2023年专题10-(几何)最值问题(含详细答案)

1、几何最值 专题10 几何最值问题【十二个根本问题】1如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm假设一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为AEQ R(,61)cm B11cm C13cm D17cm第1题第2题第3题第4题2圆锥的底面半径为r20cm,高hEQ20 R(,15)cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为_3如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，那么EF的最小值为A2B2.2C2.4D2.54如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5假设点M

2、、N分别是线段AC，AB上的两个动点，那么BMMN的最小值为A10B8C5EQ R(,3)D65如图，一个长方体形的木柜放在墙角处与墙面和地面均没有缝隙，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜外表爬到柜角EQCSDO(1)处1请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；2当AB4,BCEQ4,CCSDO(1)5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长3在2的条件下，求点EQBSDO(1)到最短路径的距离6如图，P为AOB内任意一点，且AOB30，点EQPSDO(1)、EQPSDO(2)分别在OA、OB上，求作点EQPSDO(1)、EQPSDO(2),使EQPPSDO(1)PSDO(2)的周长最小，连接OP，假设OP1

3、0cm，求EQPPSDO(1)PSDO(2)的周长7如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H假设正方形的边长为2，那么线段DH长度的最小值是_第7题第8题第9题8如图，在等腰RtABC中,BAC90,ABAC,BCEQ4 R(,2),点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，那么线段CE长度的最小值为9如图，O的半径为1，弦AB1，点P为优弧EQ oac(SUP7(),AB)上一动点,ACAP交直线PB于点C，那么ABC的最大面积是AEQ F(1,2) BEQ F(R(,2),2) CEQ F(R(,3),2)

4、DEQ F(R(,3),4)10如图，抛物线yEQxSUP6(2)bxc与一直线相交于A(1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N其顶点为D(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M(3，m)，求使MNMD的值最小时m的值；(3)假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由；(4)假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值11如图，抛物线l交x轴于点A(3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，3)将抛物线l沿y轴翻折得

5、抛物线EQlSDO(1)(1)求EQlSDO(1)的解析式；(2)在EQlSDO(1)的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点EQASDO(1)及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线EQlSDO(1)于E、F两点，假设以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径12(2023朝阳小颖在学习“两点之间线段最短查阅资料时发现：ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小【特例】如图1，点P为等边ABC的中心，将ACP绕点A逆时针旋转60得到ADE,从而有DEPC，连接PD得到PDPA，同时APBAPD12060180,ADPADE18

6、0,即B、P、D、E四点共线，故PAPBPCPDPBDEBE在ABC中，另取一点P，易知点P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P、D、E四点不共线，所以PAPBPCPAPBPC,即点P到三个顶点距离之和最小13问题提出1如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为用含a，b的式子表示问题探究2点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值问题解决：3如图3，在平面直角坐标系中

7、，点A的坐标为2，0，点B的坐标为5，0，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BC=4EQ R(,2)，假设对角线BDCD于点D，请直接写出对角线AC的最大值14如下图，抛物线ya(x3)(x1)(a0)，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线yEQ R(,3)xb与抛物线的另一个交点为D(1)假设点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)假设在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的

8、条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒EQ F(2 R(,3),3)个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？答案1平面展开最短路径问题解：如下图：长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cmPA424212(cm),QA5cm,PQEQ R(,PASUP6(2)AQSUP6(2)13cm应选：C2解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E,r20cm,hEQ20 R(,15)cm由勾股定理可得母线lEQ R(,rSUP6(2)hSUP6(2)80cm,而

9、圆锥侧面展开后的扇形的弧长为220EQ F(n80,180),n90即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AAEQ R(,AESUP6(2)AESUP6(2)EQ80 R(,2)cm答：蚂蚁爬行的最短距离为EQ80 R(,2)cm故答案为：EQ80 R(,2)cm3解：连接AP,在ABC中，AB3,AC4,BC5，EQABSUP6(2)ACSUP6(2)EQBCSUP6(2),即BAC90又PEAB于E,PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EFAP，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4,EF的最小值为2.4,故答案为：2.44解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E

10、点，过E作EF垂直AB交AB于F点，ACEQ5 R(,5),AC边上的高为EQ F(ABBC,AC)EQ2 R(,5),所以BEEQ4 R(,5)ABCEFB,EQ F(AB,EF)EQ F(AC,BE),即EQ F(10,EF)EQ F(5 R(,5),4 R(,5)EF8应选：B5解：1如图，木柜的外表展开图是矩形EQABCSDO(1)DSDO(1)或EQACCSDO(1)ASDO(1)故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的EQACSDO(1)或EQACSDO(1);2蚂蚁沿着木柜外表矩形EQABCSDO(1)DSDO(1)爬过的路径EQACSDO(1)的长是EQlSDO(1)EQ R

11、(,4SUP6(2)(45)SUP6(2)蚂蚁沿着木柜外表矩形矩形EQABSDO(1)CSDO(1)D爬过的路径EQACSDO(1)的长EQlSDO(1)EQ R(,97),蚂蚁沿着木柜外表EQACCSDO(1)ASDO(1)爬过的路径EQACSDO(1)的长是EQlSDO(2)EQ R(,(44)SUP6(2)5SUP6(2)EQlSDO(1)lSDO(2),故最短路径的长是EQlSDO(2) R(,89)3作EQBSDO(1)EACSDO(1)于E，EQCSDO(1)EBSDO(1)EQCSDO(1)ASDO(1)A,ASDO(1)CSDO(1)A是公共角，EQAASDO(1)CSDO(1

12、)BSDO(1)ECSDO(1),即EQ F(BSDO(1)E,AASDO(1)EQ F(BSDO(1)CSDO(1),ACSDO(1),那么EQBSDO(1)EEQ F(BSDO(1)CSDO(1),ACSDO(1)AASDO(1)EQ F(4,R(,89)5EQ F(20,89)为所求6解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点EQPSDO(1)、EQPSDO(2),连接OM、ON、EQPPSDO(1)、EQPPSDO(2),此时EQPPSDO(1)PSDO(2)的周长最小EQ ,PPSDO(1)PSDO(2)的周长EQPSDO(1)PSDO(2),PPSD

13、O(1)PSDO(1)PSDO(2)PPSDO(2)EQMPSDO(1)PSDO(1)PSDO(2)NPSDO(2)MN，M、N分别是P关于OA、OB的对称点，MOAAOP,NOBEQBOP,PPSDO(1)EQPSDO(1)M,PPSDO(2)EQPSDO(2)N,MOPONO，MONMOAAOPNOBBOP2AOB,AOB30,MON23060,OMN是等边三角形，又EQPPSDO(1)PSDO(2)的周长EQPSDO(1)PSDO(2),PPSDO(1)PSDO(1)PSDO(2)PPSDO(2)EQMPSDO(1)PSDO(1)PSDO(2)NPSDO(2)MN，MNP的周长MNMOP

14、O10cm7解：在正方形ABCD中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG,在ABE和DCF中,EQ Blc(aal(ABCD,BADCDA,AEDF),ABEDCF(SAS),12,在ADG和CDG中,EQ Blc(aal(ADCD,ADGCDG,DGDG),ADGCDG(SAS),23,13,BAH3BAD90,1BAH90,AHB1809090,取AB的中点O,连接OH、OD,那么OHAOEQ F(1,2)AB1,在RtAOD中,ODEQ R(,AOSUP6(2)ADSUP6(2)EQ R(,1SUP6(2)2SUP6(2)EQ R(,5),根据三角形的三边关系,OHDHOD,当O、D

15、、H三点共线时,DH的长度最小,最小值ODOHEQ R(,5)1(解法二：可以理解为点H是在RtAHB,AB直径的半圆EQ oac(SUP7(),AB)上运动当O、H、D三点共线时,DH长度最小)故答案为：EQ R(,5)18解：连结AE，如图1，BAC90,ABAC,BCEQ4 R(,2),ABAC4，AD为直径，AED90,AEB90,点E在以AB为直径的O上，O的半径为2，当点O、E、C共线时，CE最小，如图2,在RtAOC中，OA2,AC4，OCEQ R(,OASUP6(2)ACSUP6(2)EQ2 R(,5),CEOCOEEQ2 R(,5)2,即线段CE长度的最小值为EQ2 R(,5

16、)2故答案为EQ2 R(,5)29解：连结OA、OB，作ABC的外接圆D，如图1，OAOB1,AB1，OAB为等边三角形，AOB60,APBEQ F(1,2)AOB30,ACAP,C60,AB1，要使ABC的最大面积，那么点C到AB的距离最大，ACB60,点C在D上，ADB120,如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时ABC为等边三角形，且面积为EQ F(R(,3),4)ABSUP6(2)EQ F(R(,3),4),ABC的最大面积为EQ F(R(,3),4)应选：D10解：(1)由抛物线yEQxSUP6(2)bxc过点A(1,0)及C(2,3)得,EQ Blc(aal(1

17、bc0,42bc3),解得EQ Blc(aal(b2,c3),故抛物线为yEQxSUP6(2)2x3又设直线为ykxn过点A(1,0)及C(2,3)得EQ Blc(aal(kn0,2kn3),解得EQ Blc(aal(k1,n1)故直线AC为yx1;(2)如图1,作N点关于直线x3的对称点N,那么N(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN的函数关系式为yEQ F(1,5)x F(21,5),当M(3,m)在直线DN上时,MNMD的值最小,那么mEQ F(1,5)3 F(21,5)EQ F(18,5);(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),点E在直线AC上,设E(x,x1),

18、如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,那么F(x,x3),F在抛物线上,x3EQxSUP6(2)2x3,解得,x0或x1(舍去)E(0,1);当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,那么F(x,x1)由F在抛物线上x1EQxSUP6(2)2x3解得xEQ F(1 R(,17),2)或xEQ F(1 R(,17),2)EQEbbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,17),2)或EQ bbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,17),2)综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、EQ bbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,1

19、7),2)或EQ bbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,17),2);(4)方法一：如图3,过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G,设Q(x,x1),那么EQPbbc(l(x,xSUP6(2)2x3)PQEQ bbc(l(xSUP6(2)2x3)(x1)EQxSUP6(2)x2又EQSSDO(APC)EQSSDO(APQ)SSDO(CPQ)EQ F(1,2)PQAGEQ F(1,2)bbc(l(xSUP6(2)x2)3EQ F(3,2)bbc(l(x F(1,2)SUP6(2) F(27,8)面积的最大值为EQ F(27,8)方法二：过点P作PQ

20、x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G,如图3,设Q(x,x1),那么EQPbbc(l(x,xSUP6(2)2x3)又EQSSDO(APC)S_(APH)S_(直角梯形PHGC)S_(AGC)EQ F(1,2)(x1)bbc(l(xSUP6(2)2x3) F(1,2)bbc(l(xSUP6(2)2x33)(2x) F(1,2)33EQ F(3,2)xSUP6(2) F(3,2)x3EQ F(3,2)bbc(l(x F(1,2)SUP6(2) F(27,8)APC的面积的最大值为EQ F(27,8)11解：(1)如图1所示,设经翻折后,点A、B的对应点分别为EQASDO(1)、E

21、QBSDO(1),依题意,由翻折变换的性质可知EQASDO(1)(3,0),BSDO(1)(1,0),C点坐标不变,因此,抛物线EQlSDO(1)经过EQASDO(1)(3,0),BSDO(1)(1,0),C(0,3)三点,设抛物线EQlSDO(1)的解析式为yEQaxSUP6(2)bxc,那么有：EQ Blc(aal(9a3bc0,abc0,c3),解得a1,b2,c3,故抛物线EQlSDO(1)的解析式为：yEQxSUP6(2)2x3(2)抛物线EQlSDO(1)的对称轴为：xEQ F(b,2a)1,如图2所示,连接EQBSDO(1)C并延长,与对称轴x1交于点P,那么点P即为所求此时EQ

22、 ,|PASDO(1)PC|EQ |PBSDO(1)PC|EQBSDO(1)C设P为对称轴x1上不同于点P的任意一点,那么有：EQ |PASDO(1)PC|PB_(1)PC|B_(1)C(三角形两边之差小于第三边),故EQ |PBSDO(1)PC|PASDO(1)PC|,即EQ |PASDO(1)PC|最大设直线EQBSDO(1)C的解析式为ykxb,那么有：EQ Blc(aal(kb0,b3),解得kb3,故直线EQBSDO(1)C的解析式为：y3x3令x1,得y6,故P(1,6)(3)依题意画出图形,如图3所示,有两种情况当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,由抛物线及圆的对称性可知,

23、点D位于对称轴x1上,那么D(1,r),F(1r,r)点F(1r,r)在抛物线yEQxSUP6(2)2x3上,rEQ (1r)SUP6(2)2(1r)3,化简得：EQrSUP6(2)r40解得EQrSDO(1)EQ F(R(,17)1,2),rSDO(2) (gh(17)1)/(2)(舍去),此圆的半径为EQ F(R(,17)1,2);当圆位于x轴下方时,同理可求得圆的半径为EQ F(R(,17)1,2)综上所述,此圆的半径为EQ F(R(,17)1,2)或EQ F(R(,17)1,2)12解：1如图1，将ACP绕点A逆时针旋转60得到ADE,PAD60,PACDAE,PADA、PCDE、AP

24、CADE120,APD为等边三角形，PAPD,APDADP60,APBAPD12060180,ADPADE180,即B、P、D、E四点共线，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC的值最小2方法一：如图2，分别以AB、BC为边在ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，ABDB、BEBC8、ABDEBC60,ABEDBC,在ABE和DBC中，EQ Blc(aal(ABDB,ABEDBC,BEBC)，ABEDBC(SAS),CDAE、BAEBDC,又AOPBOD,APOOBD60,在DO上截取DQAP，连接BQ，在ABP和DBQ中，EQ Blc(aal(ABDB,BAPBDQ,APDQ)，A

25、BPDBQ(SAS),BPBQ,PBAQBD,又QBDQBA60,PBAQBA60,即PBQ60,PBQ为等边三角形，PBPQ，那么PAPBPCDQPQPCCDAE，在RtACE中，AC6、CE8，AECD10，故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10方法二：如图3，由2知，当APBAPCBPC120时,APBPPC的值最小，把CPB绕点C逆时针旋转60得CPB,由2知A、P、P、B共线，且APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAPCBPCA30,ACB90,ABEQ R(,ACSUP6(2)BCSUP6(2)EQ R(,ACSUP6(2)BCSUP6(2)1013解：1点A为线段BC外一

26、动点，且BCa,ABb，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BCABab,故答案为：CB的延长线上,ab;2CDBE，理由：ABD与ACE是等边三角形，ADAB,ACAE,BADCAE60,BADBACCAEBAC,即CADEAB,在CAD与EAB中，EQ Blc(aal(ADAB,CADEAB,ACAE)，CADEAB(SAS),CDBE；线段BE长的最大值线段CD的最大值，由1知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，最大值为BDBCABBC369；3如图1，连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN,连接AN，那么APN是等腰直角三角形,PN

27、PA2,BNAM，A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),OA2,OB5，AB3，线段AM长的最大值线段BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值ABAN,ANEQ R(,2)APEQ2 R(,2),最大值为EQ2 R(,2)3;如图2，过P作PEx轴于E，APN是等腰直角三角形，PEAEEQ R(,2),OEBOABAEEQ53 R(,2)EQ2 R(,2),2ff976c3.pngEQP(2 R(,2), R(,2)4如图4中，以BC为边作等边三角形BCM,ABDCBM60,ABCDBM,ABDB,BCBM，ABCDBM,ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BCEQ4 R(,2)定值,BDC90,点D在以BC为直径的O上运动，由图象可知，当点D在BC上方,DMBC时，DM的值最大，最大值EQ2 R(,2)2 R(,6),AC的最大值为EQ2 R(,2)2 R(,6)14解：(1)ya(x3)(x1),点A的坐标为(3,0)、点B两的坐标为(1,0),直线yEQ R(,3)xb经过点A,bEQ3 R(,3),yEQ R(,3)x3 R(,3),当x2时,yEQ5 R(,3),那么点D的坐标为EQ (2,5 R(,3),点D在抛物线上,a(23)(21)EQ5 R(,3),解得,aEQ R(,3),那么抛物线的解