《大学物理》第25章-磁场的来源

1、磁场的来源第二十五章开篇问题猜一猜！下面哪种情况会产生磁场？（a）静止的电荷（b）运动的电荷（c）电流（d）未接入电路的电源电压（e）铁片（f）任意金属片磁感应线：以导线为轴心的同心圆长直导线周围某一点的磁感应强度B与导线中的电流 I 成正比，与该点距导线的垂直距离 r 成反比比例常数为 ，因此真空磁导率： Tm/A25-1 载流长直导线产生的磁场例25-1 计算载流长直导线附近的磁感应强度 B。建筑物墙内有一根导线通有25A竖直向上的直流电。请问这个电流在P点（正北方向距导线10cm处）产生的磁感应强度的大小是多少？根据右手定则，P点的磁场方向指向西（或垂直纸面向内）。解题思路：假定导线长度

2、10cm，可应用载流长直导线公式解：根据公式（25-1）或0.50G。注：建筑物内部的大多数电线都是由电缆组成，每根电缆里有两根导线。由于两根导线通有方向相反的电流，所以，它们产生的磁场在很大程度上会相互抵消，但仍有可能影响一些灵敏的电子设备。练习A ：一次闪电在0.2s内可以产生100A电流，请估算距离闪电10m处的磁感应强度的大小。它会对指南针有显著影响吗？ 比地球磁场小一个数量级 因此，在这个距离上不会影响指南针例25-2两电流之间的磁场。两根平行直导线相距10.0cm，通有方向相反的电流。电流 I1=5.0A垂直纸面向外， I2=7.0A垂直纸面向内。判断两导线连线中点的磁感应强度的大

3、小和方向。解题思路：每根导线产生的磁感应强度的大小，用长直载流导线的磁感应强度公式来计算。每根导线产生磁场的方向根据右手定则来判断。在两导线之间某点的总磁感应强度是两个磁感应强度的矢量和。解：由电流I1产生的磁感应线是以 I1为圆心的圆，根据右手定则，磁感应线方向为逆时针方向。由I2产生的磁感应线是以 I2为圆心的圆，磁感应线方向为顺时针方向。在两导线连线的中点，上述两电流产生的磁感应强度的方向都向上（如图所示），因此同向叠加。中点距离每根导线0.050m，根据公式得总磁感应强度的方向向上，大小 为 T练习B 假定图中的电流I1、I2都垂直纸面向内，那么，两导线连线中点的磁感应强度是多少？例2

4、5-3 四根载流导线产生的磁场。图示四根平行长直导线，每根导线通有大小相等、垂直纸面向内或向外的电流。在（a）或（b）哪种组合中，正方形中心处的磁场更大？解答：（a）组合的磁场更大。箭头指明每根导线产生的磁感应强度的方向；正方形中心的磁场是这四个磁场的叠加。组合（a），叠加后磁感应强度指向左；组合（b），叠加后磁感应强度为零。25-2 两根平行载流导线间的相互作用力设两根平行载流直导线相距d，如图所示，它们分别通有电流I1和I2 。I1 产生的磁感应强度为B1，在导线2所在位置的磁感应强度B1的大小为导线2上长度为l2的一段导线所受磁场B1施加的力为F2，该力的大小为把B1代入得式（25-2）

5、根据右手定则，判断I1和I2分别受到对方磁场的作用力的方向dF dlIBIIIIIIII平行载流直导线之间的相互作用通有同向平行电流的导线相互吸引通有反向平行电流的导线相互排斥由于电流反向，两根导线间为排斥力。解题思路：通有电流时，每根导线都处于另一根导线所产生的磁场中，因此我们可以应用式（25-2）。例25-4 （自学）两根载流导线间的相互作用力。两根2.0m长的导线相距3.0mm，通有方向相反的8.0A电流。计算一根导线对另一根导线施加的作用力。解：根据公式II例25-5 利用电流使一根载流导线悬浮 一根水平导线通有电流I1 = 80 A，另一根水平导线置于其下方20 cm处。请问下方的导

6、线通有多大的电流I2它才不会因重力而下落？假定下方导线单位长度的质量为每米0.12g。解题思路：欲使下方导线2不因重力而下落，它受到的安培力必须方向向上，并与重力平衡。由前例可知两根导线的电流方向必须相同。解：导线2所受的的重力竖直向下，每米长度导线所受重力的大小为导线2受到的安培力的方向必须向上令上述两个力的大小相等，l = 1.0 m25-3 安培和库仑的定义选用两根平行载流导线间的相互作用力来精确定义安培。假设I1 = I2 = 1 A，导线间距 d = 1 m“安培”的定义：两根相距1米的平行长直载流导线，若每根导线每米长度受到的力恰好等于210-7N，则每根导线通过的电流为1安培（1

7、A）。“库仑”的定义：1A电流在1s内输运的电量：1C=1As25-4 安培环路定理长直载流导线产生的磁场任意形状载流导线产生的磁场？安培环路定理验证考虑载流长直导线的磁场 在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 矢量沿任一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么？ 在垂直于导线的平面内任选的回路上取一点p，该点到导线的距离为r，则该点的磁感应强度的大小为由几何关系得：L 如果沿同一回路但改变绕行方向积分：结果为负值！若认为电流为-I 则结果可写为 L 如果闭合曲线不在垂直于导线的平面上：结果一样！结果为零！闭合曲线不包围电流，磁感应强度矢量的环流为零。回路不包围电流 ？ 磁感应强度的环流与闭

8、合曲线的形状无关，它只和闭合曲线所包围的电流有关。安培环路定理 磁场中，沿任一闭合曲线 矢量的线积分（也称 矢量的环流），等于真空中的磁导率0乘以穿过以该闭合曲线为边界所张的任意曲面的各恒定电流的代数和。 电流I的正负规定：积分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时，电流I为正值；反之I为负值。I 为负值I 为正值绕行方向若有三个电流穿过环路I1I2I3l电流正负符号按右手螺旋定则： 电流和回路绕行方向构成右旋关系的取正值，反之取负值。若电流在环路外面，则不计。举例说明：I+I即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。则有：l若有三个电流穿过环路举例说明：

9、I3-I2+I1+右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。 右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。lI1I2I3lII 右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。lI1I2I3lII空间所有电流共同产生的磁感应强度在场中任选的一闭合曲线上的任一线元空间中的电流环路所包围的所有电流的代数和物理意义：几点注意： 环流虽然仅与所围电流有关，但在式左端的B却是空间所有电流(闭合回路l内外的电流)共同产生的磁感应强度的矢量和。任意形状恒定电流，安培环路定理都成立。 安培环路定理仅仅适用于恒定

10、电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳恒磁场无源。观察对称性：安培环路定理和高斯定理类似，总是有效的。但是作为解题工具，它主要局限于具有高度对称性的系统。选取一个积分回路。回路的选择应使该回路上各点的磁感应强度的大小都相等，或者在回路的某些线段上均匀相等，而在其余部分的磁感应强度为零或磁感应强度的方向与回路方向垂直。总之，应确保环路积分的结果只含一个未知数B。另外，还需确保积分路径经过待求的场点。确定闭合回路所包围的电流 （注意电

11、流的正负号）。如果积分回路没有包围整个截面电流，则可以用电流密度（单位面积上的电流）关于闭合回路的面积分来计算（如例题25-6）应用安培环路定理解题的几个步骤例 25-6 导线内部和外部的磁场。一根长直圆柱形导线的半径为R，通有均匀分布的电流 I。确定该电流产生的磁场（a）导线外（r R）（b）导线内(r R），这个结果和细导线的结果一致。（b）在导线内部（r R），同理选择一个同轴心的圆形回路，由于对称性，B也是处处沿切线方向且大小相等。被这个回路所包围的电流小于I，根据横截面积比例有代入安培环路定理在导线轴心处磁感应强度为零，并且随着r线性增加直到r =R。当r大于R之后，磁感应强度随r

12、的增大而减小。注意：这些结果只在r导线长度的点成立。在导线轴心处磁感应强度为零，并且磁感应强度随着r线性增加直到r =R。当r大于R之后，磁感应强度随r 的增大而减小。注意：对于流动的电流，一定有连接电源的导线，如果这些导线离得太近，这些载流导线将破坏假定的对称性。（c）在r = 2.0mm处，刚好就是导线的表面，r = R。因此由图b可知：导线内磁感应强度随r线性增加，所以r =1.0mm处的磁感应强度是r =2.0mm处的一半，即 3.010-3T。在导线外部磁感应强度随r 的增加而减小。所以在r =3.0mm处，磁感应强度变成r =2.0mm处的三分之二，即 4.010-3T。检验：用（

13、a）中的结论 重新计算，得到相同的结果。长直圆柱形载流导线的磁场： 电流分布在圆柱面上当当练习 C 在图中，A和B是各通有3.0A电流的导线，它们的电流方向相反。在回路C上，以下哪一种说法正确？（a）B = 0；（b） ；（c） ；（d） ；（e） 例 （自学）一根很长的同轴电缆由一圆柱形导体和一同轴圆筒状导体组成，圆柱的半径为R1，圆筒的内外半径分别为R1和 R2 ，如图所示。在这两导体中，载有大小相等而方向相反的电流 I ，电流均匀分布在各导体的截面上。试求： R1R3R2II(1)圆柱导体内各点(r R1 )的磁感应强度；(2)两导体之间(R2 r R3 )的B。R3R2R1解：例 25

14、-8 安培环路定理的一个完美应用利用安培环路定理证明：空间没有电流的任何区域，磁场不可能是非均匀单向磁场（如图（a）所示）。不可能 可能解题思路：图（a）中越靠近上方，磁感应线的间距越大，说明上方磁场比下方磁场弱。对图中虚线所示的矩形回路abcd应用安培环路定理得因为沿bc边的磁场 小于沿da边的磁场 ，所以，上式不等于零。两个结果出现了矛盾。所以非均匀单向场不符合安培定律。不可能 25-5 螺线管和螺绕环的磁场长直螺线管是由导线均匀缠绕在直圆柱面上形成的，它产生的磁场如图（a）所示。紧密缠绕的长直螺线管内部的磁场几乎是均匀的且磁场的方向与螺线管的轴线平行。密绕螺线管外部的磁场比螺线管内部的磁

15、场小得多长直螺线管的剖面图长直螺线管的剖面图用安培环路定理来确定密绕长直螺线管内部的磁场。选取矩形回路abcd 其中N是回路中线圈的匝数，回路abcd包围的总电流就是NI将 定义为单位长度上的线圈匝数，则有螺线管外部的磁场和条形磁铁很像，可以看作是条形磁铁，其一端相当于北极，另一端相当于南极。图中螺线管的北极在右端。解：例25-9 螺线管内部的磁场 一个密绕的细螺线管长10cm，总共绕了400匝导线，通有2.0A的电流。计算靠近螺线管中心位置处的磁感应强度。解题思路：利用密绕长直螺线管公式，单位长度上线圈匝数 n=400/0.10 m=4.0103 m-1例 25-10 螺绕环。用安培环路定理

16、确定（a）螺绕环内部的磁感应强度；（b）螺绕环外部的磁感应强度。螺绕环的形状相当于把螺线管弯成了圆环形。解题思路：螺绕环内部的磁感线和螺绕环是同心的圆。B为顺时针方向。选取螺绕环内部半径为r的磁感应线作为积分路径，如图 中“回路1”。利用对称性，使B沿回路的切线方向且其大小处处相等。这样选取的回路包围了全部线圈匝数；如果总共有N匝，每匝通有电流I，那么 解：（a）利用安培环路定理，其中N是线圈总匝数，I是通过每匝线圈的电流。螺绕环内部的磁场是不均匀的：内侧磁场大（因为r小），外侧磁场小。如果螺绕环大且细（即内外径差别很小），环内部的磁场可看作均匀。这种情况下，B的公式变成B=0nI ，其中 n

17、=N/(2r) 。 （b）在螺绕环的外部，选取一个同心圆形回路，即图中的“回路2”。回路2内的电流的代数和为零。对于密绕的螺绕环，回路2上的所有点相对螺绕环都是等距并且等价的，回路2上的B 处处大小相等。B=0=0对于半径小于螺绕环的积分路径，结果相同。所以密绕的螺绕环外没有磁场。磁场线都在环的内部。（307）能否用安培环路定律直接求出下列各种截面的长直载流导线表面附近的磁感应强度（1）圆形截面 （2）空心圆管（3）半圆形截面 （4）正方形截面(1)和(2)行25-6 毕奥-萨伐尔（Biot-Savart）定律 载流导线中的电流为I，任意形状的电流I 可以看作是无穷多小段电流元的集合。在线电流

18、上取长为dl的定向线元，规定 的方向与电流的方向相同， 为电流元。该电流元在空间任一点P产生的磁感应强度为，是 和 的夹角大小为，磁感应强度的矢量式：Biot-Savart定律的微分形式Biot-Savart定律的积分形式对所有电流元求和得到P点的总磁感应强度，12345678例 判断下列各点处磁感应强度的方向和大小。+1、5 点 ：3、7点 ：2、4、6、8 点 ：毕奥萨伐尔定律（1）建立合适的坐标系。（2）划分电流元，写出任一电流元在空间某点的磁感应强度dB 的表达式。（4）按 ，求出 B 的各坐标的分量，最后得到（3）将dB沿所建立的坐标系分解，写出其对应的分量式。应用毕奥-萨伐尔定律求

19、磁场的解题步骤PCD* 例 载流长直导线的磁场解 方向均沿 x轴的负方向毕奥-萨伐尔定律应用举例 的方向沿 x 轴的负方向.无限长载流长直导线的磁场PCDX载流长直导线的磁场也可表示为： 导线无限长时，即注: 有正负电流与磁感应强度成右螺旋关系无限长载流长直导线的磁场IBXIB请记上述公式半无限长载流长直导线的磁场*P当 P点位于导线延长线上时，BP =0PCD该例题结论的意义：(1)可直接计算载流直导线、无限长载流 直导线及折线电流的磁场；(2)可计算以长直电流为基础的其它电流 的磁场。IPCIaI. P例 25-11（自学） 载流直导线的磁场。证明用毕奥-萨伐尔定律计算得到的电流为I的载流

20、长直导线的磁感应强度与公式（25-1）相同。解题思路：每个电流元产生的磁感应强度的方向一定是垂直纸面向内，在P点同向叠加。解：场点P处可以看到 对应 ， 对应 ，所以思考题： (自学） 求 点的磁感应强度 方向：x负方向思考题(自学）：求A点的磁感应强度1. 水平段载流导线在A点产生的磁感应强度 02.倾斜段载流导线在A点产生的磁感应强度(自学）例25-12 载流圆线圈 半径为R的圆线圈通有电流I，如图所示。计算载流圆线圈中心轴线上各点的 B。解题思路：圆顶部的一个电流元在 轴线上P点产生的磁感应强度 dB垂直于r ，根据公式因为dl垂直于r，所以 。把dB分解成平行于轴线的分量和垂直于轴线的

21、分量（如图）。解：当我们对圆上所有电流元求和时，根据对称性（如下图所示）可知 将互相抵消。因此，总磁感应强度 B 指向轴线方向。*解：当我们对圆上所有电流元求和时，根据对称性可知 将互相抵消。因此，总磁感应强度 B 指向轴线方向。其中x是P点到圆线圈中心的距离，把dB代入上式，然后对圆线圈积分注：在圆线圈的中心（x=0），磁感应强度达到最大值 载流线圈中心该例题结论的意义：（1）可计算均匀带电体旋转形成的磁场；（2） 可计算由圆形电流组合而成的复杂 电流分布产生的磁场。IRo（1）x请记上述公式oI（4）*o（2R）I+R（3）oIIRo（1）x补充例题 （自学）一均匀带电圆盘，半径为R，电荷

22、面密度为, 绕通过盘心且垂直于盘面的轴以的角速度转动，求盘心的磁场。解 将圆盘分为若干个圆环积分。 带电圆环旋转时产生的运流电流为环上的电量.oRqdIsrdr环上的电量.oRqdIsrdr例25-13 一段导线产生的磁场。如图所示，一根四分之一圆弧的导线通有电流I。电流通过导线两端的直导线流进和流出。直导线沿过圆心C点的径向。求C点的磁感应强度。解题思路：对于直导线而言，因为dl和r平行，直导线中的电流在C点不产生磁场。圆弧上的每个dl在C点产生的dB方向相同，垂直纸面向内（右手定则）。解：圆弧部分产生的 dB为对四分之一个圆弧积分，思考题：求圆心处的磁感应强度 的大小，方向水平段：将载流导

23、线分成三段：水平段大半圆弧小半圆弧大半圆弧小半圆弧大圆弧段小圆弧段思考题（自学）均匀带电圆环，电荷线密度求（1）圆心处的磁感应强度 （2）A处的磁感应强度解题关键：电荷的定向移动形成运流电流x正方向例3（粗略地讲）载流直螺线管内部的磁场。设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有线圈n匝。计算螺线管内轴线上P点的电磁感应强度。 Sl 在螺线管上任取一小段dl，由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：.p.p 实际上，LR时，螺线管内部的磁场近似均匀，大小为（1）螺线管无限长（2）半无限长螺线管的端点圆心处讨论：25-7 磁性材料铁磁性条形磁铁的

24、两端是相反的两极，类似“电偶极子”，有时被看作 “磁偶极子”。永磁铁吸引碎铁屑，这些铁屑排列出磁力线的形状。未磁化磁化微观结构分析发现：一块铁是由许多长或宽小于1mm称为磁畴的微小区域组成的。每个磁畴都像一块小磁铁，有南极和北极。在一块未磁化的铁块片中，这些磁畴都是随机排列的，如图(a) 所示。在磁铁中，磁畴都倾向于在一个方向上排列，如图(b) 所示。把一块未磁化的铁块放置到强磁场中就可以变成一块磁铁。相应的过程称为磁化。铁磁质的磁性来源 磁畴“箭头”代表磁畴的磁化方向未磁化的铁片：磁化方向随机排列，相互抵消磁铁：磁化方向平行外磁场未磁化磁化敲击、加热等方式可以使磁铁的磁性消失，因为这些行为使

25、得磁畴方向无序化。磁性材料被加热到某一个特定温度之上，这些材料会完全无法获得磁性，这个温度叫做居里温度。*25-8 电磁铁和螺线管应用一个由很多载流圆线圈组成的长线圈称为螺线管。由于螺线管磁场是由每个载流圆线圈产生的磁场的叠加，因而螺线管内部的磁场可以非常大。螺线管就像一根磁铁，其一端可以看做N极，另一端可以看做S极。*25-8 电磁铁和螺线管应用将一根铁芯放入螺线管，磁场将会因为铁芯被电流激发的磁场所磁化而显著增加。这种由通电螺线管和铁芯组成的装置称为电磁铁。电磁铁中的铁合金会由于电流的“通”与“不通”而很轻易的获得或者失去磁性，所以它们又被称为“软磁铁”。应用门铃其应用装置是由螺线管和部分

26、放入其中的铁合金杆组成。当回路因为按铃而闭合后，线圈将会立刻成为磁铁并且吸引铁合金杆。合金杆被拉入线圈并击打门铃。应用电磁过电保护器现在用于保护房屋建筑免于因过载而着火的过电保护回路不仅包含一个热控制部件（双金属片），还有一个电磁传感器。当电流高于一定值时，它产生的电磁场将拉动铁盘断开如图中所示的连接。在更高级的过电保护装置还包括接地故障回路断开装置，其中就应用了螺线管。电磁过电保护装置反应迅速（10毫秒以内），用于应对建筑中出现的大电流短路。*28-9 磁性材料中的磁场 磁滞螺线管内部的磁场B0的表达式如果在螺线管内部放一块铁磁材料，则磁场会显著增大成百上千倍，因为铁块中的磁畴在外磁场的作用下被排列整齐，从而激发附加磁场外磁场，由电流激发附加磁场，由铁磁质产生替代 ，螺线管内部的总磁场：对于铁磁质来说， 比 大得多带铁芯螺绕环最初铁芯没被磁化，螺绕环也没通电流（a点）。然后慢慢增加电流I， B0随I线性增加。总磁场B也增加， b点为全饱和的70%。如果B0继续增加，曲线会非常缓慢地上升。接下来，假定外磁场由于螺绕环中电