函数最大值最小值

1、关于函数的最大值最小值第1页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。最低点的坐标是（0，0）最高点的坐标是（0，0）如何使用函数的解析式和数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？第2页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值。当函数图象没有最低点时我们说这个函数没有最小值。函数图象最低点的数的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值。对于函数 而言，即对于函数定义域中任意的 ，都有

2、.第3页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。对应函数 而言，即对于任意的 ，都有函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。第4页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四探究点1 函数最大（小）值的数的定义函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。请同学们仿此给出函数最小值的定义第5页

3、，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对任意是 ，都有 ；（2）存在 ，使得 。那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值。第6页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四探究点2 对函数最值的理解1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得 。并不是满足所有满足 的函数都有最大值。如函数 ,虽然对定义域上的任意自变量都有 ，但不存在自变量使得函数值等于1.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。第7页，共17页，20

4、22年，5月20日，11点6分，星期四探究点3 例题解析例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望它在达到最高点爆裂。如果烟花离地面的高度h m与时间t s之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少（精确到1 m）？分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少。第8页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点的纵坐标就是距地面的高度。解：画出这个函数 根据二次函数的知识，对于函数 我们有： 于是，

5、烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m.第9页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四例4.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。【分析】这个函数在区间2,6上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间2，6上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题过程分为两个部分，证明函数在2，6上是减函数，求这个函数的最大值和最小值。第10页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期

6、四解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x10,k0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2;k0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.第14页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四4.求函数 在区间0,4上的最小值。【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点。根据二次函数的对称轴和区间0,4的关系，分a4,结合函数的单调性解决。画出不同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路。【答案】第15页，共17页，2022年，5月20日，11点6分，星期四5.周长为12的矩形的面积的最大值是多少？【提示】以x表示矩形的一边长，根据周长也可以用x表示矩形的另外一边长，这样就建立起了矩形的面积关于x的函数。【答案】设矩形的一边长为x,另外一边长为6-x，矩形的面积y