数字图像处理第3章-1zy课件

1、 3.1 图像的几何变换 3.2 图像的离散傅立叶变换 3.3 图像变换的一般表示形式 3.4 图像的离散余弦变换 3.5 图像的小波变换第3章 图像变换 图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。图像信息的频域处理具有如下特点 : (1) 能量守恒，但能量重新分配； (2) 有利于提取图像的某些特征； (3) 正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码； (4) 频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。 本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍离散傅立叶变换、离散余弦变换、小波变换等 。

2、 概 述图像的几何变换包括: 图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像几何变换的实质: 改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。3.1 图像的几何变换图像几何变换的一般表达式 : 其中， 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。 如果 ， ，则有 ， 即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。3.1 图像的几何变换平移变换 : 若图像像素点 平移到 ，则变换函数为 ，写成矩阵表达式为： 其中， 和 分别为 和 的坐标平移量。 3.1 图像的几何变换3.1 图像的几何变换比例缩放 :若图像坐标 缩放到（ )倍

3、，则变换函数为： 其中, 分别为 和 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。3.1 图像的几何变换旋转变换 : 将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 角度，则变换后图像坐标为：图像旋转变换的示例 :(a) 原始图像 (b) 逆时针旋转30度后的图像3.1 图像的几何变换仿射变换 :仿射变换的一般表达式为: 平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。仿射变换具有如下性质：（1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后 互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保 证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。（2）仿射变换的乘积

4、和逆变换仍是仿射变换。（3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。3.1 图像的几何变换上式可以表示成如下的线性表达式 : 设定加权因子 和 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定 ， ， ，该情况是图像剪切的一种列剪切。 （a）原始图像 （b）仿射变换后图像 3.1 图像的几何变换透视变换 : 把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为: 透视变换也是一种平面映射 ，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线。 透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。3.1 图像的几何变换灰度插值 :(1)

5、最近邻插值法：也称作零阶插值，就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。 最近邻插值是最简单的插值，在这种算法中，每一个插值输出像素的值就是在输入图像中与其最临近的采样点的值。这种插值方法的运算量非常小。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。(2)双线性插值: 也称作一阶插值,该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。双线性插值的输出像素值是它在输入图像中22邻域采样点的平均值，它根据某像素周围4个像素的灰度值在水平和垂直两个方向上对其进行插值。双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生

6、退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。3.1 图像的几何变换灰度插值 :(3)双立方插值:使用三次插值函数，选择44的邻域采样点，取得的效果比较好，但相应的计算量较大。 MATLAB图像处理工具箱提供了三种插值方法： 最近邻插值（Nearest neighbor interpolation） 双线性插值（Bilinear interpolation） 双立方插值（Bicubic interpolation）利用imresize函数通过一种特定的插值方法可实现图像大小的调整。该函数的语法如下： B=imresize(A,m,method) B=imresize(A,mrows ncols,me

7、thod) B=imresize(,method,n) B=imresize(,method,h) 这里参数method用于指定插值的方法，可选的值为nearest 、bilinear、 bicubic 。缺省时为bicubic。 下面是使用不同的插值方法对图像进行放大的程序清单： load woman2 imshow(X,map); X1=imresize(X,4,nearest); figure,imshow(X1,); X2=imresize(X,4,bilinear); figure,imshow(X2,); X3=imresize(X,4,bicubic); figure,imsho

8、w(X3,);3.2 图像的离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换（1D-DFT） :1D-DFT的定义 ：对于有限长序列 ,其DFT定义为： ， 1D-DFT的矩阵表示 ：3.2 图像的离散傅立叶变换其中： ， ，其中的 称为变换矩阵。同理可得到反变换的矩阵表示：3.2 图像的离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换（2D-DFT）1、 2D-DFT的定义: 其中， 都是整数， 它们的取值范围: 2、几个相关参数: 傅立叶变换表示为复数形式: 上式也可表示成指数形式： 通常称 为 的频谱或幅度谱， 为相位。 ， 频谱的平方称为功率谱，即:3.2 图像的离散傅立叶变换3、 2D-DFT的性质 :（1）变换核

9、的可分离性 ： 在离散傅立叶变换中， 称为变换核，将 代入2D-DFT定义式的正变换中，得 该性质说明2D-DFT可通过两次1D-DFT完成，即按如下两种方法来实现2D-DFT ：或3.2 图像的离散傅立叶变换（2）移位特性：若 ，则：a.空间移位:b.频域移位:c.移位时幅度不变: ，d.频谱中心化:令 ，则即使 的频谱从原点 移到中心 。 （a）原图像 （b）|F(u, v)|的示意图 （c）|F(u-N/2, v-N/2)|的示意图3.2 图像的离散傅立叶变换（3）周期性和共轭对称性：a.周期性 : 其中 和 为整数 。b.共轭对称性: 图像 为实函数，则 具有共轭对称性，即:（4）旋转

10、不变性:若用极坐标 ,则 以及其傅立叶变换 就可以转化为 和 ， 这样 ， 则 3.2 图像的离散傅立叶变换 从上式可见，空域中函数 旋转 角度，它的傅立叶变换 也旋转同样大小的角度，反之亦然。 （a）原始图像 （b）频谱 （c）图像旋转45o （d）图c的频谱（5）实偶函数的DFT: 若 , 则，仅有余弦项的实部。3.2 图像的离散傅立叶变换 （6）实奇函数的DFT: 若 , 则 ，仅有正弦项的虚部。（7）线性性: 若 和 是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即（8）比例性（尺度变换）:若 和 是标量， ，则 3.2 图像的离散傅立叶变换（9）平均值: 数字图像的平均值可以定义为: 将 代

11、入 公式，有: 故 。 （10）卷积定理: 3.2 图像的离散傅立叶变换其中： 3.2 图像的离散傅立叶变换 2D-DFT的计算 根据傅立叶变换核的可分离性，2D-DFT可用两步1D-DFT来实现，而1D-DFT有快速算法FFT，这也就说明2D-DFT就可用FFT来完成，即 5. 二维傅立叶变换的MATLAB实现 下面，举例来说明傅立叶变换的实现语句Bfft2(A)，该语句执行对矩阵A的二维傅立叶变换。给出一幅图像（saturn2.tif），其傅立叶变换程序如下： figure(1); load imdemos saturn2; %装入原始图像 imshow(saturn2); %显示图像 f

12、igure(2); B=fftshift(fft2(saturn2); %进行傅立叶变换 imshow(log(abs(B),); %显示变换后的系数分布 colormap(jet(64); colorbar; 傅立叶变换能够用来分析两幅图像的相关性，相关性可以用来确定一幅图像的特征，在这个意义下，相关性通常被称为模板匹配。例如，假如我们希望在图像text.tif中定位字母“a”，可以采用下面的方法定位。 将包含字母“a”的图像与text.tif图像进行相关运算，也就是首先将字母a和图像text.tif进行傅立叶变换，然后利用快速卷积的方法，计算字母a和图像text.tif的卷积，提取卷积运算

13、的峰值，如图所示的白色亮点，即得到在图像text.tif中对字母“a”定位的结果。6. 快速傅立叶变换的应用图像特征识别 I=imread(text.tif); %读入图像text.tif I=im2double(I); a=I(77:89,111:122); %从图像中抽取字母a的图像 imshow(I); figure,imshow(a); C=real(ifft2(fft2(I).*fft2(rot90(a,2),314,330); figure,imshow(C,); thresh=58; %选择阈值 figure,imshow(Cthresh);%显示像素值超过阈值的像素3.3 图像

14、变换的一般表示形式 前面介绍的2D-DFT只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。 1. 图像变换的一般表达式 其中 和 分别称为正、反变换核。 2. 正交变换 将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为其中的 称为变换矩阵 。3.3 图像变换的一般表示形式正交变换矩阵及其主要性质 a.定义:定义1若 阶实数矩阵 满足 ,则 称为正交矩阵；定义2若 阶复数矩阵 满足 ,则 称为酉矩阵。 其中， 表示 的转置， 表示 的共轭， 表示单位矩阵。b.几个性质:性质1 若 为正交矩阵，则 若 为酉矩阵，则性质2（正交归一）若 为正交（或酉）

15、矩阵，则在 中各行（或列）向量的模为1，任意不同行（或不同列）向量之间正交。3.3 图像变换的一般表示形式性质3 若 是正交（或酉）矩阵，则其行列式的模 。性质4 若 是正交（或酉）矩阵，则 和 也是正交（或酉）矩阵。性质5 若 和 是正交（或酉）矩阵，则 也是正交（或酉）矩阵。(2) 正交变换: 变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换。如前面介绍的2D-DFT就是正交变换。(3) 二维正交变换下的能量守恒: 即3.3 图像变换的一般表示形式可分离变换（1） 可分离变换核: 若 ，则称正变换核是可分离的。 若 ，则称反变换核是可分离的。（2） 可分离变换: 变换核可分离的变换称为可分离变

16、换。二维可分离变换可由两步一维变换来完成，即 或3.3 图像变换的一般表示形式可分离正交变换其中 是数字图像矩阵， 是经正变换后得到的变换域的结果： 和 是正变换核 分离后所得的变换矩阵：如果 和 都有逆矩阵存在，则可得到反变换为:3.3 图像变换的一般表示形式 变换核可分离的正交变换，称为可分离正交变换。分离后的变换矩阵 和 都是正交矩阵（或酉矩阵）。 根据正交变换矩阵的性质,得到可分离正交变换的反变换为: , 和 为酉矩阵。 或 ， 和 为正交矩阵。 因此，可分离正交变换的矩阵表示式为上节介绍的2D-DFT就是可分离的正交变换，其变换核也是对称的。3.4 图像的离散余弦变换 在傅立叶级数展

17、开式中，如果函数对称于原点，则其级数中将只有余弦函数项。从这一现象受到启示，人们提出了另一种图像变换方法离散余弦变换（DCT）。由于离散余弦变换具有把图像的重要可视信息都集中在变换的一小部分系数中，所以DCT变换在图像的压缩中非常有用，是JPEG ( Joint Photographic Expert Group)算法的基础。3.4 图像的离散余弦变换 二维离散余弦变换（2D-DCT）公式将构造的偶函数代入2D-DFT公式，进行整理后就得到2D-DCT公式：2D-DCT的反变换定义为：式中： ， 2D-DCT的矩阵表示二维变换核函数a(m,n;u,v)：则二维DCT变换公式可表示为：物理意义二

18、维变换核函数a(m，n；u，v)按m，n，u，v分别展开后得到的是NN个NN点的像块组，又称为基图像。一个88的DCT基图像示意如图所示。图 88的DCT基图像示意图 源图像88样本数据块实质上是64点离散信号（空间范围m和n的函数）, FDCT将其变换成64个正交基信号, FDCT的输出是64个DCT系数（即基信号振幅）。 在u、v两个方向频率都为零的系数F(0,0)对应于图像f(m,n)的平均亮度，叫直流系数（DC）, 其余63个系数是交流系数（AC）。 由于图像帧上点与点之间的样本值变化比较缓慢, 大多数信号集中在低频区，即图中的左上角区域。 一个NN的像素块的二维DCT变换的物理意义是

19、将空间像素的几何分布变换为空间频率分布。变换系数F(u,v)的空间频率分布特点： 变换系数矩阵中左上角F（0，0）处为直流系数（DC），其余为交流系数（AC）。 水平方向，从左向右表示水平空间频率增加的方向； 垂直方向，从上向下表示垂直空间频率增加的方向。变换系数的能量分布特点： 绝大部分的能量集中在直流分量和少数的低频分量上(即左上角低频区)，大致可认为，以左上角为圆心，在相同半径的圆弧上的系数其能量基本相等，离圆心越远，能量越小。高频区大部分DCT变换系数很小或近似为零。 离散余弦变换的MATLAB实现 下面举例来说明二维余弦正反变换在MATLAB中的实现。 RGB=imread(autumn.tif); %装入图像 figure(1),imshow(RGB); I=rgb2gray(RGB); %将真彩图像转化为灰度图像 figure(2),imshow(I); %画出图像 J=dct2(I); %进行余弦变换 figure(3),imshow(log(abs(J),); colormap(jet(64),Colorbar; J(abs(J)10)=0; %将DCT变换值小于10的元素设为0 K=idct2(J)/255; %进行余弦反变换 figure(4),imshow(K); 离散余弦变换的应用 在JPEG图像压缩算法中，