2020年秋季学期结构力学作业题目及答案

1、 PAGE PAGE 42 / 42实用精品文档2020 年秋季学期结构力学作业题目及答案整理第二章2-1解：果。不同点：变问题考察的是柱形体或水坝形体，与平面垂直方向的应变可以忽略。xxoy x、=y=存在。同yx时，因为板很薄，这三个应力分量，以及分析问题时需考虑的应变分量和位移分量， x y z 问题只考虑平行于xoy 平面的三个应变分量： ，和。需要注意的是：由于z 方xyxy向的伸缩被阻止，所以 z 一般并不等于零。具有不同的物理方程： E )1x2yE )y12Ex xy2(1)xy平面应变问题的物理方程：x12 E1 )y12 yEy 1x 2(1 )xyExy可以看出，只需将平

2、面应力问题的物理方程中的E 换为以得到平面应变问题的物理方程。2-2E，1 2换 为 1 ，就可要使下列应变分量成为一种可能的应变状态，试确定常数 A A B B C C 之间的关0101012系。A x0 B y A (x2 y2 ) (x4 y4)1B(x2 y2)(x4 y4)1C1 4, A B1 2C2CxC xy(x2 y2 C )122xy2x2yy2x22C xyx2 C xyy2 C Cxyxy 1121 3C x2 3C y2 C C11212x A (x2 y2 ) (x4 y4 )A01A 2A 12y2y2y212y B (x2 y2 ) (x4 y4B01B 2B

3、12 x2x2x213C x 2 3C1y 2 C C21 2 A1 12 y2 2B1 12 x2x2 12x21 C 4y2 12y2112C A BC C 2A212B12112-5下图所示简支梁。上边界受均布荷载q 作用。按材料力学方法算得。 qx2J(l2 x2 ) y Ay Bx2 y12qh2y2()xCxByxyh382试问其是否满足平衡微分方程及应力边界条件，并求。y解：qqq(l2 x2)yl2yx2yx2J2J2J12q(h2 y2 )x 12q h212q y2xxxyh3828h32平衡微分方程x x X 0 xy Y 0yxx x X 0y Y 0q12qxyxy

4、0Jh3J h31212q h2y 12q y2 0y8h3212q h2y 12q y2y8h3212q h2 12q y2yy8h32 12qh212q y3yC 2qy3yCyh38h362hh3 12q12q y3yC 2qy3yCy862hh3y y h2 3q q C q44C q2 q 2qy3yq (34y3y1)y22hh32hh32-7试求题下图所示线弹性梁的弯曲应变能。表示为杆端力偶,MAB的函数；表示为杆端转角,ABBA的函数。解：答案分别为：纯弯梁的应变能和余应变能Ld2LUEJ(dx0dx2B 点平衡方程M MxM)BAlBAABMBAx2)l(MM)lBAABU

5、L 0EJdxxx22M2 MM(MM)22 l1BAABBA1BAABLldxl2dxBA2EJ2 0EJ0EJ112 MBA2 MABBA1 (MM)2lBABAABEJ2EJ6EJ3M23M 3M2(MM)2 BAABBABAABl6EJ6EJ6EJ 3M2 3MBA2 MBA2 6EJMABMABMAB2 l M2 MABMAB2 l6EJ（2）2 w(x) M (x)x2EJw(x) M (x) x2x3M)CxDEJx2BAABw(x) x2x3M)Cx D D 0 x0BA 26lBAx0w(x) l2l2M) Cl0 xlBA 26BAxlC 2MlMlBAAB6w(x) MB

6、Ax2x3(M26lM)AB2MlMlxBAABx6 (x) w(x)x(x)x0 AB(xxlBA(x)x0 MxBAx2(MM)AB2Ml 2Ml MBA6lAB AB2MBAl M ABl 6AB(x)xl MxBAx2(MM)AB 2M2Ml M6lBAABxl6MBAl 3M ABl 3MBAl 2MBAl M ABl 6BA6Ml2Ml3Ml3MlMBABABAABABMl2MlBAAB66BA2Ml l 6MMBAABABl2Ml ABBA4Ml2Ml BAABABMll 6ABBAAB lBA l l 6ABBAM 4AB 2BABAlMBAABAB Ml2 M2 U ABAB

7、l6EJ 4 2BA2 AB 2BA4BA 2AB 4BA2 AB6EJ 42 8BA2 16BA2 16AB2 2 4AB6EJ2 BABABAAB 2 12AB62 BAAB 2 EJ2 2ABBAABEJ2-10试用最小势能原理计算如图所示刚架，作M 图。解：1l 2w 21 2w 2l EJ1 dx EJ2 dx Fw20 x21210 x 22p1,xl关于变分和求导的计算，有 dy dxd ( y) ，即变分符号和求导符号可以变换位置。dx结合分部积分则有： 1l 2w2 2w2wlEJ dx EJ20 x2 0 x2 x2 2ww 2 w w EJEJdxx2 x 0 x x2

8、x EJ2w w l 2 wEJ EJlw2wEJ EJwdxx2 x 0 x x2 0 x2 x2 EJ2 w w 2ww 2 ww 2wwl 2wwdxx2 x x2 x x x2x x2 0 x2 x2 xlx0 xlx0由此可得： 2 w 2 w 2 ww 2 wwl 2w dx11 11 1 1 1 x 2 x x 2xx x 2 1x x2 10 x 2 x2 1111x 11x 11x 11x 01111112 w 2 w 2w2wl 2 w dx22 22 2 2 2 x2F w2x2x l2x 2x2x 02xx 2222x l2xx 2222x 020 x 22x 2222

9、p1 x l1根据边界条件：wwx11wx22x 0wwx22 x l22x 02w02 x 02带入可得： 2 w (EJ22) w (F 2 ww 2 ww11 211 1 1 x 2 xx 2x2xpx x 2 1x x2 111x l211x 11x 11x 011112wl 2w l 2 w dx2 1 2 xx 2222x l2x 21x2111x 2x 22222 0则有：EJ2w12w1x21 M =0 x l1(2)(EJ2 w22 w1 )0 x 2x21即 M=Mx 01力矩连续1 x 01x l2 2 w (3)FpEJ 1 0 x2 x即 F =p1Mx11Mx111

10、x l1 2 w (4)EJ1 0 xx11x 01即 F 1 x 010此处剪力为0 2 w (5)EJ2 0 xx 222x l2即 F 2 x l20此处剪力为0 2 w (6)1 0 x 21x 21 2 w (7)x 22 x 2222 0最后得到：M F(l x )1Mconst2M=M F l11 x 01M F p2 x lp22-11试用最小势能原理求下图所示刚架B 点的水平位移。解：wAx3Bx2CxDwAx3Bx2CxDwx00w0 xx 0w0 xx lwux lwxx l3 Al 23Al22Bl 03wAx3 x l3u2Al3u2Al3wx3lx2wU L EJ(

11、ul 1u x)2dxF u0l3l3pU EJL (ul)2 ()2 x22(l)xdxF u0l3l3l3l3p 1 U EJ(l)2l()2 l3(l)l 2 F ul33l3l3l3p111 U EJ36u248u272u2 FuU 12u2l3l3EJ F l3pl3 pU 12u2EJ F l3pU (24uEJ Fl3)uF l3u p24EJ第三章3-1OCXMaaABY写出图示矩形薄板的边界条件，OA 变为简支边，并作用有分布的弯矩OCXMaaABY解：对于 BC 边有：xa0,0 xxa对于 OC 边有：y0 0,y2 0y0对于 OA 边有：x0 0,x x0 D(2 x

12、22)y2x0 Mx0 0,2x2 Mx0D对于 AB 边有：M0,M0,Q0ybxyybxyyb3-3 Axy(x ay b载荷（A 位移之常数。解：由 x00、xa0、y0 0 、 0yby0Ayyb)(a0 Ax(xa)(b0、xaxx Ayy b)(a 0 、 Ax(x a)(b) 0可知结构为简支边界条件边界载荷为MD2 2 2DAy(y b)x x0 x2y2x0MD2 2 2DAy(y b)xa x2y2xaM D 22 2DAx(x a)y0 y2x2y 0M D 22 2DAx(x a)y y b y2x2y b板上有均布载荷444P D x42x2 y2y4 8DA3-5四

13、边简支矩形薄板，边长为a 和b，受横向分布载荷q q sin x sin y ，试证：挠度函数0ab m sin x sin y 是该板的解，并求挠度、弯矩及反力。ab证明：由x0msinsin y0ab0 0，xamsina sin y 0bmsinxsin0 0，msinxsinb 0y0abyaab22xyx yMy x0 D D m( )2 sinsin m( )2 sinsin22xx0aabbabx0 11x y D()2 ()2 2 msinsin0 abab x022xyx yMy xa D x2 Dm()2 y2asinam()2 bsinabxaxa 11x y D()2

14、()2 2msinsin0 abab xa22sinxsiny m 22sinx y22Mx y 0 D x2 D m(y2(sinb1111x yy 0 D()2 ()2 2 msinsin0abab y 022sinxsiny m 22sinx y22Mx y b D x2 D m(y2(sinb1111x yy b D()2 ()2 2 msinsin0abab y b故挠度函数满足简支边界条件又因为4 2x44x2y24qy4D所以q D 4m 2 4m 4m sin x sin y a4a2b2b4ab所以 4m4m4mqDqm0 a4a2b2qb40 x D a4 2 4a2b2

15、4 b4 0sinsin 4D a4 2 4a2b24 abb4 11q ( )2 ( )2 11xy0 bxyM D()2 ()2 2 msinsinsinsiny abab 2 22 2 ab a4a2b2b4 11q ()2 ()2 11xy0 abxy D()2 ()2 2 msinsinsinsinx abab 2 2 22 ab a4a2b2b4 3-8如图所示的矩形薄板，四边固支，受横向均匀载荷q 8 种试探位移函0数：1、Cmnmn(1 cos (2m 1) x )(1 cos (2m 1) y )ab2、 C(1cosx)(1cosy)11ab3、(1 cos x )(1 c

16、os y )mnabmn4、 Cmnmnsin m x sin n yab5、 C1(x a)2 ( y b)26、 C1(x2 a2 )2 ( y2 b2 )27、(1 cos x )(1 cos y )mnabmn8、 C1(x2 a2 )( y2 b2 )xy试问哪些位移函数可用于里兹法？哪些可用于伽辽金法？哪些函数这两种方法都适用？只有位移边界条件：x a0y a 0yx ay a（1）解：(1 cos (2m 1) x )(1 cos (2m 1) y ) xamnabx a(1 cos (2m 1) )(1 cos (2m 1) y ) 0mn1bmn(1 cos (2m x co

17、s (2m y )yamnaby a(1 cos (2m x )(1 cos (2m ) 0mna1mn(2m sin(2mx)(1cos(2ny)0 x xa mmnaabx a(1cos(2mx)(2n sin(2ny)0yamnabby a两种方法都适用。解：C(1cosx)(1cosy)0 x aabx aC(1cosx)(1cosy)0y baby bC sinx(1cosy)0 xa11 aaxxx aC(1 cosxy0yb)x11bx11by b两种方法都适用。解：C(1cosx)(1cosy)0 xamnabmn两种方法都不适用。解：xyCmnmmCmnmnsin x sin

18、 y 0absin x sin y 0ab m cos m x sin n y 0 xxammnaab n sin m x cos n y 0yybmmnbab两种方法都不适用。解：x a C (x a)2 ( y b)2 01两种方法都不适用。解：x a C (x2 a2 )2 ( y2 b2 )2 01y b C (x2 a2 )2 ( y2 b2 )2 01xxx axxy C 2x(x2 a2 )( y2 b2 )2 01C (x2 a2)22y(y2 b2)01两种方法都适用。解：xyCmnmmCmnmn(1 cos x )(1 cos y ) 0ab(1 cos x )(1 cos

19、 y ) 0abC sinx(1cosy)0 xxammn aab Cyybmn(1 cosxy)0)abb)两种方法都适用。解：xyC (x2 a2)(y2 b2)xy 01C (x2 a2)(y2 b2)xy 01xy C 2x(y2 b2 )xy C1C 2x(y2 b2)xyC1(x2 a2 )(y2 b2 )y 0 (x2 a2 )(y2 b2 )y 两种方法都不适用。第四章4-1（1）K=0（2）K=4（3）K=0（4）瞬变4-2求下图空间桁架结构各杆内力。7587581P362P24零力杆有：051N 012N 013N 084N 034N42 075758P362P2去掉零力杆

20、后结构形式如图在节点处 268 平面内，在 68 方向上没有外载荷，仅有 28 杆在此方向上有分量，所以：N82 075758P362P2进一步去掉零力杆后结构形式如图（结构传力路线）3 378 平面内受力图：378P 3cos78NP38cos cosN1 P37cossin cos3 357 平面内受力图：375Psin753NPsin353 cos N 2 P sin sin 373cosNsinsin cos sin 373 cos3 cos562 256 562可知：P 2PN225cos2N226P sin cos第五章5-1算下图在 Mx 作用下正应力薄板不受正应力Y6.01Y1

21、523.25X15X155.02.54403解：求形心6.015 3.25 5.015 2.5150y6.03.22.55.00 90167516.7 0.389x 3.2402.54006.03.22.55.0228 13.653YY6.011523.25XX15155.02.54403求惯性矩如图建立坐标轴，以形心为原点I615.3892 3.25.3892 5.014.6112 2.514.6112 3114.97xI6(13.6532 5.0(13.6532 3.226.342 2.26.342 6007.19yI6(13.653)15.3893.226.3475.3895.0(13.

22、653)(14.611)xy2.5 26.347(14.611) 770.05求等效弯矩xyMMIxyxyMxI2Ix1.0327Mx1xyI Ix yMMyxIMII xyIy0.2553My2x1xyI Ix y求正应力 MzIyx Mx y IxMM0.2553xx1.0327xy6007.193114.97 4.250105 xMx 3.315104 M yx4.250105(13.563)M3.315104M (15.389)45.250104Mz1xxx 4.250105 (26.437)M3.315104M (5.389) 29.100104Mz2xxx4.250105(26.4

23、37)M3.315104M (14.611)37.200104Mz1xxx z 4 4.250 105 (13.563)M x 3.315 104 M x (14.611) 54.200 104 M x5-2计算下图在 My 下正应力10.25Y12My25XO0.1254350解：形心位置由于机构的对称性，形心在结构几何中心，即坐标系原点求惯性矩I 250.125252 2y0.25 50312 2 9114.6求正应力 MzIyx Mx y IxMy9114.6x 1.097 104 M xy5-3图示薄壁梁剖面，它的壁板不能承受正应力。四个缘条的面积标注在图上，求剖面的弯心位置。求中心主

24、轴。xoy 有缘条面积的形心在c 点，c 点到圆心距离为：所以，另一中心主轴 x0 轴很容易在图中画出。剖面对中心主轴的惯性矩为：各壁板的静矩为：计算弯心位置，可选o 点为力矩中心，根据扭矩平衡可得：又因为：计算弯心位置，可选o 点为力矩中心，根据扭矩平衡可得：第六章6-1求图示薄壁剖面在通过剖面弯心的剪力 Qy 作用下的剪流分布，并求剖面的弯心位置。设壁板承受正应力，壁板厚度为t。解：22J2B s22tds 2110s2tds 2 0Bs3t 1tB3x0 22B20 2632201S1220Sx0SB tds 2Bst2s2tBStS2t2222qx Q Jx2122 BSt 2 S 2

25、t32 S 2 q 13tB3QQy4B3yqmax32 4B Qy2弯心在 o 处6-2求图示剖面的弯心位置，设壁板不承受正应力，缘条面积为f。解：J2102 f 202 f 1000 fxS12x 20 fS 23 30 fxq Sx QJyx20f1q12 1000 f 50 Qy30f3q12 1000 f Qy 100 QyQ x dqdsy 11 yyQ x 2 50 Qyy10520 5y5在x= - 8 处6-3剖面的壁板不承受正应力，缘条面积为f=2cm2，Q =Q =10000N。xy求惯性矩J 2302 f 302 f 3600 fxJ 2302 f 1800 fy求静矩

26、S12x 30 f，S12 0yS 23 60 fx，S23 30 fy求开剖面剪流Sq SJxSQ y QyJxy30f01q12 Q3600 fy Q1800 fQ120y60f30f11q23 3600 f Qy 1800 f 60 Qy60Qx4 利用力矩平衡求q0Q x dqds dq dsyo0Q x dqds dqds 2 1 Q 3030 1 Q 3060 1 Q 3060dqds 75Qds 10Qy o1206060 x0y0y65Qy dq ds0 65Qy dq065Qds 3030 q013Q 30304q0 900 4 q0qy y04 1804 1q12 Q13Q

27、 -17.818120y180 4 11q23 Q y 232.181860y601804 扭角单位长度上的扭角(也称相对扭角) 为：1q ds pGt只沿闭室周线积分, 为面积的 2 倍。 1 q dspGt4)1804411*60 *6012018046060180a=(10000/900/7.14)*(-13/180/7.14*3.14*30+(1/120-13/180/7.14)*60+(1/60+1/60-13/180/7. 14)*60)=0.5187弯心Sx ds X 1 s dsGtJ sx dsGt 2 倍。sSx dsX 1 sJsxdsGtdsG

28、t1 30f *30*30*2 60 f *60*30 4)30 f *30*2 60 f *607200 120=06-4=10000N。y23231456J2*90Rsin2 Rtd2R2Bt2*R r2tdrx002*90 Rtsin2 d2R2Bt2* Rt3031cosR90 2* R3t d1cosR900 2231sin 2R324 2*R3t2402R2 Bt 2*3 R3 2*4 2R2 Bt2*3 t232R3t 2R2Bt32求静矩S12xS32x RsinRt R2tsind R2t cosd R2tcos000 s Rt1S 2 R2t BRtxS 25 R2t BR

29、t R rtdr R2t BRt 1R2 r2 x21求开剖面剪流q Jx QyxR2t cos 1q12x 2Qy32R3t 2R2Bt32q32xs RtQ1Q2y32R3t 2R2Bt32R2t BRt 1R2 r2 21q25xQ2y32R3t 2R2Bt32利用力矩平衡求q0Q x dqds dq dsy o0R2t cos1s Rt 2Q R2 d B1Rds q R2 00 2y0 2y10 2 3 R3t 2R2 Bt 2 3 R3t 2R2 BtBB12 cos1R Q Rds R Q R2d0 2y10 2yq 0 R3t 2R2Bt3232R2R3t 2R2Bt33Q R

30、2tBR2tcosR2t ys ds 2R2d 2R2d2010 2y0 2y 2 3 R3t 2R2 Bt 2 3 R3t 2R2 Bt 2 3 R3t 2R2 Bt R2Q R2tyBQ R2ty R2 cosd Q R2ty2 s 22 d2s 22 d012020 2 3 R3t 2R2Bt 2 3 R3t 2R2Bt 2 3 R3t 2R2 Bt R2BQ R2t R2 B ys R2 2 cosd2 0110232R3t 2R232 R2yQ R2tB2 R2 y2 2 R2 2Q tB2 2R2 R3t 2R2Bt y 2323 4Rt 12BtB2 2R2R22 4R12BR2

31、 Qy扭角单位长度上的扭角(也称相对扭角) 为：1 q dspGt只沿闭室周线积分, 为面积的 2 倍。 1qpdsGt2 R2t cos 16 B2 2R222 Q2Q Rd0 R3t 2R2Bt2 4 R12BR2y 231 R2t BRtR2 rB2 2R2 2 221QQ dr0R3t 2R2yR12BRy 11 23R2 4)Gt1R2tcosR2t BRt Rd Rd R1R2 r2drdr220 222y02y132 R3t 2R2Bt32 2R3t 2R2Bt33B2 2R2 RB2 2R2 R1R12BR2 22R12BR2 QyR2 4)Gt1 cosR2t222Q Rd2

32、R2t BRt 2R2 r1Q dr0 2 2 3 R3t 2R2 Bt02y1 2 3 R3t 2R2 BtR3tQB2 2R2 B2 2R2 R y2 R3t 2R22 2 R12BR2 22 R12BR2 Qy1 23 R2 4)Gt2 cosR2t22Rd 2R r2Q dr10 21y0 2y1 2 3 R3t 2R2Bt 2 3 R3t 2R2BtR2R2t BRt R22 2 22 2 B2 2R2RB2 2R2 R2RQ yQ 2Q R3t 2R2Bt R3t 2R22 R12BR22 R12BR2y1 23 23R2 4)GtR2tQ Ry22y 2 3 R3t 2R2 R3

33、22Qy3 2 3 R3t 2R2 BtR2R2t BRt R222222B2 2R2RB2 2R2 R2RQ yQ 2Q R3t 2R2Bt R3t 2R22 R12BR22 R12BR2y1 23 23R2 4)GtR2 yyy6RR2tBRt 2 Q RtQ 2RQ 6R2tQ R2 1B2 2R2 yyy Q22 4 R12BR2y132 3R3t2R2BtR2 4)Gt6Rt6BtRRttR2 1B2 2R2 3 2 Rt 1232 4R12BR R2 4)QyGt2 4R2 12BR6BtRRt3 2Rt2Bt2 1B2 2R2 23Q2y3 2 3Rt2Bt2 4 R2 12BRGtR2 4)弯心Sx ds X 1 s dsGtJ sx dsGt 2 倍。s11X s dsSx dsGt 2R3t2R2Bt sds 23GtX f (R, B,t,Q ,G, )y9-1平面桁架系统由四个节点和六个杆单元组成。以序号1 4 作为节点标号，序号（1）至作为单元标号。每个节点具有分别沿x 轴和y 轴方向上的两个节点位移和对应1 8 作为标识。则节点位移和节点力的量可以分别表示为：U