ch4-图象变换课件

1、第四章 数字图像变换1.图象变换的概念与目的2.傅里叶变换3.可分离图像变换4.离散余弦变换（DCT） 原则上，所有图象处理都是图像的变换，而本章所谓的图象变换特指数字图象经过某种数学工具的处理，把原先二维空间域中的数据，变换到另外一个“变换域”形式描述的过程。例如，傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。 1.图象变换的概念 任何图象信号处理都不同程度改变图象信号的频率成分的分布，因此，对信号的频域（变换域）分析和处理是重要的技术手段，而且，有一些在空间域不容易实现的操作，可以在频域（变换域）中简单、方便地完成。 图象变换是将NN维空间图象数据变换成另外一组基向量空间（通常是正交

2、向量空间）的坐标参数，我们希望这些离散图象信号坐标参数更集中地代表了图象中的有效信息，或者是更便于达到某种处理目的。可分离变换：傅里叶变换(FFT)、离散余弦变换(DCT)、哈达玛变换、沃尔什变换、哈尔变换等；统计变换：霍特林变换。图像变换分为可分离变换和统计变换两大类。数据压缩 去除空间冗余（离散余弦、小波 变换等）便于处理频率域滤波(离散傅立叶变换等）便于提取特征 Hough变换、小波变换等1.图象变换的目的回忆：周期函数的傅里叶级数展开误差函数和均方误差误差函数均方误差由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位

3、发生相对变化时，波形将会失真2.傅里叶变换回顾-（1）一维连续傅立叶变换f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：其反变换为：在复变函数里面学习的傅里叶变换：其中t代表时间，代表角频率在图像处理中用u表示频率：幅度谱：相位谱：根据尤拉公式相角:令一维离散傅里叶变换(DFT)可以用矩阵乘法表示：其中，矩阵U称为变换矩阵其中，U矩阵具有对称性：单位矩阵故U为酉矩阵，且有：故1维-DFT就称为正交变换且其逆变换为:（3）二维连续傅立叶变换二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：逆变换：幅度谱：相位谱：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)二维傅立叶变换举例对于二维方波信号傅立叶变换为：幅度：（

4、4）二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：逆变换为：幅谱(频谱)、相谱：当图形阵列为方阵时，则M=N,有：注：关于系数的问题处理不唯一，还有如：Matlab Functions: fft/ifftExample: a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 b=fft(a) 45.0 -4.5 +12.3i -4.5 + 5.3i -4.5 + 2.5i -4.5 + 0.7i -4.5 - 0.7i -4.5 - 2.5i -4.5 - 5.3i -4.5 -12.3i ifft(b) 1.0 - 0.0i 2.0 - 0.0i 3.0 - 0.0i 4.0 - 0.0i 5.0-

5、 0.0i 6.0 - 0.0i 7.0 + 0.0i 8.0 + 0.0i 9.0 + 0.0iFourier Transform离散傅立叶变换的显示 通过对傅立叶变换模，来显示傅立叶变换图象。由于模的值域大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩其中：证：二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。1次2-D 2次1-D， O(N 4)减为O(N 2) 4. 空间位移：5. 频率位移：当图像在频率域时移动时需要用到频率位移性质，当图像在空间域时移动时需要用到空间位移性质。6. 周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7. 共轭对称性：两

6、边取共轭(f(x,y)为实函数)：8. 旋转不变性：以极坐标表示x, y, u, v：f(x,y)和F(u,v)可由f(r,)和F(w,)来表示，代入傅立叶变换的公式，可以得到：（a）原始图像（b）幅度谱（c）图像旋转45o（d）图c的谱9. 平均值：平均值定义：由傅立叶变换定义：因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：10. 卷积定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)11. 相关定理：互相关：f(x,y)Og(x,y) F(u,v)G*(u,v)f(x,y)g*(x,y) F(u,v) OG(u,v)自相关：

7、f(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v)12. 帕塞瓦定理（能量定理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：eg_ch4_1.m:旋转不变性试验注意典型函数的用法(演示 讲解)eg_ch4_2.m:第四章第二个例子：二维傅里叶变换程序、fft2函数试验 频率域 幅值与频率 空间域 灰度二维傅立叶变换傅立叶谱： |F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2相位:(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)幅值与相位傅立叶变换示例(2.1)幅值谱幅值重构图像相位重构图像相位谱二维图象傅立叶变换,其幅度谱的另

8、一种显示方法：I=imread(len_std.jpg);I1=rgb2gray(I); X_DFT=fft2(I1);fftshift(X_DFT)Am=abs(X_DFT);Am_C=log(1+Am);am_out=(255./max(Am_C(:).*Am_C;imshow(uint8(am_out)figure;imshow(log(Am),)周期性和共轭对称性的应用1. 图形的频谱分析和显示2. 图像中心化补充：卷积 卷积积分：如果函数 y(t) 满足下列关系式则称函数 y(t) 为函数 x(t) 和 h(t) 的卷积。 卷积积分的图解表示：x(t)th(t)t1/2111 卷积积

9、分的图解表示（续）：位移h(t1- )11x()x()h(- )1/2-1折迭h(t- )1/2t11*相乘2y(t)1t1t积分 卷积积分的步骤：1 折迭：把 h() 相对纵轴作出其镜像2 位移：把 h(-) 移动一个 t 值3 相乘：将位移后的函数 h(t-) 乘以 x()4 积分： h(t-) 和 x() 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值 卷积定理：如果 x(t) 和 h(t) 的富里叶变换分别为 X(f) 和 H(f) ,则x(t) * h(t) 的富里叶变换为 X(f)H(f)。即 卷积定理的简单推导：=令 =t-相关的定义或者：可分离图像变换：g(x,y,u,v)、h(x,y

10、,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核；是变换中进行级数展开的基本函数。如果g(x,y,u,v)= g1(x,u)g2(y,v)，则称正向变换核是可分离的；如果h(x,y,u,v)= h1(x,u)h2(y,v)，则称反向变换核是可分离的；(1) 可分离变换的一般形式T(u,v) = f (x,y) g(x,y,u,v)，x,y=0, N-1；u,v=0,N-1f (x,y) = T(u,v) h(x,y,u,v)，u,v=0,N-1； x,y=0,N-1 傅里叶变换是可分离变换的一个特例。g(x,y,u,v)= exp-2j(ux+vy)/N/N2 = exp-2jux/N/Nexp-2j

11、vy/N/N = g1(x,u)g2(y,v)； 所以傅里叶变换是可分离变换。 例如傅里叶变换正向变换核具有可分离变换核的二维变换计算: (分两步) T(x,v) = f (x,y) g2(y,v) ；y=0,N-1 列变换 T(u,v) = T(x,v) g1(x,u) ；x=0,N-1 行变换 若g1和g2的函数形式一样，则称g(x,y,u,v)是对称的。 当g(x,y,u,v)是可分离和对称的，可写成矩阵形式: T = AFA，其中，F是NN图像矩阵， T是变换后的NN图像矩阵， A是NN对称变换矩阵，其元素为 若要实现反变换，则 BTBBAFAB，B是反变换矩阵。如果B= A-1，图像

12、可以完全恢复为F，即 FBTB。如果BA-1 ，则只能得到F的近似图像 F BAFAB。 利用矩阵形式的优点，所得到的变换矩阵可分解成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余，减少操作次数。4 离散余弦变换（DCT） 从上节内容我们可以看到，傅立叶变换是用无穷区间上的复正弦基函数和信号的内积描述信号中总体频率分布，或者是将信号向不同频率变量基函数矢量投影。实际上，基函数可以有其它不同类型，相当于用不同类型基函数去分解信号（图象）。余弦变换是其中常用的一种。一个任意函数采样从0,1,2,N-1，若向负方向折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N的偶函数傅立叶变换。当f(x)或f(x,y)为

13、偶函数时，变换的计算公式只有余弦项。余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法一维离散余弦变换为：归一化后，为： 矩阵形式：令 N4，其展开式如下： 矩阵形式：3 正变换矩阵的一般形式为： 一维余弦变换的反变换为： 矩阵形式：同理，可得到反变换展开式： 根据对称点的傅立叶变换，可得余弦变换为：二维余弦变换 表为矩阵形式：以N2为例，则有： 反变换为： 反变换矩阵形式：余弦变换的性质(1)二维余弦变换具有可分离性：表示成矩阵形式:(2)余弦变换可以利用傅立叶变换实现:将 f(x) 延拓为：则有：借助傅立叶变换计算余弦变换的步骤：(5)取F(u)的前N项，即为 f(x)的余弦变换。（2）求fe(x) 的2

14、N点的FFT；（3）对各项乘上对应的因子 ；（4）取实部，并乘上因子 ；（1）把f(x)延拓成fe(x) ，长度为 2N ；imshow(flower)；title(显示原图象)；flower_dct=dct2(flower);figure;imshow(log(abs(flower_dct), )；Threshold15：flower_dct(abs(flower_dct)Threshold1)0；idctfloweridct2(flower_dct)；进行二维DcT反变换figure；imshow(idctflower,0 255);利用DCT2进行图象变换和重建：Eg_ch4_3.m:测试