哥德巴赫猜想的初级证明法

1、哥德巴赫猜想的初级证明法题目：大于6的偶数，可以表示为两个奇素数之和。本题是要证明大于6的偶数，都能 表示为两个奇素数的和。一、哥德巴赫猜想定理 定理，是与事物客观发展规律紧密联系的，经得起推敲的，固定不变的原理。它与人们 验证与不验证，认证与不认证，没有直接的因果关系。也就是说：是客观的，而不是主观的。定理一、不与偶数同余的素数，必然组成偶数的素数对。基本概念： 1、素数对，两个素数之和等于偶数，我们把它们叫做偶数的素数对，或简称素数对。 如偶数100，3+97，11+89，都是偶数100的素数对。2、含素因子的合数，如105=3*5*7，我们说合数105是含素因子3的合数，含素因子 5的合

2、数或者含素因子7的合数。设大于6的偶数为M,设M内的任意数为X, ( Xfl),那么，X的对称数为M-X。意 思是，X和M-X都是素数时，该命题成立。X和M-X都是素数的条件：令小于丿M的素数为素因子，X与M-X是素数的条件是，不 能被素所有因子整除或者是素因子。X是素数的条件很直观，不能被所有素因子整除或者是素因子，它就是素数。M-X是素数的条件就得转一个弯来理解，是因为，这个数涉及偶数M。当X是素数时，X 是不能被所有素因子整除或者是某一个素因子本身。我们令X为不能被所有素因子整除的素数，因为，X不能被所有素因子整除，所以，X 除以所有素因子都有余数。再令任意素因子为N，令X/N余数为A，

3、即AfN。令M/N的余数为B，那么，(M-X) /N 的余数为B-A或B+N-A。因为，AfN，只有当A=B时，M-X能够被素因子N整除，当M-X=N,M-X是素数；当M-X #N，M-X为含素因子N的合数。当A#B时，(M-X)不能被素因子N整除，也就是当M/N的余数不与X/N的余数相同时， M-X不能被素因子N整除，M-X为不含素因子N的合数或素数。当M除以所有素因子的余数 都不与素数X除以所有素因子的余数相同时，那么，M-X必然是素数(M-Xfl)。我们简称 不与偶数同余的素数，必然组成偶数的素数对。例一，为什么素数29能组成偶数100的素数对？偶数100，100=10，10内有素数2,

4、 3, 5, 7,我们把2, 3, 5, 7叫做偶数100的素 因子，因100/2余0，100/3余1，100/5余0，100/7余2，而素数29/2余1，29/3余2， 29/5余4， 29/7余1，素数29与偶除以所有素因子的余数都不同，所以，素数29必然组成 偶数100的素数对；例二、为什么素数31不能组成偶数100的素数对？偶数100,100=10,10内有素数2, 3, 5, 7,我们把2, 3, 5, 7叫做偶数100的素 因子，因100/2余0，100/3余1，100/5余0，100/7余2，而素数31/2余1，31/3余1， 31/5余1，31/7余3。因素数31/3余1与偶数

5、100/3余1相同，所以，素数31的对称数 100-31=69必然被素因子3整除，而69主素因子3本身，所以，素数31不能组成偶数100 的素数对；例三、为什么素数97也能组成偶数100的素数对？偶数100,100=10,10内有素数2, 3, 5, 7,我们把2, 3, 5, 7叫做偶数100的素 因子，因100/2余0，100/3余1，100/5余0，100/7余2，而素数97/2余1，97/3余1， 97/5余2，97/7余6。素数97只有除以素因子3的余数与偶数除以素因子3的余数相同，97的对称数100-97=3必然能被素因子3整除，因为，能被素因子3整除的数是素因子3本 身，所以，素

6、数97能够组成偶数100的素数对。定理二、互余原理：组成偶数素数对的素数与偶数的关系是互余关系。 例、偶数24的素数对有：5+19，7+17，11+13。因24-5=19，24/5也余19或余4，即19/5余4，同余4；又因24-19=5，24/19也余5， 5/19余5，同余5。组成偶数素数对的素数与偶数的关系形成了互余关系。因24-7=17，24/7也余17或余3，即17/7余3，同余3；又因24-17=7，24/17也余7， 5/7余7，同余7。它们也形成了互余关系。因24-11=13，24/11也余13或余2，即13/11余2，同余2；又因24-13=11，24/13也 余11，11/

7、13余11，同余11，它们也形成了互余关系。因素数的素性，决定了组成偶数素数对的素数必然互余，不能互余的素数不能组成偶数 的素数对。二、哥德巴赫猜想素数对 我们把两个素数之和等于偶数的组合，叫做素数对，那么，大于6的偶数是否有素数对 的存在，任意一个偶数不低于多少素数对呢？设任意偶数为M, 2数和等于偶数的不同数对的组合为M/2个，如偶数10,有10/2=5 个不同的数对组合，它们分别是：1+9，2+8，3+7，4+6，5+5。在组成偶数的数对中，去掉合数对，剩余的数对中，除了由自然数1组成的数对外，其 它的数对就是素数对。那么，如何去掉，它们有什么规律，有什么必然联系？我们以偶数 100为例

8、。因为，100=10,在10之内只有2, 3, 5, 7,我们把2, 3, 5, 7叫做素因子。因100/2=50, 100/5=20，偶数100可以被素因子2和5整除。组成偶数的数对为100/2=50对，因为，100能被素因子2整除，令100内的任意数为X, X的对称数为(100-X),有X+ (100-X) =100,所以，X+ (100-X)也能被素因子2整除，当 X是素因子2的倍数的数时，那么，(100-X)也必然是素因子2的倍数的数，即，含素因子 2的合数的对称数也必然是含素因子2的合数。在这50个数对中，加数是1到50的自然数， 在自然数中每2个数有一个数能被素因子2整除,即25个

9、数是含素因子2的数,这25个数 的对称数也是含素因子2的数,我们把它们删除,即删除25个含素因子2的合数对,剩余 25个数对是不含素因子2的奇数数对。因为,所有偶数都能够被素因子2整除,即素因子2 删除含素因子2的合数组成的数对,为偶数数对的1/2,剩余偶数数对的1/2为奇数对。在剩余的25个奇数数对中，因为，100/3余1, X+(100-X)=100,那么，X+(100-X) /3 也必然余1,当X能被素因子3整除时，那么，(100-X) /3必然余1,反过来，当X/3余1 时，(100-X) /3必然能被素因子3整除，剩余的25个奇数数中，在50之内每3个连续数 中，必然有1个数能被素因

10、子3整除，能被素因子3整除的为含素因子3的合数；必然有1 个数除以素因子3余1，除以3余1的对称数为含素因子3的合数。即素因子3删除含素因 子3的合数组成的数对为前面剩余的2/3，剩余1/3的数对为除以素因子3余2的数对。素 因子2, 3删除后的剩余数对的计算式为：(100/2) *(1/2) *(1/3)忍.33个。实际有3+97, 5+95, 11+89,17+83, 23+77, 29+71, 35+65, 41+59, 49+51,为 9 个数对。说明：素因子是素数，当偶数不能被素因子整除时，素因子的对称数是不能被该素因子整除的，故3+97 不能被素因子3删除。在剩余的这9个数对中,因

11、为, 100/5能整除, X+ (100-X) =100,那么, X+ (100-X) /5 也必然能整除，当X/5能整除时，(100-X) /5也必然能整除，在上面的剩余数对中，每5 个连续数对必然有一个数对组合数的加数与被加数都能被素因子5整除,并且,只有一个数 对组合数的加数与被加数能被素因子5整除。即删除含素因子5组成的数对为上面剩余数对的1/5，剩余4/5的数对的组合数都不能被素因子5整除，素因子2，3，5删除后的剩余数 对的计算式为：(100/2) * (1/2) * (1/3) * (4/5)怎6.67,实际剩余 3+97,11+89,17+83,23+77，29+71，41+5

12、9，49+51。为7个数对。在上面剩余的7个数对中，因为，100/7余2, X+(100-X)=100,那么，X+(100-X) /7 也必然余2,当X/7能整除时，(100-X) /7必然余2,反过来，当X除以7余2时，(100-X) /7必然能整除,在上面的剩余数对中,按理来说,每7个连续数对(不包括3+97)中,必 然有一个数对的加数能被素因子7整除,该加数为含素因子7的合数；也必然有一个数对的 加数除以素因子7余数为2,该加数的对称数为含素因子7的合数。即,每7个连续数对必 然有2个数对,是含素因子7的合数组成的数对,剩余5/7的数对是不含素因子7的合数组 成的数对,素因子2,3,5,

13、7删除后的剩余数对的计算式为：(100/2)*(1/2)*(1/3)* (4/5) * (5/7)怎4.76 对，实际剩余 3+97,11+89,17+83,29+71, 41+59。为 5 个素数对。小结：1、当偶数能够被素因子N整除时，素因子N删除偶数数对的1/N,剩余(N-1) /N的数 对是不含素因子N的合数组成的数对；2、当偶数不能被素因子N整除时，素因子N删除偶数数对的2/N,剩余(N-2) /N的数 对为不含素因子N的合数组成的数对，含素因子N的数对中，其中：素因子N本身所组成的 数对不属于含素因子N的合数组成的数对。即素因子N的删除略小于2/N,剩余数对略大于(N-2)/N。三

14、、实际素数对与计算数的关系我们设偶数为M,令小于0的素数为素因子，当0AN时，N为小于的最大素数， 那么，素因子为2, 3, 5, 7, 11,13,，N。令偶数不能被所有素因子整除，有偶数的素 数对a(M/2) * (1/2) * (1/3) * (3/5) * (5/7) * (9/11) * (11/13) * (15/17) * (N-2)/N。计算是严格按比例进行的,计算与实际情况是有一定出入的,如计算结果基本上都是小 数,而素数对个数不能为小数,必须取整数。1、实际删除大于计算结果的因素有两个：、当自然数1的对称数是素数时,这个奇数对不是素数对,组成这个奇数对的两个 数是不能被任何

15、素因子整除,这个奇数对也就不能被任何素因子删除,当遇到这种情况时, 应该在计算结果中减去1。、如果偶数较小，素因子N的删除是对1个、2个较少数列的删除时，当素因子N 的第一个删除数为某一个数列小于N/2个项的删除时，在总项数除以N不能整除的情况下， 实际删除数有可能大于计算数。说明,这里所说的较少数列指：、素数形成线路是：素因子2删除后的剩余数列只有1+2N;素因子2, 3删除后的剩 余数列只有1+6N和5+6N两个；素因子2, 3, 5删除后的剩余数列只有8个；素因子2, 3, 5, 7删除后的剩余数列只有48个；素因子2, 3, 5, 7, 11删除后的剩余数列只有480个。 这些数列的个

16、数都属于较少个数数列。、我们把能够组成偶数素数对的素数，叫做哥德巴赫数。哥德巴赫数的形成线路，以 偶数不能被所有奇素因子整除：素因子2删除后的剩余数列只有1+2N;素因子2, 3删除后 的剩余数列只有1+6N或者5+6N 个数列；素因子2, 3, 5删除后的剩余数列只有3个；素 因子2,3,5,7删除后的剩余数列只有15个；素因子2,3,5,7,11删除后的剩余数列 只有135个。这些数列的个数都属于较少个数数列。面的例题,素因子5删除后的剩余数组, 11+89, 17+83,23+77,29+71,41+59,49+51 中的 11, 17, 23, 29, 41, 49 代表的是 4 个数

17、列：11+30N, 17+30N, 23+30N, 29+30N。这 里的 4个数列与上面“素因子2，3，5删除后的剩余数列只有3 个”是没有矛盾的。因为， 上面所说的 3 个是指偶数不能被任何奇素因子整除,这里是偶数能被素因子5 整除,素因子 5只能删除能被5整除的合数数列，产生素数的11+30N,17+30N, 23+30N, 29+30N这4个 数列的数没有一个与偶数除以素因子 5 同余。顺便说一句：因为,这 4 个数列是偶数 100 素因子2, 3, 5删除后的剩余数列，又因2*3*5=30。故，100+30N的偶数都适应于这4个产 生素数的数列,反过来说,这4个数列中的数,都不可能被

18、素因子2,3,5 整除,除以这些 素因子的余数也不与100+30N的偶数除与这些素因子的余数同余。书归正传，素因子7对这4个数列的删除，从数列看，第个数列在M/2内只有1到2 项，对于29+30N的数列属于删除第一项，对于对称数77来说，因为它是对称数，所以，我 们应该从50到1反向看，它属于删除17+30N的第2项，都属于小于7/2的项，故对于这两 个数列的删除大于计算数，但对于其他两个数列11+30N, 23+30在这里没有删除。我们再从 总体上来看，这里的 6个数对，素因子7 对于23+77的删除属于第2 个数对，小于7/2个数 对，故它的删除略大于计算数。以上两种情况，也就是说实际剩余

19、数有可能小于计算数。 2、实际删除小于计算结果的因素有两个：、当偶数不能被素因子N整除时，素因子N和对称数是不可能被素因子N删除的， 该奇数对的素因子N是素数，素因子N的对称数M-N是不能被素因子N整除(删除)的,而 计算式是被素因子N删除了的；又因为，该奇数对中的素因子N是素数，对于其它素因子的 删除根本用不着考虑对素因子N的删除率，只须考虑对素因子N的对称数M-N的删除率，令 其它素因子为N1，其它素因子N1的删除概率只占1/N1，而计算仍然是2/N1。造成了实际 删除小于计算结果；换一句话说，按该计算公式进行计算，当偶数不能被素因子N整除时， 素因子N是被素因子N自己给删除了的，在这种情

20、况下，某些不能整除偶数的素因子是可以 组成偶数的素数对的，造成了实际删除小于计算结果。当偶数较大时，有一个以上素因子能 组成偶数的素数对，就完全掩盖了上面1 中的(1)的现象。、在这种连乘积的计算中，严格地说：素因子2 删除了所有含素因子2 的数组成的 数对后，素因子3 才进行删除；素因子3 又删除了所有含素因子3 的数组成的数对后，素因 子5 才进行删除；素因子5 又删除了所有含素因子5 的数组成的数对后，素因子7 才进行删 除；素因子7又删除了所有含素因子7的数组成的数对后，素因子11才进行删除；，依 此类推。即，素因子2 删除后的剩余数对中，不含素因子2 的合数；素因子2，3 删除后的

21、剩余数对中，不含素因子2，3 的合数；素因子2，3，5 删除后的剩余数对中，不含素因子 2，3，5 的合数；素因子2，3，5，7 删除后的剩余数对中，不含素因子2，3，5，7 的合数； 素因子2, 3, 5, 7, 11删除后的剩余数对中，不含素因子2, 3, 5, 7, 11的合数；，依 此类推。我们令偶数为M,组成偶数数对的任意数为X, X的对称数为M-X,即X+ (M-X)=M%数 对，不论X,还是M-X,被任意素因子N删除的条件都是：能被素因子N整除的合数。反过 来说，能被素因子N整除的合数，才是含素因子N的数，必须是素因子N与其它数的乘积。当素因子2删除后，素因子3删除时，X和M-X

22、被素因子3删除的条件都是：X和M-X 为素因子3乘以二3的素数(或二3的素数组成的合数)的乘积；当素因子2, 3删除后，素因子5删除时，X和M-X被素因子5删除的条件都是：X和 M-X为素因子5乘以二5的素数(或二5的素数组成的合数)的乘积；当素因子2, 3, 5删除后，素因子7删除时，X和M-X被素因子7删除的条件都是：X 和M-X为素因子7乘以7的素数(或二7的素数组成的合数)的乘积；当素因子2, 3, 5, 7删除后，素因子7删除时，X和M-X被素因子11删除的条件都是： X和M-X为素因子11乘以All的素数(或11的素数组成的合数)的乘积。也就是说，素 因子11对于前面素因子删除后的

23、剩余数对的删除，对于数对中小于11*11=121的数，没有 直接删除效力，只对这些数的对称数有删除效力，即对于这些数组成的数对的实际删除率只 占1/N,但计算式仍然是按2/N的删除进行计算的。由于偶数的不断扩大，素因子N也不断 扩大，后面的素因子N对于没有删除效力的数不断增加，没有删除效力的数甚至是素因子 N的值的若干倍，但是，我们的计算式仍然只能按删除2/N，剩余(N-2) /N进行计算，造 成了偶数的实际素数对大于计算式的计算结果。当偶数略大时，这种现象完全掩盖了上面1 (2)中的现象。所以说，对于略大的偶数，偶数的实际素数对都大于该计算公式的计算结 果。四、如何直观地看哥德巴赫猜想的成立

24、 为了使大家直观地看哥德巴赫猜想是否成立，我们对上面的计算公式进行一下转换。偶数的素数对a(M/2) * (1/2) * (1/3) * (3/5) * (5/7) * (9/11) * (11/13) * (15/17) * (N-2) /N。(1)式当我们把式中的(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19) * (N-2) /N 换成 1/N 时，因 1/N= (1/3) * (3/5) * (5/7) * (7/9) * (9/11) * (11/13) * (13/15) * (15/17) * (17/19) * (N-2) /N。

25、即增加了奇合数的删除，如果要恢复Q) 式的本来面目，必须乘以奇合数删除剩余率的倒数积。我们令奇合数删除剩余率的倒数积为 K，样=(9/7) * (15/13) (21/19) (25/23) (27/25) (33/31) *R/ (R-2)，R 为丿M 内 的最大奇合数。由此有偶数略大时，偶数的素数对K (M/4) * (1/N)。因MN，我们把UN代入 时，该式的值略变小。有偶数的素数对aK (丿M) /4。又因为，个别偶数还能被部分素因子整除，令偶数能被素因子A，B，C整除，因 前面我们是按偶数不能被所有素因子整除列的计算式，而偶数能被素因子A，B，C整 除时，我们就要进行纠正，恢复偶数

26、素数对的本来面目，即在上面的结果中乘以(A-1) / (A-2) * (B-1) / (B-2) * (C-1) / (C-2)。令(A-1) / (A-2) * (B-1) / (B-2) *(C-1)/(C-2)=E。由此有，偶数略大时，偶数的素数对aEK (M) /4。当M-1是素数时，即自然数1不 能被任何素因子整除(删除)，1+该素数的组合实际不是素数对，故必须在计算结果中减去 这一对，该式为EK (JM) /4-1。为(2)式。从(2)式可以清楚地看到：式中的E和K都大于1，M又随偶数的增长而相应增长， 表明偶数的素数对随着偶数的增大而增加，也就是说不单是大于6 的偶数都能表示为1

27、+1 的素数对，而且偶数的素数对还随着偶数的增大而增加。说明哥德巴赫猜想永远成立！四、再一次绞正偶数的素数对计算公式上面，我们得出了偶数的素数对公式UEK (丿M) /4,为了更加完美和准确，我们对该 公式进行进一步的绞正。前面，我们已经分析了该计算公式，存在的一个最大的问题是：所有素因子都把素因 子自己的组合给删除，而部分素因子是能够组成偶数的素数对的。前面，我们还分析了，由素因子组成的数对，由于素因子本身就是素数，其它素因子 的删除，只须要考虑对素因子的对称数的删除，即对称数的删除率；无须考虑对素因子的删 除率，故删除率只占1/ (N-1)，剩余率占(N-2) / (N-1)。这是为什么呢

28、？因为，对于任何素因子N来说，自然数除以素因子N的余数都分别余0，1，2, 3, 4, 5, 6, 7,，N-1。共N种余数，这N种余数基本上平分了整个自然数，含素因子N的合数 为1/N,删除含素因子N的合数后，剩余自然数的N-1/N,这N-1的自然数中分别余1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, N-1的数又是平均的，即，我们如果所取的范围为大于或等于N*N时， 在该范围内的素数分别除以素因子N的余数分别为余1, 2, 3,4, 5, 6, 7,N-1，它 们是相当均匀的，不信的话，任何人都可以进行验证。对于素因子是否能够组成偶数的素数对,我们分两个方面看其它素因子的删除率：当偶数能够被素

29、因子N整除时，素因子N的对称数必然能被素因子N整除，如果，偶 数/Nf2,那么，素因子N的对称数必然是含素因子N的合数，素因子N是不能组成偶数的 素数对的；素因子N对其它素因子的对称数的删除，因为，偶数除以素因子N能整除，余数 为0,其它素因子除以素因子都不能整除，故余数不为0,其它素因子除以素因子N的余数 都不与偶数除以素因子N的余数相同，即,其它素因子的对称数都不能被素因子N整除(删 除)，故，素因子N对于其它素因子组成的奇数对不具有删除效力。当偶数不能被素因子N整除时，素因子N的对称数是不能被素因子N整除(删除的)， 即素因子N所组成的奇数对仍然不能被素因子N删除;素因子N对其它素因子组

30、成的奇数对 的删除，一方面其它素因子除以素因子N都不能整除，另一方面其它素因子除以素因子N 的余数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, N-1，即N-1种余数，各种余数的几率几乎是均 匀的，因为，偶数不能被素因子N整除，那么，偶数除以素因子N的余数必然不为0,而任 何一个固定的偶数除以素因子N的余数只能占1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,，N-1这N-1个余 数中的一种，即其它素因子除以素因子N的余数与偶数除以素因子N的余数相同的，只占 1/ (N-1),剩余率为(N-1) -1/ (N-1) = (N-2) / (N-1)。举例说明：例一、偶数500。丿50022，素因子有2

31、, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19共8个，在这里， 有一点不能忽视的问题，就是在这之内还有一个不能被所有素因子整除的自然数1，必须参 与计算，共计为10个数。因500能被素因子2和5整除，而500主2*2,500主5*2，说明素因子2和5不能组成偶数的素数对；剩余7个素因子计算删除剩余率,这8个数组成的奇 数中,能够组成偶数素数对为：7*(1/2)*(5/6)*(9/10)*(11/12)*(15/16)*(17/18) 怎2.13，取整数为2对，有1+499和13+487，去掉1+499,有13+487是素数对。例二、偶数 1000,100031，素因子有2, 3, 5, 7

32、, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 有11个，加自然数1为12个，因1000能被素因子2和5整除，而1000主2*2, 1000主5*2, 说明素因子2和5不能组成偶数的素数对；去掉这2个数,去掉这2个数的删除率,这10 个数组成的奇数中,能够组成偶数素数对为：10* (1/2) * (5/6) * (9/10) * (11/12) * (15/16) * (17/18) * (21/22) * (27/28) * (29/30) %2.71,按 4 舍 5 入为 3 对，有 3+997, 17+983, 23+977, 29+971,为4个素数对。说明计算是无情的,计

33、算与实际是有出入的, 所以,这里只能使用约等于表示。说明：1、这里使用的是不能被素因子整除的个数参与计算,用个数乘以剩余率,前面是用偶 数直接乘以剩余率,有矛盾吗？没有！其实,偶数也是指的个数。2、这里的计算与我在其它论坛发表的：“当偶数大于37*37时,偶数大于1369时,在 小于JM之内，必然不低于1个数，既不能被素数删除因子整除，也不与偶数除以素数删除 因子的余数相同的数存在,这里并没有排除自然数1,如果这个数不是自然数1,那么,这 个数必然组成偶数的素数对。当偶数大于16129时，在小于JM之内，必然不少于2个数， 既不能被素数删除因子整除,也不与偶数除以素数删除因子的余数相同,就打算

34、有1个数是 自然数1,也必然还有一个奇素数删除因子能够组成偶数对素数对”有矛盾吗。没有！因 为,这里计算的偶数是能被奇素因子5整除的偶数,与不能被所有素因子整除的偶数来说, 减少了1/4的删除率,所以,结果不一样。如果说,偶数能被素因子3整除,减少1/2的删 除率,结果又会不一样。由此可见，偶数的素数对计算公式又从EK (丿M) /4变成了： EK (JM) /4+素因子组 成偶数素数对的个数。说明： 1、这一计算式，当偶数较大时，仍然低于偶数的实际素数对，原因是：仍然没有完全 解决上面三中2 (2)的计算剩余率(N-2) /N与(N-2) / (NT)的关系问题。2、既然，偶数的实际素数对大于计算结果是有原因的，那么，大偶数就不存在实际素 数对小于计算数的问题，更不存在大偶数的素数对没有的问题。因为，什么东西都讲究因果 关系，只有有原因，才有结果，没有原因、理由的推断结果，是站不住脚的。其实，人们要检验我本文的推断很简单，只须要检验：当偶数16129时，在偶数的平 方根之内，是否有能够组成