万有引力与天体运动

1、万有引力与天体运动一、开普勒三定律.开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个上.开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的相等.开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟 的二次方的比值都相等.二、万有引力定律.内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的 乘积成，跟它们的距离的二次方成.公式：（其中引力常量G=6.67x10TiN-m2/ kg2）.适用条件：公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大 小时，物体可视为质点，均匀的球体视为质点时，一是两球心间的距离.【对点检测

2、】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，该星 球的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球)1B)1B.弓D. 4倍1A. 4C. 2倍三、天体运动问题的分析.运动学分析：将天体或卫星的运动看成 运动.Mmv 22 2疝 2.动力学分析：（1）万有引力提供，即F向=G-=ma=m = mm2r=m厅jMm,r.在星球表面附近物体所受万有引力近似等于，即差=mg（g为星球表面的重r2力加速度）.考点一 万有引力的计算和应用.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等， 方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两

3、个物体上，其作用效果一般不同.万有引力的一般应用：万有引力的一般应用问题主要涉及万有引力的基本计算、天 体质量和密度的计算等.在这类问题的分析中应注意：（1）万有引力公式F = 6窄中的r应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；（2）万有引力 提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有6陪=ma，且a=2r r21=f=Tj2r; （3）根据万有引力等于重力，得gM=mg, GM=gR2（黄金代换公式），利用黄 金代换公式进行天体质量和天体重力加速度之间的代换.例1 2014.北京卷万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的

4、一致性.（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会 有不同的结果.已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G.将地球视为半径为R、质 量均匀分布的球体，不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0.F若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值F1的表达式，并就h F 0= 1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；F若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2,求比值F2的表达式.F0变式题 假设地球是一半径为R质量分布均匀的球体.一口矿井深度为d .已知质量分 布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部处的重

5、力加速度和地面处的重力加速度大小 之比为（）ddA. 1 RB. 1+ RC.R C.R - d)2 I-R-)D.考点二 天体质量及密度的计算计算天体的质量和密度问题的关键就是明确中心天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫.Mm4n24n2 r3M星（或行星）绕中心天体做匀速圆周运动的向心力.由GMMm=m瑞r，解得M=翳；p=M=M3n r33n=苻而又（R为中心天体的半径，若为近地卫星，则R = r，有p =号）.由上式可知，只要4 - GT 2R3GT 2用实验方法测出卫星（或行星）做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出中心天体的质量M .若知道中心天体的半径，则可得中心天体的密度.

6、例2 2014.新课标全国卷H假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力 加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的 密度为（ ）A 3n A 3n gog.GT2 goB 3n goGT2 g0g3nC GT2D.靛例312013全国卷】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G=6.67x10t1 Nm2/kg2,月球半径约为1.74x103 km,利用以上数据估算月球的质量约为（）A. 8.1x1010 kg B. 7.4x1013 kgC. 5.4x10

7、19 kg D. 7.4x1022 kg技巧点拨对于天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题，首先要掌握基本方法（两个等式：万有引力提供向心力；天体表面物体受到的重力近似等于万有 引力），其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：（1）利用卫星的轨道半径r和周期T,一4n2 r3.M M3n r3可得中心天体的质量为M=部，并据此进一步得到该天体的密度P=M=M-=T3乐（R为GT 2V 4GT 2R33nR 3, , 3n中心天体的半径），尤其注意当r=R时，p=布.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=陪，天体密度p=M=产=. GV 44n GR铲R 3考点

8、三天体表面的力学问题.天体表面及其某一高度处的重力加速度的求法一 .一一 .、. Mm . GM设天体表面重力加速度为g,天体半径为R,忽略天体自转，则有mg = GR，得g=GRMMmGM或GM=gR2.若物体距天体表面高度为h,则重力mg = G（R+h）2，得g=（R+h）2 =.地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、 斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当 地重力加速度取值不同而已.例4 12014.银川一中月考】我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星一500” 的实

9、验活动.假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的1，火星的质量是地球质量 的1.已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R,王跃在地面上能向上竖直跳起的最大 高度为h，忽略自转的影响，引力常量为G，下列说法正确的是（）a.火星的密度为31GR2.火星表面的重力加速度是9 g2.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为3一9王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是2 h变式题 2014.滨海五校联考若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度%水平抛出 一个小球，测出小球的水平射程为L，已知月球半径为R,引力常量为G,则下列说法错误的 是（）A.月球表面的重力加速度g

10、曰=誓月 L2B.月球的质量m日=弊0月 GL 2C.月球的第一宇宙速度v=V、丽D.月球的平均密度产若V乙n jl 23.我国于2013年12月2日发射了“嫦娥三号”探测器.已知月球半径为R0,月球表面处 重力加速度为g0,地球和月球半径的比值R=4,地球和月球表面重力加速度的比值g=6,R 0g 0则地球和月球密度的比值为（）23o B. xC. 4 D. 6人造卫星宇宙速度一、分析人造地球卫星问题的基本思路.运动特征：轨迹为圆周，且轨迹的圆心必与地球的地心.力学特征：提供向心力.基本方程：.【对点检测】、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中、 c的轨道相交于尸，

11、b、d在同一个圆轨道上，b、c的轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的 运行方向及位置如图11-1所示.下列说法中正确的是（）图 11-1A. a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度a、c存在在尸点处相撞的危险二、卫星系统中的超重和失重.在卫星进入轨道前的加速过程中，卫星内的物体处于 状态.在卫星进入圆形轨道正常运转时，卫星内的物体处于 状态.三、三个宇宙速度.第一宇宙速度（环绕速度）：y1=7.9 km/s,是人造地球卫星的，也 是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的.第二宇宙速度（脱离速度）：v 2 = 11.2 km

12、/s ,是卫星挣脱地球引力束缚的.第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3 = 16.7 km/s ,是卫星挣脱太阳引力束缚的【对点检测】关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（）A.第一宇宙速度又叫环绕速度B.第一宇宙速度又叫脱离速度C.第一宇宙速度跟地球的质量无关D.第一宇宙速度跟地球的半径无关考点一人造卫星运行及变轨问题1.环绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较卫星运行参量半径变化相关方程结论线速度V增大Mmv2 _、GMG 八 一 m-+ v 一 r2rrjr卫星轨道半径越大，其线速度越小、动能越小、势能越大、机械能越大、角速度增大Mm、GMG r2 一m2r 一夕山U r3角速度越小

13、、卫星运行参量半径变化相关方程结论周期T增大Mm （2兀）2 -、/ r3G r2 mT） rT-2ZGM周期越大、频率越小、向心加速度越小（同一卫星所受万有引力越小）向心加速度增大Mm、GMG r2 ma 向a 向一一 r22.人造卫星的变轨卫星在轨期间改变运行轨道的过程称为变轨.从动力学角度分析卫星由低轨道变轨到高轨道，需要火箭点火，向着运动的反方向 喷出气体使卫星加速，则卫星做圆周运动所需的向心力增加，但是卫星受到的万有引力不变， 使得此时卫星受到的万有引力不足以提供卫星仍在原轨道做圆周运动的向心力，因此卫星将 会做离心运动，其运行轨道将提升.在轨道半径增大的过程中需要克服地球引力做功，

14、所以 卫星速度将会减小.由于在卫星变轨前后短时间内，卫星（或探测器）到中心天体的距离不变， 所受万有引力（合外力）大小不变，所以变轨前后瞬间卫星虽属不同轨道，但其向心加速度不 变.从能量角度分析人造卫星在变轨（由低轨道升至高轨道）的过程中，重力势能增加值 远大于动能减少值，即在变轨过程中，发动机消耗的能量E主要是为了增加人造卫星的重力 势能.据能量守恒定律，有E+AEk=Ep,也就是说人造卫星调整到高轨道是以动能的损失 和发动机消耗能量为代价来增加其重力势能的.例1 （多选）【2014广东卷】如图11-2所示，飞行器尸绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为,下列说法正确的是（）图 11

15、图 11-2A.轨道半径越大，周期越长B.轨道半径越大，速度越大C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度变式题【2014.山东卷】2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程.某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图11-3所示，将携带“玉兔” 的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接， 然后由飞船送“玉兔”返回地球.设“玉兔”质量为m，月球半径为凡月面的重力加速度为g月以GMmh一月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为E= RGMh），其中G为引力常量， M为

16、月球质量.若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为（）hh图 图 11-3(h+2 R)A.B.(h+2 R)A.B.mg R ( C 月 h +C- R+h h+考向二 几点常见卫星、拉格朗日点1考向二 几点常见卫星、拉格朗日点1.近地卫星近地卫星的轨道半径r近似地等于地球半径凡 其绕行速度是所有卫星的最大绕行速度;运行周期约为T =85 min,是所有卫星的最小周期；向心加速度a=g = 9.8 m/s2,是所有卫星 的最大加速度.极地轨道卫星极地轨道卫星指运行过程中通过两极点上空的卫星，其轨道平面与地球赤道平面垂直， 由于地球自转，这种卫星不能始终和地球某一经线平面重

17、合，从而使得该种卫星可对全球进 行间断性扫描.同步卫星地球同步卫星是指在运动轨道赤道平面内且与地球自转周期相同的卫星，又叫通讯卫星.同步卫星有以下几个特点：周期一定（周期T =24 h）；轨道平面一定（赤道平面）； 轨道高度一定（距离地面h-3.6x104 km）；环绕速度大小一定（速率v3.1 km/s）；向心加速 度大小一定；绕行方向一定（由西向东）.拉格朗日点拉格朗日点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，由法国数 学家拉格朗日1772年推导证明出，共有5个.其中L2点位于日地连线上、地球外侧约150 万公里处，在L2点卫星消耗很少的燃料即可长期驻留，是探测器、天体望

18、远镜定位和观测太 阳系的理想位置，在工程和科学上具有重要的实际应用和科学探索价值，是国际深空探测的 热点.例212014四川卷】石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导 热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010 年诺贝尔物理学奖.用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实 现.科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条 缆绳运行，如图11-4所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换.图 11-4(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质 量

19、为m 1的货物相对地心运动的动能.设地球自转角速度为，地球半径为R.(2)当电梯舱停在距地面高度h2=4R的站点时，求舱内质量m2 = 50 kg的人对水平地板的 压力大小.地面附近重力加速度g取10 m/s2,地球自转角速度= 7.3x10r rad/s，地球半径 R = 6.4x103 km.导思同步空间站及站内货物围绕地球做圆周运动的角速度为多大？当电梯舱停在 距地面高度h2=4R的站点时，舱内人的向心加速度为多少？变式题 【2014天津卷】研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约 为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的

20、相比()星与现在的相比()A .距地面的高度变大C.线速度变大B.向心加速度变大D.角速度变大考点三 天体运动与天文探索 黑洞属于客观存在的天体，只是由于其质量极大、密度极高而对周围物质吸引力极大， 大到连光线都不能脱离其引力而自黑洞发射出来，也谈不到黑洞反射光线，所以不能通过肉 眼或光学仪器观测到.黑洞和其他可视天体可以构成各种形式的星系，科学家也正是据此来 间接观测和研究黑洞的.近几年高考试题中，涉及黑洞问题、双星问题、三星系统等考题主 要有以下几种形式：系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视星构成的双星系统两颗可视星构成的双星系统三星系统（正三角形排列）三星系统（直线等间距排列）图示J:

21、; 颔可合体 /IJ*,sW、j - 1（5一Q3 黑洞町视天d檐高3A 、 f4.IjT/4:;:i0 B匚曷-“JOO。A8C_向心力黑洞对可视天彼此给对方的彼此给对方的另外两星球对另外两星球对的来源体的万有引力万有引1力万有引1力其万有引力的合力其万有引力的合力例3 12013山东卷】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围 绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的 总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一 段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周 运动

22、的周期为（）_,n:n 3n n:nA；kTB 1kT C.,：kTD.kT变式题【2014常熟测试】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的 四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m, 半径均为凡 四颗星稳定地分布在边长为的正方形的四个顶点上.已知引力常量为G.关于 四星系统，下列说法错误的是（）A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B.四颗星的轨道半径均为2c四颗星表面的重力加速度均为GmR2D.四颗星的周期均为2m1.美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、适合居 住的行星“开普勒一22b”，其直径约为地球的2.4倍.至今其确切质量和表面成分仍