圆周运动专题二 圆周运动中的连接体问题和临界问题

1、周运动专题二周运动中的连接体问题、临界问题情景4情景4知识点一】圆周运动中的连接体问题情景示例请景图示情倉说明晴景1!OOOAHA.B两小球固定隹轻 杆上随杆绕杆砖端点.O 做圆周运动*注迓计算 OA杆拉力时应以小球A 为研究对彖*而不能以A. B楚体为研究对第愴景222密转盘转速逐渐墉大 时，物佯A宪达到其运大 静摩擦力，转逸再增加，则 百间绳子开始有拉力* 当B產和旳静醪擦力达 到其彘大值后两物块升始 滑动当求转撤对的摩擦 力时，取整体为研究 对象比较简单，当研究 占谁先发主离心滑动时， 注意比较两接触面的动摩 擦因数大小A两小球用轻线相 连穿在光滑轻杆上随杆绕 转轴O在水平面内做圆 周运

2、动时*两球所受向心 力大小相等、角速度相同、 圆周半径与小球质量成 反比A.B.C.D.A.B.C.D.til.叫D.球B转到最低点时，其速度为vB =【例1】 在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体，用一轻杆相 连，AB连线沿半径方向.A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、 B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以的角速度绕OO轴做 匀速圆周运动.A与平台间的摩擦力大小为FA杆的弹力大小为F.现把转动角 速度提高至2e.A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO轴匀速圆周运动，贝V下 面说法正确的是（）FA F均增加为原来的4倍“FA F均增加为原来的2倍FA大于原来

3、的4倍，F等于原来的2倍 FA F增加后，均小于原来的4倍【解析】 根据牛顿第二定律，对A: FfA F=me2rA，对B： F=m 2rB当增大到2时，由式知，F增加到原来的4倍；由式知：FA=F m2rA，FA增加为原来的4倍.故选A.【答案】A【例2】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球mm2，且m1 2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（）1:1B. 1逗C. 2:1D. 1:2解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间 的拉力互为向心力，角速度相同.设两球所需的向心力大小为Fn，角速度为 则对球 m1： F

4、n = m12r1，对球 m2： Fn = m22r2，由上述两式得r1 r2=1:2.答案：D【例3】如图所示，轻杆长为3L,在杆的A、B两端分别固定质量均为m 的球A和球B,杆上距球A为L处的点0装在光滑的水平转动轴上，外界给予 系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动.在转动的过程中，忽略空气的阻 力.当球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力.下列说法正确的是（ ）球B在最高点时速度为零球B在最高点时，球A的速度也为零C.球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mgC 解析球B在最高点时速度为vO,有mg=m2L，得vO=*2gL, A项错,B错误；设杆对球A,B错误；设杆对球A的作用

5、力为FA,则FA误；此时球A的速度为=2, ,1 , 12=2mgL+mgL + 2mvB+，mg=m l，得FA=1.5mg, C项正确；设球B在最低点时的速度为vB, ,1 , 12=2mgL+mgL + 2mvB+，2，解得vB=ygL, D项错误.AC先断BC先断两线同时断不能确定哪根线先断【例4】如图所示，00为竖直轴，MN为固定在00上的水平光滑杆，有两 个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细 线，C端固定在转轴00上.当线拉直时，A、B两球转动半径之比恒为AC先断BC先断两线同时断不能确定哪根线先断A.B.C.D.解析A对A球进行受力分析，A球受重

6、力、支持力和拉力FA 三个力作用，拉力的水平分力提供A球做圆周运动的向心力，得： 水平方向FAcosa=mrA2,同理，对B球：FBcosp=mrB2由几rArB何关系，可知 cosaAC, cos卩=玩,所以：何关系，可知 cosaAC, cos卩=玩,所以：fb rBcosarBrA BC.由于 ACBC,AC所以FAFB,即AC线先断. 【知识点二】临界问题与绳的弹力有关的临界问题质量为m的物体被长为l的轻绳拴着（如图所示）,且绕绳的另一端0做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F时，物体的m速度最大，即卩皿二山牛,。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。因静摩擦力存在最值而产生的

7、临界问题在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化 时，静摩擦力也会随之变化，当F达到最大值时，对应有临界角速度和临界线静 速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一 特点。质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所示) 时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值F时，物体运动的速度也达 fm到最大，即F二m，解得v=、f。fmrm J m这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。受弹簧或橡皮条约束的匀速圆周运动的临界问题用弹簧连接的物体做圆周运动，当运动状况发生改变时，往往伴随着半径的 改变，从而导致弹簧弹力发生变化。

8、处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方 向的改变。特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相配合，理智分 析，明确半径是否改变、什么情况下改变、是伸长还是缩短等。【例1】如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔0, 根轻绳穿过小 孔，一端连接质量为m=l kg的小球A，另一端连接质量为M=4 kg的物体B. 求：(1)当A球沿半径为R=0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为3 = 10 rad/s时，B对地面的压力为多少？ 要使物体B对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10m/sJ【解析】对小球山来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力搦共向心力，则Fj二 mRa)2

9、 IxO.lxlO2 N=1ON.对物体目来说物体受到三个力的作用；重力阳绳子的拉力幵=斤、地面的支持力2由力的平衡 条件可得所以.凡二Mg&将 FjlON 代入上式，可得：5j=4xW N -10 N=30 N.由牛顿第三定律可知 B对地面的压力为30N；方向竖直向下凶当8对地面恰好无压力时，有：陶=片,拉力片提供小球A所需向心力，则片二讪勺则 3=码二 raM=2”ad.即当B对地面恰好无压力时A球的角遠度应冋radfs【答案】(1) 30 N (2) 20 rad/s【例2】如图所示，小球质量m=0.8 kg,用两根长均为L=0.5 m的细绳 拴住并系在竖直杆上的A、B两点，已知AB=0

10、.8 m,当直杆转到带动小球在水 平面内绕杆以3=40 rad/s的角速度匀速转动时，求上、下两根绳上的张力。绳AC与杆夹角为。，如图甲所示,有 mgtan =msr 得0CD =0:gtan 0CD =0:gtan 0厂/gtan 0Lsin 0rad/s=5rad/s，由crad/s，由cc知BC绳已被拉直并有拉力，对小球受力分析建立如图乙所示的坐0标系，将F、F正交分解，则沿y轴方向：Fcos0mgFcos0=O,沿x轴方1 2 1 2向：F sin 0 +F sin 0 =m2r,12代入有关数据，解得F=325 N, F=315 N.12【答案】325 N 315 N【例3】如图所示

11、，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平 圆盘上，a与转轴00,的距离为l, b与转轴的距离为21 木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴 缓慢地加速转动，用c表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）A. b 一定比a先开始滑动终相等B. aA. b 一定比a先开始滑动终相等B. a、b所受的摩擦力始C.C=D.当C =所受摩擦力的大小为kmg【解析】因圆盘从静止幵始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随II盘转动时，其受到的 静摩揀力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得戶皿由于小木块 b的轨道

12、半径大于小木块d的轨道半径，故屮木块力做圍周运动需要的向心力较大，0项错误3因為两小木 块的最大静摩損力相等故b 定比召先幵蛤滑动A项正确当i开始滑动时由牛顿第二定律可得耐 二皿卜弘可得叫二怜项正确:当。幵始滑动时，由牛顿第二定律可得伽g二盹粘可得w尸怦 而转盘的角速度黒 /甲，小木块未发生滑动，其所需的向心力由静摩按力来提供，由牛顿第二定 律可得f=ma可=i（mg, D项错误。【答案】AC【例4】如图所示，细绳的一端系着质量为M=2 kg的物体，静止在水平圆 盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.5kg的物体，M的中点与圆孔的 距离为0.5 m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为4 N，

13、现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度3在什么范围内可使m处于静止状态。（取g=10 m/s2）【解析】 当3取较小值3时，M有向0点滑动趋势，此时M所受静摩擦1力背离圆心0，对M有：mgF =M32r，max 1代入数据得：3=1 rad/s.1当3取较大值3时，M有背离0点滑动趋势，此时M所受静摩擦力指向圆2心0,对M有：mgF =M32rmax2代入数据得：3=3 rad/s2所以角速度的取值范围是：1 rad/s 3 3 rad/s.【答案】1 rad/s 3L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速s逐渐增大，物块A相对圆盘始终未动。5k Rl当s增大到而时，物块A是否

14、受到圆盘的静摩擦力？如果受到静摩擦力，试确定其方向。【解析】对物块切设其所受静摩扌就対雷时的临界角速度为呱此时向心力仅为弾酱弾力若血诧 则需要较大的向心力，故受到指向圆心的静摩揀力，若g,则需要较小的向心力，物体受到的静摩揀力 必背离Uh b 据向心力公式有ma領二迩廿,所以Wo=当妇 屮爲 吋得砂叫 可见物块所受静摩拯力指向圆心。【答案】物块所受静摩擦力指向圆心【例6】如图所示，在水平圆盘上有一过圆心的光滑小槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，一条橡皮绳拴在0点，另一条 拴在0点，其中0为圆盘的中心，0点在圆盘的边缘上。橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R的1/

15、3,现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度匕二2s =度匕二2s =【审题指导】【解析】当橡皮绳。吐拉伸而内t/刚好被拉直时，设小球做匀速圆周运动的角速度为如，由牛顿第二定律有想解得=想解得=当釦=时橡皮绳0Q处于拉伸状态设此时小球距圆心的距高冉孤则诚巩=脸_牛扳_岗_得f?!=y.当叫二寸釜g时,橡皮绳6咙也设此时忸距圆心的距助氐则 皿册=砚-务得庇=譽m-【答案】【巩固提升】1.如图所示，在光滑水平面上相距20 cm处有两个钉子A和B,长1.2 m 的细绳一端系着质量为0.5 kg的小球，另一端固定在钉子A 上.开始时，小球 和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2 m/s的速率在水平面

16、内做匀速圆周运 动.若细绳能承受的最大拉力是5 N,则从开始到细绳断开所经历的时间是（）A.1.2n s B.1.4n sC.1.8n s D.2n s【解析】小球每转过180，转动半径就减小x=0.20 m,所需向心力Fmv2=匚云5=0，1，2，），由FW5 N，可得n4，即小球转动半径缩短了 4次,5L10 xv细绳第5次碰到钉子瞬间后，细绳断开.从开始到细绳断开，每转半周小球转动 半径分别为L、Lx、L2x、L3x、L45L10 xv【答案】D2如图所示，两绳系一质量为0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴 的A、B两处，上面绳长2 m,两绳拉直时与轴的夹角分别为30和45，问球

17、的角速度在什么范围内两绳始终都有张力？（g取10 m/s2）解析：当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图甲所示.由牛顿第二定律得：mgtan 30=m2由牛顿第二定律得：mgtan 30=m2r，又有r=Lsin 30，解得1答案:匕=斗3 rad/s；当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图乙所示.由牛顿第二定律得：mgtan 45 =m2r，解得s =,10 rad/s，故当2 2 j 3 rad/s ； 10 rad/s时，两绳始终都有张力.- rad/s3 Ltag e时,b绳将出现张力D.若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化解析：选AC当b绳中有张力时，对小球进

18、行受力分析，竖直方 向有T sin 0 =mg,由此可知，此时T与3无关，故A正确，B错误。aa由圆锥摆模型知3较小时b绳中无张力，设3=3时b绳刚伸直且无0张力，对小球有 =m302则3 = 30= ，故C正确。当b绳中无张力时，将b突然剪断，a绳的张力不会发生变化，故D错误。5如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速 转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平 抛运动。现测得转台半径R=05 m,离水平地面的高度H=0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=04 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10 m/s2。求:物块做平抛运动的初速度大小

19、v ；0物块与转台间的动摩擦因数叭 解析：（1）物块做平抛运动，在竖直方向上有H=gt2在水平方向上有s=v t0由式解得V由式解得V=s0代入数据得V=1 m/s。0物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有V 2 f =mR maxRf =uF = umgmaxNV 2 由式得p=gR代入数据得U=02。答案：(1)1 m/s (2)0.2【达标检测】1如图所示，物块（质量为m）随转筒一起以角速度3做匀速圆周运动，下列 说法正确的是（）A物块受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用B.若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，那么物块所受 摩擦力增大C若角速度增大而且物块仍然随转筒一起

20、做匀速圆周运动，物块所受摩擦 力减小D若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，物块所受摩擦 力不变解析：选D因为物块始终随转筒做匀速圆周运动，所以物块受重百乎力、摩擦力和筒壁的支持力。向心力为效果力，物块不受向心力，故a 错误。因为物块在竖直方向上处于平衡状态，所以f=G, N=mr32，当 何一n-.3增大时，n增大，f不变，故b、c错误，d正确。2如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴00,匀速转动，木块A、B与转 - 厂轴00的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2, B与转台间的动摩擦因

21、数为0.3,若木块A、B 与转台始终保持相对静止，则转台角速度3的最大值为（最大静摩擦力等于滑动 摩擦力，g取10 m/s2）（）A 1 rad/sB. J2 rad/sC rad/sD. 3 rad/s解析：选 B 对 A 有mgMm32r，对 A、B 整体有（m+m）32rWu （m + TOC o 1-5 h z 1 AAA B2 AmB）g，代入数据解得3W寸2 rad/s，故B正确。3如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内/； 做圆周运动，则下列说法中正确的是（）A小球在最高点时的向心力一定等于重力B小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，

22、则其在最高点的速率为fgLD小球过最低点时绳子的拉力可能小于小球的重力解析：选C小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力 与绳子的拉力之和，取决于小球在最高点的瞬时速度的大小，故A错误；小球 在圆周最高点时，满足一定的条件时绳子的拉力可以为零，故B错误；小球刚 好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v=JgL，故C正 确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子 的拉力一定大于小球的重力，故D错误。4如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧管壁半 径为R,管的内径略大于小球的半径r，则下列说法正确的是()A.小球通过最高点时

23、的最小速度v =：g(R+r)min 寸B小球通过最高点时的最小速度Vmin=；gRC小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：选C小球通过最高点时，由于外侧管壁和内侧管壁都可以对小球产 生弹力作用，当小球的速度等于零时，内侧管壁对小球产生弹力，大小为mg， 故最小速度为零，故A、B错误。小球在水平线ab以下管道中运动时，由于沿 半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作 用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确。小球在水平线ab以上管道 中运动时，由于沿半径方向的合力提供

24、小球做圆周运动的向心力，当速度较大 时，内侧管壁对小球没有作用力，此时外侧管壁对小球有作用力；当速度较小 时，内侧管壁对小球有作用力，故D错误。 TOC o 1-5 h z 长为L的轻杆，一端固定一个小球A，另一端固定在光滑.o jgL,杆提供 拉力，有mg+F=m，当v由寸gL逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大，当OWvV QgL时，杆提供支持力，有mg-F=mL，当v由零逐渐增大到寸gL时，杆的弹力逐渐减小，反之当v由寸gL逐渐减小 时，杆对小球的弹力逐渐增大，故C、D均错误。如图所示，在水平转台上放一个质量M=20 kg的木块, 它与台面间的最大静摩擦力f=60N，绳的一端系住木块，另

25、一端穿过转台的m中心孔0（孔光滑）悬吊一质量m=1.0 kg的小球，当转台以3=50 rad/s的角 速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到0孔的距离可能是（重力加 速度g=10 m/s2,木块、小球均视为质点）（）B. 5 cmD. 36 cmA. B. 5 cmD. 36 cm60 cm解析：选A木块在水平面内转动时，水平转台对木块的支持力与木块自身 重力相平衡，拉力与水平转台对木块的静摩擦力的合力提供木块做圆周运动的 向心力。设木块到转台中心的距离为R，木块以角速度3转动所需向心力为M32R，若M32R=T=mg，此时转台对木块的摩擦力为零。若RR，M3 2Rmg，转台1 1对木块的摩擦力方向沿转台半径指向中心，由牛顿第二定律得f+mg=M32R，f +f +mg 6+10mM322X52当f =f时，R最大。所以，木块到转台中心的最大距离为R =1 m11=0