2023学年广东省深圳市南山区数学九年级第一学期期末考试模拟试题含解析

1、2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（1，2），（2，1），若抛物线y=ax2x+2（a0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）Aa1或aBaCa或aDa1或a2如果一个一元二次方程的根是x1x21，那么这个方程是A（x1）20B

2、（x1）20Cx21Dx2103抛物线y=(x2)23，下列说法正确的是（ ）A开口向下，顶点坐标（2，3）B开口向上，顶点坐标（2，3）C开口向下，顶点坐标（2，3）D开口向上，顶点坐标（2，3）4如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0,6），BC的中点D在y轴上，且在A的下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为A3BC4D5如图，在ABC中，ADBC交BC于点D，ADBD，若AB，tanC，则BC（ ）A8BC7D6关于反比例函数图象，下列说法正确的是()A必经过点B两个分支分布在第一、三象限C两个分支关于轴

3、成轴对称D两个分支关于原点成中心对称7如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（ ） A8SB9SC10SD11S8如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）ABCD9在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A等边三角形B圆C等腰梯形D直角三角形10电影我和我的祖国讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）ABCD11已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）AB

4、CD12如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（ ）A2cmB cmC cmD1cm二、填空题（每题4分，共24分）13如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕BEF”面积最大时，点E的坐标为_14若关于x的方程x2-x+sin=0有两个相等的实数根，则锐角的度数为_15若关于的一元二次方程没有实数根化简：=_16如图所示，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和

5、半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为_17已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是_18若关于x的方程0是一元二次方程，则a_三、解答题（共78分）19（8分）化简：，并从中取一个合适的整数代入求值.20（8分）（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=_.（2）（问题解决）如图2，在四边形中，,求的度数.（3）（问题拓展）如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连

6、接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_.21（8分）（1）解方程（2）计算：22（10分）已知矩形的周长为1（1）当该矩形的面积为200时，求它的边长；（2）请表示出这个矩形的面积与其一边长的关系，并求出当矩形面积取得最大值时，矩形的边长23（10分）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，1)，(2，1)(1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出B，C，M的对应点B，C，M的坐标24（10分）如图，已知四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，

7、DE=EC，以AE为直径的O与CD相切于点D，点B在O上，连接OB（1）求证：DE=OE；（2）若CDAB，求证：BC是O的切线25（12分）如图：在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是（1）求抛物线的解析式（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，且求证：（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由26如图1，已知中，点、在上，点在外，边、与交于点、，交的延长线于点（1）求证：；（2）当时，求的长；（3

8、）设，的面积为，求关于的函数关系式如图2，连接、，若的面积是的面积的1.5倍时，求的值参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【详解】抛物线的解析式为y=ax1-x+1观察图象可知当a0时，x=-1时，y1时，满足条件，即a+31，即a-1；当a0时，x=1时，y1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，a，直线MN的解析式为y=-x+，由，消去y得到，3ax1-1x+1=0，0，a，a满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a-1或a，故选A【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

9、题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型2、B【分析】分别求出四个选项中每一个方程的根，即可判断求解【详解】A、（x+1）2=0的根是：x1=x2=-1，不符合题意；B、（x-1）2=0的根是：x1=x2=-1，符合题意；C、x2=1的根是：x1=1，x2=-1，不符合题意；D、x2+1=0没有实数根，不符合题意；故选B3、A【解析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标.【详解】解： y=(x2)23a=-10, 抛物线的开口向下，顶点坐标（2，3）故选A【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标等性

10、质4、B【分析】首先分析得到当点E旋转至y轴正方向上时DE最小，然后分别求得AD、OE的长，最后求得DE的长【详解】如图，当点E旋转至y轴正方向上时DE最小ABC是等边三角形，D为BC的中点，ADBCAB=BC=2，AD=ABsinB=正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，OE=OE=2点A的坐标为（0，1），OA=1故选B5、C【分析】证出ABD是等腰直角三角形，得出ADBDAB4，由三角函数定义求出CD3，即可得出答案【详解】解：交于点，是等腰直角三角形，；故选：【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的

11、关键6、D【分析】把(2，1)代入即可判断A，根据反比例函数的性质即可判断B、C、D【详解】A当x=2时，y=-11，故不正确；B -20，两个分支分布在第二、四象限，故不正确；C 两个分支不关于轴成轴对称，关于原点成中心对称，故不正确；D 两个分支关于原点成中心对称，正确；故选D【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k0)的图象是双曲线，当k0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限反比例函数图象的两个分支关于原点成中心对称7、B【解析】分析：由于四边形ABCD是平行四边形，那么ADBC，AD=BC，根据平行线分线段

12、成比例定理的推论可得DEFBCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求的面积，再利用与是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求的面积，进而可求的面积详解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC， DEFBCF， 又E是AD中点， DE:BC=DF:BF=1:2， 又DF:BF=1:2， 四边形ABCE的面积=9S，故选B.点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.8、B【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答【详解】解： A、ACPB，A=A，ACPABC，故本选项不符合题意；B、，缺少夹角相等，不可判定ACPABC，故

13、本选项符合题意；C、APCACB，A=A，ACPABC，故本选项不符合题意；D、，A=A，ACPABC，故本选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用9、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、直角三角形不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；故选B【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，识别轴对称

14、图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合，识别中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180后与原图重合10、D【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案【详解】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，根据题意可列方程为故选：D【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式11、C【分析】根据相似三角形的判定定理逐一分析即可【详解】解: AB=AC=6，B=75B=C=75A=180BC=30，对于A选项，如下图所示 ，但AE

15、与EFD不相似，故本选项不符合题意；对于B选项，如下图所示 DE=DF=EFDEF是等边三角形E=60，但AE与EFD不相似，故本选项不符合题意；对于C选项，如下图所示，A=E=30EFD，故本选项符合题意；对于D选项，如下图所示，但AD与DEF不相似，故本选项不符合题意；故选C【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，掌握有两组对应边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似是解决此题的关键12、B【分析】连接AC，过E作EFAC于F，根据正六边形的特点求出AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出EAF的度数，由特殊角的三角函数值求出AF的长，进而可求出AC的长【详解】如图，连接AC，过E作EFAC于

16、F，AE=EC，AEC是等腰三角形，AF=CF，此多边形为正六边形，AEC=120，AEF=60，EAF=30，AF=AEcos30=1=，AC=，故选：B【点睛】本题考查了正多边形的应用，等腰三角形的性质和锐角三角函数，掌握知识点是解题关键二、填空题（每题4分，共24分）13、（，2）【详解】解：如图，当点B与点D重合时，BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RTABE中，EA2+AB2=BE2，（4-x）2+22=x2，x=，BE=ED=，AE=AD-ED=，点E坐标（，2）故答案为：（，2）【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键14、30【解析】试

17、题解析：关于x的方程有两个相等的实数根， 解得： 锐角的度数为30；故答案为3015、【分析】首先根据关于x的一元二次方程没有实数根求出a的取值范围，然后利用二次根式的基本性质化简即可【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根，解得，当时，原式，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式及二次根式的基本性质，解题的关键是根据根的判别式确定未知数的取值范围16、cm.【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可【详解】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据题意，得解得x=1故选：1cm【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性

18、质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长17、【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案【详解】解：连接、，作于，等边三角形的边长是2，等边三角形的面积是，正六边形的面积是：；故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形18、1【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值【详解】解：关于x的方程（a1）xa2+170是一元二次方程，a2+12，且a1

19、0，解得，a1故答案为1【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a0）三、解答题（共78分）19、-x-1，-1.【分析】先将原分式化简，然后根据分式有意义的条件代入适当的值即可.【详解】解：原式当时（不能取1或1，否则无意义）原式.【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键.20、（1）45；（2）25；（3）【解析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解（2）由A、B、C、D共圆，得出BDCBAC，（3）根据正方形的性质可得ABADCD，BA

20、DCDA，ADGCDG，然后利用“边角边”证明ABE和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得12，利用“SAS”证明ADG和CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得23，从而得到13，然后求出AHB90，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OHAB1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小【详解】（1）如图1，ABAC，ADAC，以点A为圆心，点B、C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，BDCBAC45，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBADBCD90，点

21、A、B、C、D共圆，BDCBAC，BDC25，BAC25；（3）在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），23，13，BAH3BAD90，1BAH90，AHB1809090，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAOAB1，在RtAOD中，OD，根据三角形的三边关系，OHDHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值ODOH1【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法21、（1

22、），；（2）【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；（2）先将sin45和tan60的值代入，再计算即可得出答案.【详解】解：（1）方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（2）原式.【点睛】本题考查的是解一元二次方程和三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值.22、（1）矩形的边长为10和2；（2）这个矩形的面积S与其一边长x的关系式是S=-x2+30 x；当矩形的面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形【分析】（1）设矩形的一边长为，则矩形的另一边长为，根据矩形的面积为20列出相应的方程，从而可以求得矩形的边长；（2）根据题意可以得到矩形的面积与一边长的函数关系，

23、然后根据二次函数的性质可以求得矩形的最大面积，并求出矩形面积最大时它的边长【详解】解：（1）设矩形的一边长为，则矩形的另一边长为，根据题意，得，解得，答：矩形的边长为10和2（2）设矩形的一边长为，面积为S，根据题意可得，所以，当矩形的面积最大时，答：这个矩形的面积与其一边长的关系式是S=-x2+30 x，当矩形面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程以及函数关系式，利用二次函数的性质解答23、 (1)如图所示见解析；(2)B(6，2)，C(4，2)，M(2x，2y)【解析】分析:(1)根据位似图形的

24、性质:以某点为位似中心的两个图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比,且对应点的连线与位似中心在同一直线上,根据位似图形的性质和已知图形的各顶点和位似比,求出位似后的对应点,然后再连接各点.(2)根据位似图形的性质即可求解.详解:(1)如图所示,(2)如图所示:B,C两点的坐标分别为（3,-1）,（2,1）,新图与原图的相似比为2,B（-6,2）,C（-4,-2）,OBC内部一点M的坐标为（x,y）,对应点M（-2x,-2y）.点睛:本题主要考查作位似图形和位似图形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握作位似图形的方法和位似图形的性质.24、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】(1)先判断出2+3=90，再判断出1=2即可得出结论；(2)根据等腰三角形的性质得到3=COD=DEO=60，根据平行线的性质得到4=1，根据全等三角形的性质得到CBO=CDO=90，于是得到结论；【详解】(1)如图，连接OD，CD是O的切线，ODCD，2+3=1+COD=90，DE=EC，1=2，3=COD，DE=OE；(2)OD=OE，OD=DE=OE，3=COD=DEO=60，2=1=30，ABCD，4=1，1=2=4=OBA=30，BOC=DOC=60，在CDO与CBO中，CDOCBO(SAS)，CB