函数最值和导数

1、关于函数最值与导数第1页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四一、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点第2页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四左正右负极大左负右正极小左右同号无极值(2) 由负变正,那么 是极小值点;(3) 不变号,那么 不是极值点。(1) 由正变负,那么 是极大值点;二.极值的判定函数f(x)可导，x0为极值点 第3页，共31页，2022年，5月

2、20日，11点2分，星期四求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f(x) （3）令f(x)=0，求方程的根 （4）判断根左右两侧的符号，并列成表格得出结论左正右负为极大值点，左负右正为极小值点第4页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在闭区间的连续函数如下图所示,你能找出函数的极值吗？极值是最值吗？观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。极值是最值吗？第5页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常

3、遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 什么叫最值？ 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第6页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此

4、：该函数没有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)第7页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ xX2oaX3bx1yy=f(x)第8页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，

5、最小的 一个最小值. 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.第9页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解:当 变化时, 的变化情况如下表:例1.求函数 在区间 上的最大值与最小值。令 ,解得 又由于 （舍去）极小值函数在区间 上最大值为 ,最小值为 典型例题第10页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四你理解了吗？第11页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四有极值无最值第12页，共31页，2022年，5月20日

6、，11点2分，星期四第13页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。练一练、1、第14页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：第15页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值. 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小

7、值大.小结：第16页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四变式反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 . 第17页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四作业：课本P98 习题3.3 A组 5（1）（2）（3）（4）第18页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四2：已知函数(1)求 的单调减区间(2)若 在区间 上的最大值为 ,求该区间上的最小值所以函数的单调减区间为解:练一练：第19页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四令 解得当 变化时, 的变化情况如下

8、表:（舍去）- 极小值最小值为所以函数的最大值为 ,最小值为第20页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四结论： 2、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点， 那么这个极值点必定是最值点。 1、如果函数在闭区间【a，b】上的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；12第21页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四动手试试第22页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 4 、 函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为( )A.-4 B.0 C.16D.20C第23页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四

9、10/5/202223第24页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四2、 解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0最小值是0. 是,函数f(x)的最大值第25页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四 应用( 2009年天津（文）处的切线的斜率；设函数 其中（1）当 时，求曲线 在点 （2）求函数 的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)第26页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四1、已知函数(1)求 的最值（必做题）(2)当 在什么范围内取值时，曲线 与 轴总有交点(选做题）作业：高二（10）班求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：作业：高二（14）班第27页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四解:令 解得所以函数的极大值为 ，极小值为 当 变化时, 的变化情况如下表:- + -极小值极大值第28页，共31页，2022年，5月20日，11点2分，星期四曲线 与 轴总有交点 由（1）可知，函数在区间 上的极大值为 ，极小值为 ，又因 ， (2)所以函数的最大值为 ，最小值为作业 ： 3、 4