应力状态和强度理论

1、 （1）建 - 坐标系,选定比例尺二、应力圆作法1.xyxxyxxyyy应力状态分析-图解法DxyO （2）量取OA= xAD = xy得D点xyxxyxxyxAOB= y （3）量取BD= yx得D点yByxD （4）连接 DD两点的直线与 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆C（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说 明AB（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致.2OCBA7-3 平面应力状态分析-图解法第七章 应力状态和强度

2、理论7-5 广义胡克定律7-6 复杂应力状态的应变能密度7-7 强度理论概述7-8 四种常用强度理论时，1）单向应力状态：横向线应变：2）纯剪应力状态：时，txgxy sxy7-5 广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律3、空间应力状态：(1) 正应力:拉应力为正, 压应力为负符号规定(2) 切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则为正;反之为负(3) 线应变:以伸长为正, 缩短为负;(4) 切应变:使直角减者为正, 增大者为负.7-5 广义胡克定律xyzOtxytxzsxtyxsytyzsztzxtzytyxsytyzsztzxtzytxytxzsx六个应力分量:六个应变分量

3、:上式称为广义胡克定律 沿x,y,z轴的线应变 在xy,yz,zx面上的切应变7-5 广义胡克定律xyzOtxytxzsxtyxsytyzsztzxtzytyxsytyzsztzxtzytxytxzsx 对于平面应力状态（假设z = 0,xz= 0,yz= 0）xyzxyxyyxxyxyyx7-5 广义胡克定律主应力-主应变的关系平面应力状态下设 3 = 0 已知 1,2,3; 1,2,3为主应变 （空间应力状态）7-5 广义胡克定律二、各向同性材料的体积应变123a1a2a3构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用q表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变,如图所示的主单元体,三个边长为

4、 dx , dy , dz变形后的边长分别为变形后单元体的体积为dx(1+, dy(1+2 , dz(1+3 V1=dx(1+ dy(1+2 dz(1+37-5 广义胡克定律变形前的体积：V=dx dy dz体积应变为7-5 广义胡克定律任一点处的体积应变与三主应力之和成正比!对平面纯剪应力状态：小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。材料的体积应变只与三个线应变有关：(体积弹性摸量)(体积应力，第一不变量)(平均应力/静水压力)K 0 0.5（ “=”: 不可压）7-5 广义胡克定律例 边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹

5、性模量E=100GPa，泊松比 =0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：sysxsz(b)yxz(a)Faaa联解可得： 受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：7-5 广义胡克定律利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：由此可得其体应变为：7-5 广义胡克定律应变能密度单位体积的应变能：1、单向应力状态2、三向应力状态dzdydxssdzdydxs2s1s3代人广义虎克定律:7-6 应变能密度整理得：用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称

6、为畸变能密度用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度应变能密度v等于两部分之和：7-6 应变能密度一般情况，单元体既有体积改变，也有形状改变。=+ 平均应力：(仅有体积改变)(仅有形状改变)=+1s2s3ssmsmsms2-sm=s2s1-sm=s1s3-sm=s3体积改变能密度(畸变能密度)7-6 应变能密度主单元体(各棱边长度相等)分解为图示两种单元体的叠加，有图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度，而图a的形状改变能密度等于图c所示单元体的应变能密度，(a)(c)(b)体积改变能密度: 7-6 应变能密度畸变能密度:7-6 应变能密度ss 1）单向应力状态：

7、塑性屈服：脆性断裂：s和b可由实验测得,n为安全系数。7-7 强度理论 1）纯剪应力状态：塑性屈服：脆性断裂：s和b可由实验测得,n为安全系数。t7-7 强度理论3）复杂应力状态不能分别用上述公式来建立强度条件，因为 与 之间会相互影响。?ts7-7 强度理论研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。4）材料主要的破坏形式（常温、静载）7-7 强度理论根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，即为强度理论。（1）脆性断裂 :无明显的变形下突然断裂,如铸铁：拉伸、扭转等（2）塑性屈服 :产生大量塑

8、性变形后断裂，低碳钢：拉伸、扭转等强度理论：解释脆性断裂解释塑性屈服最大拉应力理论最大拉应变理论最大切应力理论畸变能密度理论第一类强度理论第二类强度理论强度条件：1）最大拉应力理论(第一强度理论)假设最大拉应力1是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到极限应力b，材料就发生脆性断裂，即：a) 与2、3无关；b) 应力b可用单向拉伸试验来确定。强度理论四个常用的强度理论 假设：最大伸长线应变1是引起脆性断裂的主要因素，不论在什么应力状态下，只要最大伸长线应变1达到极限值u ，材料就发生断裂，即：u 由单向拉伸测定：2）最大伸长线应变理论(第二强度理论)因

9、此有：强度条件为：因为：强度理论四个常用的强度理论 3）最大切应力理论(第三强度理论)假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因素，即无论什么应力状态, 只要： , 材料就屈服.强度理论四个常用的强度理论 屈服条件在复杂应力状态下一点处的最大切应力为假设畸变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即无论什么应力状态, 只要： , 材料就屈服.4）畸变能密度理论(第四强度理论)单拉屈服时有：可通过单拉试验来确定。强度理论四个常用的强度理论 强度条件：强度理论的统一形式： 最大拉应力(第一强度)理论： 最大伸长线应变(第二强度)理论： 最大切应力(第三强度)理论：r 称为相当应力，分别为： 畸变能密度

10、(第四强度)理论：强度理论四个常用的强度理论 应用范围：强度理论应用 （2）塑性材料选用第三或第四强度理论;（3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论;（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.例1 两危险点的应力状态如图， =，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。st(a)st(b)解：对图a所示应力状态，因为强度理论应用 所以：st(a)强度理论应用 对图b所示应力状态，有：所以：ts强度理论应用 由第三强度理论，图b所示应力状态比图a所示的安

11、全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。注意：图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：请记住该结果，便于组合变形的强度校核。st(a)强度理论应用 A 例2 两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已知材料（Q235钢）的许用应力为=170MPa和= 100MPa。试按强度条件选择工字钢号码（复杂应力状态选用第四强度理论）。解：首先确定危险截面。剪力图和弯矩图如图b和图c所示，可见C、D截面为危险截面，取C截面计算，其剪力和弯矩为：(b) 200kN200kNFS图M图(c) 84kNm(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m

12、1.66 mD强度理论应用 (b) 200kN200kNFS图M图(c) 84kNm(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD先按正应力强度条件选择截面型号。最大正应力发生在C截面的上、下边缘处，且为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：据此可选用28a号工字钢，其截面系数为：强度理论应用 再按切应力强度条件进行校核。对28a号工字钢，查表可得截面几何性质为：(b) 200kN200kNFS图M图(c) 84kNm(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：

13、强度理论应用 可见，选用28a号工字钢满足切应力强度条件，简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图d所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3tmaxsmax(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD强度理论应用 利用图d所示的截面简化尺寸和已有的Iz，可求得a点的正应力 和切应力 分别为：工字型截面腹板和翼缘交界处（图d中的a点），正应力和切应力都较大，且处于复杂平面应力状态（见图e），因此还需对此进行强度校核。sta(e)sttt强度理论应用 (d)a12213.728013.78.5126.3126.3其中，Sz为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：强度理论应用 sta(e)sttt(d)a12213.728013.78.5126.3126.3a 点的三个主应力为由于材料是 Q235 钢,所以在平面应力状态下,应按第四强度理论来进行强度校核.应另选