函数最大值与最小值

1、关于函数的最大值与最小值第1页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四一、复习引入 如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:第2页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四二、新课

2、函数的最值xX2oaX3bx1y 观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 第3页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(

3、-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知,最大值是13,最小值是4.第4页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四 一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); :将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区

4、间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.第5页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四 (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值

5、点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.第6页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四延伸1:设 ,函数 的最 大值为1,最小值为 ,求常数a,b. 解:令 得x=0或a.当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a) a(a,1) 1f(x) +0 - 0 +f(x)-1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1

6、0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.第7页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.说明:由于f(x)在0,1上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.解:令 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.而 f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2p-1.所以f(x)的最小值为 ,最大值为1.从而函数f(x)的值域为第8页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四练习2:求函数f(x)=p2x2(1

7、-x)p(p是正数)在0,1上的最 大值.解:令 ,解得在0,1上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.第9页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四四、实际应用1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在

8、这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.第10页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四例1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60

9、)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.第11页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.由V=r2h,得 ,则令 ,解得 ,从而 ,即h=2r.由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.第12页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km

10、.现在要 在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?B D AC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为第13页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四令 ,在 的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当A

11、B之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用.第14页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四xy例1: 如图,在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0 x2), 则 A(x, 4x-x2).从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)

12、=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得x=1.而0 x1时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x0时,f(x)1恒成立,即: 成立.第17页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四五、小结1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.2.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.第18页，共20页，2022年，5月20日，11点6分，星期四3.应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、 不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大(小