但一定可以转化为以下约当标准形：化约当标准形的问题比较复杂，下面只讨论一种最简单的情况：79 定理1-3：若A阵具有特征值，且对应于每个互异的特征值的独立特征矢量的个数为1时，则必存在一非奇异矩阵Q，可使A阵化为约当标准形，即 80 确定变换阵Q的方法：8182例：8384 8586定理1-4：若A阵具有如下标准式：并

18、且对应于重特征值只能求得一个独立的特征向量，则化为约当标准形的变换为87Q阵的规律可表示为：88例：已知系统矩阵试化A为约当标准形。解：求特征值8990结 束91现代控制理论基础921.7 多变量系统的传递函数阵1.7.1 传递函数阵的概念 在经典理论中，我们常用传递函数来表示单输入单输出线性定常系统输入输出间的传递特性。93Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。表示成矩阵形式：传递函数阵或称传递矩阵94设系统有r个输入变量，m个输出变量。则传递矩阵的形式为： 可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。 若传递矩阵是方阵(m=r),通过适

19、当线形变换化为对角形，称为传递矩阵的解耦形式。95例：机械位移系统 设系统原处于静止状态。 输入：F1, F2 输出：y1, y2求传递矩阵。1.7.2 传递函数的求法：1.由微分方程的拉氏变式求传递矩阵.解：写微分方程9697例： 1) 求出每个输出与各个输入的传递函数 2) 将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传递形式. 3) 按图中输入输出关系写传递矩阵. 2.由系统结构图求传递函数阵：G1G2YU1U298G1G2YU1U299 1.7.3 由状态空间表达式求传递函数阵100可见 sI A 是G(s)中每一项的分母多项式，正是系统的特征多项式，故A的特征值就是 G(s)的极点。101

20、解：求传递函数。例：已知标量系统：102定理：状态变换不改变系统的传递矩阵。1.7.4 传递矩阵的性质：取线性变换P：证明：设原系统的传递矩阵为： G(s) = C( sI A ) 1B + D1031.7.5 子系统串并联与闭环传递函数矩阵1. 子系统串联G1G2 y2u1y1 = u2Y1(s) = G1(s) U1(s)Y2(s) = G2(s) U2(s) = G2(s) G1(s) U1(s)G(s) = G2(s) G1(s)104G1G2 y2u1y1 = u21 = A1 , B1 , C1x(t) = x1(t)x2(t)2 = A2 , B2 , C2 x1(t)x2(t)

21、=x1(t)x2(t)A1 0+u1B1B2C1 A2 0y(t) =x1(t)x2(t) 0 C2 1052. 子系统并联 Y1(s) = G1(s) U(s)Y2(s) = G2(s) U(s) Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s) + G2(s) U(s) G(s) = G1(s) + G2(s)G1G2 yuy1 y2106G1G2 yuy1 y2x(t) = x1(t)x2(t)x1(t)x2(t)=x1(t)x2(t)A1 0+uB1 0 A2 B2y(t) =x1(t)x2(t)C1 C2 1073. 具有输出反馈的闭环系统Y(s) = G(s) E(s)E(

22、s) = U(s) H(s)Y(s)1 + G(s)H(s)Y(s) = G(s) U(s)(s) = 1 + G(s)H(s) 1 G(s)H yuGe108结 束109现代控制理论基础110第一章总结一、几个重要概念 状态 表征系统的运动状况，是一些确定系统动态行为的信息的集合，即一组变量的集合。 状态变量 确定系统状态的一个最少变量组中所含的变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所构成的空间，系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态轨迹 在状态空间中，状态点随时间变化的轨迹。111 状态方程 由状态

23、变量构成的一阶微分方程组，表示每个状态变量的一阶导数与各状态变量及输入变量的关系式。 输出方程 输出变量与状态变量和输入变量之间的代数方程组，表示每个输出变量与内部状态变量和输入变量的组合关系。 状态空间表达式 状态方程 + 输出方程 状态方程输出方程。112状态空间表达式的特点： 1）模型的形式统一，任意阶次的系统，都用简单的四联矩阵表示，即 (A, B, C, D)。 2）独立状态变量的个数等于系统的阶次n。 3）状态变量的选取是非唯一的。 4) 模型是时域的，但可用信号流图或结构图画出系统的状态变量图，直接进行模拟仿真。113 二、状态空间表达式的建立方法 1）直接建模法：直接建模法是一

24、种分析法，建立的模型往往具有较明显的物理意义，由于状态的初值根据系统储能元件的初始状态确定比较容易，一般在分析法中直接取储能元件所对应的变量做为状态变量，且这种方法对多输入多输出系统也同样适用。114 2）系统实现法（仅讨论单变量系统） a)能控标准形实现 情况1：输入不含导数项115状态变量取等价输出相变量，即：116情况2： 微分方程输入含有导数项，即：117注：由此选择的状态变量不再具有明显的物理意义，这是存在的不足之处。从能控标准形实现的状态图可以看出，各积分环节是串联在一起的，故称这种结构为串联实现。b) 对角形和约当形实现 （部分分式法）情况1：传递函数无重极点 ，118119情况

25、2：传递函数有重极点 1203)结构图分解法a)一阶环节的分解121b)二阶环节的分解122c) 闭环系统的结构分解 原则1. 将结构图中每个方框分解成一阶、二阶典型状态图形式，然后从输出端依次向前顺序设置状态变量，一般设在每个积分环节输出端，即可按结构图关系写出状态方程。 原则2. 可将结构图各单元分解成无零点的一阶环节的组合，然后在每个一阶环节输出端设置状态变量。如图。123 多变量系统的传递函数阵是单变量系统传递函数的推广，对应于线性定常系统，用拉氏变换在复数域建立多变量系统的数学模型。三、传递函数阵 2）由结构图及梅逊公式求传递函数阵原则：根据结构图，利用叠加原理，写出每对输入输出间的

26、传递函数，最后按顺序组成传递函数阵。多输入多输出系统如图所示。 1）直接法求传递函数阵 步骤：a)直接列写原始方程组。 b)取拉氏变换化为代数方程。 c)消中间变量，仅保留输入和输出变量。 d)写成矩阵方程即得传递函数阵。124125 3）由状态空间表达式求传递函数阵a) 独立系统： b) 组合系统：可分别求出各子系统的传递函数阵，然后按以下法则进行运算，得出系统总的传递函数阵，见下页图 126子系统组合图127四、状态向量的线性变换a) 状态变换的定义： 或 b) 四联矩阵变换关系: c) 基本性质：状态变换不改变系统的特征值及传递函数阵，即： 128d) 一类重要线性变换-化A为对角形或约

27、当形。对角形： A的特征值互异，有变换阵 ，使其中Pi为特征向量，满足129约当形：A有相重特征值，有变换阵 ,使其中， Qi为特征向量和广义特征向量，而广义特征向量应满足： 130结 束131现代控制理论基础132第二章 控制系统的状态方程求解2.1 线性定常系统状态方程的解2.2 线性定常系统状态转移矩阵的几种求法2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化2.4 线性定常离散系统状态方程的求解133 2.1.线性定常连续系统状态方程的解 可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。 前面我们详细讨论了状态空

28、间表达式的建立及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着就是求解问题。 由于状态空间表达式由两部分组成,即134一、齐次状态方程的解所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即输入u(t)=0的情况。故齐次方程为： 设初始时刻 t0=0 ，初始状态为x0 采用拉氏变换法求解：对齐次方程两边取拉氏变换.反变换即得齐次状态方程的解：135下面就来讨论： -解的变化是按指数形式变化的。对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？分析标量微分方程可知136137逐项变换即 x(t)= e-Atx0 当初始时刻为t00,初始状态为x(t0)时所以齐次状态方程的解可写为1383.求齐次状态解的关键是求转移矩阵 e

29、At，前面已给出了两种方法：2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其为状态转移矩阵.一般用1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解；小结：来表示。139a)拉氏变换法：例：已知系统的状态方程为： 试求在初始状态 时的状态解。 由于按幂级数计算不易写出闭式的结果，故通常用拉氏变换法。b)幂级数法：140解：1.求eAt141所以2.求x(t):142二.状态转移矩阵：的解(t),定义为系统的状态转移矩阵。1.定义：线性定常系统，初始时刻t0 =0,满足以下矩阵微分方程和初始条件 在状态空间分析中状态转

30、移矩阵是一个十分重要的概念。143讨论：（1）满足上述定义的解为(t) =eAt (t0=0)证明：144所以当 (t)=eAt时，又因为 (t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+.=I 所以 (0)=I故 eAt 是状态转移矩阵(t)（2）状态转移矩阵(t)是A阵同阶的方阵，其元素均为时间函数.145 由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式，故可推出如下性质2.性质：（1）(t-t0)是非奇异阵.且146（2）其中147（3）（4）148由此关系 可用于从 eAt 反求 A.例：已知（5）149（6）若则150151152当系统输入u0 时 ，其S-E为. 直接用分离变量法积分求解

31、方程与采用拉式变换法求解方程,其结果是一致的.只讨论第一种方法.三.非齐次状态方程的解：153左乘 e- At：移项 ：即在区间t0,t上积分154结论：非齐次状态方程的解由两部分组成：a).由初始状态产生的自由分量零输入解b).由输入引起的强迫分量零状态解 即或：155例：已知系统由前例得：解：1.求 eAt ：试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。156 2.求x(t)157 所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入u为单位脉冲函数(t)，系统的输出称为脉冲响应。四.系统的脉冲响应及脉冲相应矩阵： 根据这个定义，可求线性定常系统的脉冲响应。但是多变量系统的输入有r个，输出有m个。

32、则脉冲响应显然与传递函数阵的维数不同, 即系统地输出为Y(s)=G(s)U(s)是 m1维的列向量.而G(s)是mr维矩阵.在单变量系统定义脉冲响应函数为 h(t)=L-1G(s)158即 h(t)=L-1G(s) mr ,而 y(t)=L-1G(s)U(s) m1 为了将这一含义推广到多变量系统，我们按以下方式定义脉冲响应函数阵。以后将会知道，在多变量系统中,脉冲响应函数阵虽不等于真正的脉冲响应输出 y(t), 但却等于传递矩阵的拉式反变换。定义：mr 阶矩阵 h(t)=CeAtB 称为系统的脉冲响应矩阵。159状态解为：初始时刻t0=0初始状态x(0)=0 设系统的状态空间表达式为则输出解

33、为：160讨论单变量系统的情况:当输入-卷积161 以上关系表明h(t)包含了G(s)的全部信息，也反映系统的基本传递特性。反之性质：1. h(t)是传递矩阵的拉式变换162 2. h(t)在线性变换下的不变性：即证明:令 线性变换后.其中:163则状态转移矩阵满足以下性质：一般有：164 1.齐次状态方程的解：小结：本节主要讨论了状态求解的问题： 2.非齐次状态方程的解：165 4.脉冲响应矩阵：定义：满足矩阵微分方程 的解（t） 3.状态转移矩阵：166 结 束167现代控制理论基础168线性定常连续系统(t)的算法 1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用

34、。特点：一.拉氏变换法：前面已在求状态解时推出 在线性定常系统状态方程的求解中，关键是求(t),本节介绍几种算法: 2.对于高阶系统，会遇到求逆的困难,如169 求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。二.幂级数法：此法是一种直接计算法，前面已介绍过。170特点：是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。例：已知系统的状态方程为：试求其状态转移矩阵.解：将A阵代入幂级数展开式171172三.对角形法与约当标准形法： 1.矩阵A的特征值 12n 互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得其中：P是使

35、A化成对角形的线性变换。173则证明： 12n 互异，必有非奇异矩阵P，将A化成对角形，即：174 小结：利用对角线法 eAt的方法: 1.求 12n（条件：12n 互异）; 2.求特征矢量： P1P2Pn; 3.写出变换阵 P=P1P2Pn , 求出P-1 4.求 eAt ： 特点：求P阵比较麻烦，常用于理论推导。175例：已知用对角形求（t）解 ：1.求特征值：176 2.求特征矢量：即解出：1771781793.求P，P-1：4.求 eAt ：180181 2.矩阵A有相重特征值: 定理：若矩阵A有相重特征值，其状态转移矩阵可由下式求得182 eAt=QeJtQ-1 其中：Q是使A化为约

36、当标准形J的线性变换阵。 证明:若A阵具有重特征值，且每个互异特征值对应一个独立的特征矢量，则必存在一个非奇异阵Q，使A阵化为约当标准形J。即 其中 则 J=QAQ-1183其中：若Ji为J的约当块，则eJit为（t）中对应的约当块。184证明:以Ji有三重特征值为例证明。此时185186 步骤：求 eAt 的方法同对角形求法相一致 1.求i ； 2.求Qi ； 3.求eAt=QeJtQ-1187四. 化 eAt 为A的有限项法： 由于 eAt 可展开无穷级数，但计算时只取有限项，计算结果是不准确的，若能把无穷项级数化成有限项，则计算会简便准确。1. 化有限项的有关理论： 凯哈定理及最小多项式

37、的概念在现代理论中经常用到.下面简要介绍一下有关内容： 1）矩阵A的零化多项式： 定理：设有变量s的多项式 ，矩阵A是nn阶方阵，若满足：188 则称 为矩阵的零化多项式。 2）凯哈密顿定理定理：矩阵的特征多项式是的零化多项式。即：证明：189又因为中各元为(n-1)次多项式，故可一般表示为：代入上式有：用A代替s将上式展开 得190 3）矩阵A的最小多项式： 定义：A的零化多项式中，次数最低的零化多项式称为A的最小多项式。用 表示。的求法： 定理：设A的伴随矩阵 全部元素的最大公因子为d(s)则.191注：1.该定理证明要用到矩阵多项式的概念. 2.计算 要先求 。将 各元变为因子相乘的多项

38、式。从中找出各元的最大公因子 ，且 取首1多项式的形式.例： 已知：试求A的最小多项式并验证凯哈定理。192解：1. 193所以最大因子：故A的最小多项式为：进一步可验证上式是以A为根的零化多项式1942.验证凯哈定理：195则An可表示成低于n阶幂矩阵的线性组合。 2. eAt 能化成有限项的依据： 由凯哈定理知：矩阵A的特征多项式是A的零化多项式，即196由此可推得：上式表明：对于kn，Ak均可用 An-1，A,I这n个独立项的线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成有限项。197故可令： 设n个根为1 2 .n，按上式对每个根都有以下结果即特征方程第一种情况：A的特征值互异 2.待定系数

39、 的求法 式中， n个待定系数，是t的标量函数。198于是对于其中系数与前面 eAt 的系数相同。当kn 时，ik的各项均可用 的线性组合表示，得出下列方程组：199解此方程组，得系数例：已知试用化 为A的有限项法求200解：1.求特征值2.求系数2012023.求 203204第二种情况：A有相重特征值 设A有n重特征值1 ，则按以上方法必有下式 但由于是n重根，不能按同样形式写出n个方程，对上式依次对1求导，直至（n-1）次，可得到（n-1）个导数方程。然后联立这n个方程解出n个待定系数。即 205解方程组即可求得系数 。206 第三种情况：系统有单根，也有重特征根 设系统矩阵A的特征值中

40、，1为m重特征值，m+1，n为互异的单特征值，根据情况二列写m个方程，根据情况一列写（n m）个方程，解上述n个方程，即可得出系数 的计算公式。例：已知系统矩阵试用化eAt为A的有限项法求eAt。2072.求系数 i(t)：解：1.求特征值：208即2093.求 eAt ：210 可见，以上几例求出的 eAt 中各元都是 的线性组合。211结 束212现代控制理论基础213 2-3线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化一. 离散系统的状态空间表达式1.一般形式。由离散状态方程和离散输出方程组成。式中：T是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单起见常省去T

41、将方程写成如下形式 214即：2.结构图。上述方程可用结构图来表示215 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式之间的变换，和连续系统分析相类似。连续 D.E离散 差分方程脉冲传函 状态空间表 T.F S.E 达式216解：1,G(z) 差分方程 状态空间表达式例：已知脉冲传递函数为试求其状态空间表达式差分方程为217所以2182.G（z） 部分分式法 状态空间表达式则2193.状态空间表达式 G（z）220 对连续系统，若常用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，

42、这个过程称之为连续系统的离散化。二.定常连续系统的离散化离散方程设定常连续系统221连续系统其状态解为：即取t0=Kt, t=(k+1)T 1、直接离散化： 离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。222在 其输入向量u(t)=u(kT)，初始时刻t0 = kT，则状态方程的解为 对第二项积分作变量代换：令t=（k+1）T-； dt=-d上限：=（k+1）T，t=(k+1)T -=0下限：=kT, t= (k+1)T -=T223224 例：求 的离散化方程解：先求eAt：由拉氏变换法得225226227U(s)G0(s)Y(s)2、由脉冲传函实现离散化步骤：1首先求连续系统

43、的传递函数2按照离散系统的结构图求脉冲传函3按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离散化的状态空间表达式228U(s)解：因为离散化后的系统结构图为：上图的传递函数为：例1-26 已知连续系统的传递函数为 ，试求其离散化状态空间表达式229对上式取z变换：最后由G（z）写出其能控标准型的状态空间表达式2302-4 离散系统状态方程的解k=0时,x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1时,x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) 一.定常离散系统状态方程的解：（两种方法）1迭代法：状态方程本身就是一个基本的迭代方程依次将采样时刻k=0，1，2，3代入上式即可。已

44、知：初始时刻KT=0，初始状态为x(0)231几点讨论：2).第k个采样时刻的状态，只与采样时刻0,1,2k-1时的输入值有关系，而与第k个次采样时刻输入值无关，这是惯性系统的一个基本特征；由初始状态引起的响应反映系统的自由运动零输入响应由输入引起的响应反映系统的强迫运动零状态响应。1).定常离散系统的状态解由两部分组成：232(k)也满足状态转移矩阵的两个定义条件：矩阵差分方程：(k+1)=G(k)初始条件： (0)= G0=I证明： 3).与连续系统的状态解比较上式中的Gk称为定常离散系统的状态转移矩阵，记为(k)= Gk233 4).(k)的基本性质234序列：或5).引入(k)后，状态

45、解又可表示为：序列：2352.z变换法：对方程两边取z变换与第一种方法比较可知：求反变换：236所以2372.迭代法求出的解是一个数值解。只能求出某一时刻的数值。但迭代公式本身就是状态方程，简单方便，而且不用求出状态转移矩阵Gk；如果已求出(k)=Gk，则可用解的迭代公式求出自由分量和强迫分量.1.z变换求出的解是一个完整解，其中解的结构可分为自由解和强迫解两部分，可分别求出，对分析运动过程有本质的帮助。解的形式是一个闭式，即解析式。注：238例：求线性定常离散系统的解解： (1) 用迭代法求解已知239直至240(2)用标准型求Gk,再代入解的迭代公式也可先求出241又知 u(k) = 1

46、于是（3）用z变换法求解:先计算( zI G )-1242243令k = 0，1，2，3， 代入上式，可得以上两种方法计算结果完全一致，只是迭代法是一个数值解，而z变换法则得到了一个解析表达式。244二、离散系统的状态转移矩阵 离散系统状态转移矩阵(k)的求取与连续系统转移矩阵(t)极为类似。 2z变换法 根据z变换法求取离散系统状态方程解中的对应关系，状态转移矩阵(k)为来计算。该方法简单，易于计算机来解，但不易得到(k)的封闭式。1直接法根据离散系统递推迭代法中的定义245那么，离散系统的状态转移矩阵(k)为式中， 为对角线标准形，若特征方程I G= 0的特征根为1，2，n，则有 3化系统

47、矩阵G为标准形法（1）当离散系统矩阵G的特征值均为单根时 当离散系统矩阵G的特征根均为单根时，经过线性变换可将系统矩阵G化为对角线标准形，即246式中，P为化系统矩阵G为对角线标准形的变换矩阵。 247例:齐次离散系统状态方程为试求其状态转移矩阵(k)。解：其特征值 1 = 0.2 2化系统矩阵G为对角线标准形的变换矩阵P为248则249(2) 当离散系统矩阵G的特征值有重根时式中J 约当标准形； Q 化系统矩阵G为约当标准形的变换矩阵。4化为G的有限项法 应用凯莱-哈密尔顿定理，系统矩阵G满足其自身的零化多项式。离散系统状态转移矩阵可化为G的有限项，即250式中i(k) ( i = 0，1，

48、 n 1)为待定系数，可仿照连续系统的方法来求取。例: 线性定常离散系统的状态方程为试求系统的状态转移矩阵(k)。解：离散系统特征方程为251其特征值 1 = 1 2 = 2待定系数可按下式求取解之得则离散系统状态转移矩阵为252253结 束254现代控制理论基础255第二章总结一、线性定常连续系统1. 线性定常系统状态转移矩阵 它包含了系统运动的全部信息，可以完全表征系统的动态特征。（i）定义条件（ii）求法(1) 幂级数法 256(2) 拉氏变换法 (3)对角形法或约当形法对角形:257约当形:化eAt为A的有限项法 凯莱-哈密尔顿定理：矩阵A满足其本身的零化特征多项式。 258则有i(t

49、)的计算按A的特征值互异或有重根时分别计算。(5) 最小多项式法最小多项式为 式中d(s)为伴随矩阵( sI A )各元的最大公因子。则A也要满足其零化的最小多项式，即(A) = 0。求eAt的方法与化eAt为的有限项法完全相似。2592. 线性定常系统齐次方程的解可表示为3. 线性定常连续系统非齐次方程的解分为零输入的状态转移和零状态的状态转移，即二、线性定常离散系统1.线性定常离散系统状态空间表达式2602.线性定常连续系统状态方程的离散化1）直接法: 采样周期为T，离散化后系统矩阵和输入矩阵分别为二、线性定常离散系统1.线性定常离散系统状态空间表达式2612) 脉冲传递函数法:U(s)G

50、0(s)Y(s)状态空间表达式其中离散化过程是通过求脉冲传函来完成的.262(1) 状态转移矩阵(k) c. 性质:a.定义:b. 求法:3.线性定常离散系统状态方程的解或263(2). 状态方程的解1) 迭代法 a.状态方程法 把初始条件和输入函数直接代入状态方程表达式即可。 b.状态解法 如果已求出状态转移矩阵Gk,则把初始条件和输入函数直接代入状态解表达式即可。2642) z变换法例: 线性定常连续系统的状态空间表达式为 设采样周期T = 1s，求离散化后系统的离散状态空间表达式。265解：先求连续系统状态转移矩阵266267离散化后系统的离散状态空间表达式为268结 束现代控制理论主讲

51、：杨西侠山东大学网络教育学院第3章 控制系统的状态空间分析3.1 线性系统能控性和能观测性的概述3.2 线性连续系统的能控性3.3 线性连续系统的能观测性3.4 线性离散系统的能控性和能观测性3.5 对偶性原理3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系3.7 系统的能控标准形和能观测标准形3.8 实现问题271线性系统能控性和能观测性的概述 系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很重要的基础性概念，是由卡尔曼（Kalman）在六十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态x(t)变化引起的输出

52、y(t)的变化。 能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控制的可能性； 能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统状态的可能性。 对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制系统构成中的两个基本问题。 272线性连续系统的能控性3.2.1 状态能控性 定义：若系统(A(t)，B(t)对初始时刻t0，存在另一时刻tf（tf t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间tf t0内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在（t0，tf

53、）时间间隔内是状态完全能控的，简称状态能控的或能控系统。 若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。273 说明： （1）根据定义，如果系统在（t0，t1）时间间隔内完全能控，那么对于t2 t1，该系统在（t0，t2）时间间隔内也一定完全能控。 （2）如果在系统的状态方程右边迭加一项不依赖于控制u(t)的扰动f(t)，那么，只要f(t)是绝对可积函数，就不会影响系统的能控性。2743.2.2 线性定常系统的状态能控性 定理3-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵Qc = B AB A2B An 1B 的秩为n，即 rankQc = n

54、 证明 已知状态方程的解为 在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有275因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令 利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理eA = 0() I + 1() A + + n1() A n1276 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即rank B AB A2B An 1B = n277 例3-1 设系统的状态方程为判断其状态能控性。 解：系统的能控性矩阵为Qc = B AB

55、 A2B = rankQc= 2 n 所以系统状态不完全能控。 2 1 1 11 1 3 2 2 22 2 5 4 4 44 4278 首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 由前章可知，系统(A，B)和( ， )之间做线性非奇异变换时有： 定理3-2： 设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，是系统经线性变换后的对角线矩阵 中, 不包含元素全为零的行。279P是非奇异阵 其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B)状态完全能控的充要条件。280 将对角标准形的每一行写成如下展开形式 显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此， ( i = 1，2，

56、n)能控的充要条件是下列元素 不同时为零。 例3-3 考察下列系统的状态能控性。 (1)281(2)(3)282 定理3-3 若线性连续系统(A，B)有相重的特征值时，即A为约当形时，则系统能控的充要条件是： （1）输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零； （2）输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。 上述结论的证明与具有两两相异特征值的证明类同，故省略。283例3-4 考察下列各系统的状态能控性。（1）（2） 最后指出一点，当系统矩阵A为对角标准形，但在含有相同的对角元素情况下，定理3-2不成立；或系统矩阵A为约当标准形，但有两个或两个以上的

57、约当块的特征值相同时，定理3-3不成立。2843.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。 定义 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔t0，tf内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能控的。 定理3-4 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即rankQ =rank CB CAB CAn -1B D =

58、m285 例3-6 设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。 +u(t)x1(t)x2(t) y(t)x1(t)x2(t)解：描述系统的状态空间表达式为286rankQc = rank B AB =1 10 0 状态是不完全能控的。 rankc = rank CB CAB D = 2 0 0 输出是完全能控的。 系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就是两者之间没有必然的联系。2873.3 线性系统的能观测性 3.3.1 状态能观测性 定义 对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf t0，能够根据输出量y(t)在t0，tf内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的

59、初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。 值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考虑系统的自由运动即可。3.3.2 线性定常连续系统的能观测性 定理3-5 线性定常系统(A，C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵288Qo = CCACA2CAn1满秩，即rankQo = n 证明 不失一般性，假设t0 = 0， 则齐次状态方程的解为 x(t) = eAt x(0) y(t) = CeAt x(0)289 因为一般m n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即2

60、90 上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵Qo满秩。291 2 12 1Qo = = CCA 1 01 0 例3-7 考察系统的能观测性。 rankQo = 2 = n所以系统是能观测的。292 定理3-6 设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的对角标准形中，不包含全为零的列。 293 定理3-7 设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的约当标准形中，和每个约当块Ji（