四面体与外接球问题

1、四面体与外接球问题【问题一】四面体一定有外接球吗？如何证明？【证明】如右图所示，在四面体ABCD中，设E为棱AB的中点，点F、G 分别为 ABC. ABD的外心，则点F到厶ABC各顶点距离相等，点G到厶ABD各顶点距离相等连接EF、EG,贝V EF丄AB, EG丄AB，所以AB丄平面EFG，所以平面ABC丄平面EFG，平面ABD丄平过点F作平面ABC过点F作平面ABC的垂线m，则直线m上任一点到厶ABC各顶点距离相等,同理，过点G作平面ABD的垂线n则直线n上任一点到 ABD各顶点距离相等,不难得到直线m、n均在平面EFG内，所以直线m、n相交于一点，设为点O，所以点O到A、B、C、D四点的距

2、离相等，即点O是四面体ABCD外接球 的球心，故四面体一定有外接球且只有一个。【问题二】如何求四面体外接球的表面积或体积？【答案】求四面体外接球的表面积或体积，就是求四面体外接球的半径，即 求球心O到四面体顶点的距离。容易思到的解题思路是先确定球心O的位置， 再通过解三角形得到问题的解决。但此种解决方案运算量大。另一种解决思路是 构造与四面体拥有共同外接球的长方体，通过求长方体的外接球半径，得到问题 的解决，但此种方法需要四面体具有特殊性。【问题三】什么样的四面体能与长方体拥有共同的外接球？【答案】只要四面体四顶点与长方体某四个顶点重合，则四面体就与长方体 拥有共同的外接球，我们不妨称这个四面

3、体内接于长方体，称长方体的内接四面 体。新的问题又出来了，四面体具有何特征，才能内接于长方体呢？下面我们用 “倒逼”的方法来回答这个问题。【问题四】以长方体8个顶点中的4个顶点作四面体，求长方体内接四面体 的个数.【答案】从8个顶点中任取4个的组合数为C4 = 8%7%6x5 = 70个84 x 3 x 2 x1其中，共面的4点的个数有长方体的6个面；长方体的6个对角面.故长方体的内接四面体有70 -2 = 58 （个）【说明】这58个四面体与长方体同外心。若长方体长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的外接球的直径（2R）等于其体对角线长，即4R2 = a2 + b2 + c2.【问题五】长方

4、体内接四面体如何分类？【答案】长方体内接四面体可分四类：四个面都是锐角三角形且对棱相 等（如图一）。这类四面体共2个，对棱的长度分别为长方体面对角线的。图一图二图三B图四图一图二图三B图四四个面都是直角三角形（如图二）。这类四面体共24个，它们有一条最长 棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如 图三）。这类四面体共8个，两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如 图四）。这类四面体共16个，它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对 角线。到此我已完整地回答了【问题三】中的问题。【练习一】三棱锥O-ABC中，侧棱OA, OB, OC两为寻，斗，专，求三棱锥的外接球表面积两垂，三角形OAB，三角形OAC,三角形为寻，斗，专，求