北京大学量子力学复习提纲

1、 9/9北京大学量子力学复习提纲 北京大学量子力学复习提纲 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h = (1) h p n k = (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 12.25 h A = (3) 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度()2 ,r t 和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2 w * =代表几率密度. 2.态叠加原理: 如果1和2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c =+,也是体系的一个可能状态. 3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程 薛定谔方程 ()

2、(),?,r t i H r t t ?=? (4) 定态薛定谔方程 ()()?H r E r = (5) 其中 ()2 2?2H U r =-?+ (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性. 5. 波函数的归一化, 1d * =? (9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿. 第三章 量子力学中的力学量 1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则; 2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 ?F = (10) 3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关

3、系. ?F dx * =? ()?F dx * ? (11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交. 完全性: 厄密算符?F 的本征函数()n x 和()x 组成完全系, 即任一函数()x 可以按()n x 和()x 展开为级数: ()()()n n n x c x c x d = +? (12) 展开系数: ()()n n c x x dx *=?, (13) ()()c x x dx * =?. (14) 2 n c 是在()x 态中测量力学量F 得到n 的几率, 2 c d 是在()x 态中测量力学量F ,得到测量结果在 到d +

4、范围内的几率. 4. 2?L 和?Z L 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22?1L l l =+, ?z L m = 本征函数 (),lm Y . 5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm 的数学结构, ()()(),nlm nl lm r R r Y = (15) 主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. 4 22 , 1,2,3,.2s n e E n n =- = (16) 不考虑电子的自旋是2n 度简并的; 考虑电子的自旋是22n 度简并的. 7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),r 点周围

5、的 体积元内的几率 ()2 2 ,sin nlm r r drd d (17) 计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. ()()?F x F x dx *=? (18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系. (1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时 具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数. 例如: 氢原子的哈密顿算符?H ,角动量平方算符2?L 和角 动量算符?z L 相互对易, 则 (i) 它们有共同的

6、本征函数nlm , (ii) 在态nlm 中,它们同时具有确定值: 4 2 2 2s n e E n =- , () 2 1l l +, m . (2) 测不准关系:如果算符?F 和?G 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设 ?F ?G -?G ?F =?ik 则算符?F 和?G 的均方偏差满足: ()_ 2 ?F ?() _ 2 2 ?4 k G ? (19) 其中 () ()_ _ _2 2 2 22 22F F F F FF F F F ?=-=-+=- () _ _2 2 2F F F ?=-, ()_ _2 2 2G G G ?=- (a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量

7、, 线性谐振子 的零点能等. (b) 给定态函数,计算两个力学量?F 和?G 的均方偏差的乘积 ()_ 2 ?F ?()_ 2 ?G ?= (20) 第四章 态和力学量的表象 1. 对表象的理解 (1) 状态: 态矢量 (2) Q 表象:力学量Q 的本征函数 ()()()12,.,.n u x u x u x 构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开: ()()(),n n n x t a t u x = ()()()12,.,.n a t a t a t 是态矢量在Q 表象中沿各 基矢量的分量. (5) ()2 n a t 是在(),x t 所描写的态中,

8、测量力学量Q 得到结果为n Q 的几率. 2. 算符在Q 表象中的表示 (i)算符?F 在Q 表象中是一个矩阵, nm F 称为矩阵元 ()(),nm n m F u x F x u x dx i x *? ? ? ? (ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为 该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式: ?F F = (21) (2) 本征值方程 久期方程 ()()()()()()11111212 22122212 . . . . : : : . . : : :m m n n nm m m a t a t F F F a t a t F F F F

9、 F F a t a t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111212122212 . . . . 0 . . n n n n nn F F F F F F F F F -=- (3) 薛定谔方程的矩阵形式 d i H dt = (22) 4. 么正变换的概念 (1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定, ()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ?* * ?=? ?=? ? (3) 态矢量由A 表象变换到B 表象的公式 1b S a -= (23)

10、 (4) 力学量?F 由A 表象变换到B 表象的公式: 1F S FS -= (24) 5. 么正变换的性质 (i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值. 第五章 微扰理论 (I) 求解非简并定态微扰问题 (1) 确定微扰的哈密顿算符?H . ()0?H H H =+, 及与()0?H 对应的零级近似能量() n E 和零级近似波函数 () 0n ; (2) 计算能量的一级修正: ()()()100?n n n E H d * =? (25) (3) 计算波函数的一级修正: ()()()() 10 00mn n m m

11、 n m H E E =- (26) (4) 计算能量的二级修正: ()() ( ) 22 0nl n l n l H E E E =- (27) (II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正) 求解步骤 (1) 确定微扰的哈密顿算符?H . (2) 确定微扰算符的矩阵元: ?li H =?l i H d *? (28) (3) 求解久期方程得到能量的一级修正 () () () 1 11 12 11 2122 2 1 12 .n k n k k k kk n H E H H H H E H H H H E -=- (29) (III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1)

12、基本步骤 设0?H 的本征函数为n 为已知: 0?n n n H = (30) 将按照0 ?H 的定态波函数n i t n n e -=展开: ()n n n a t = (31) 展开系数的表达式: ()0 1 mk t i t m mk a t H e dt i = ? (32) 其中 ?mn m n H H d *=? (33) 是微扰矩阵元, () 1 m n mn = - (34) 为体系由n 能级跃迁到m 能级的玻尔频率. 在t 时刻发现体系处于m 态的几率是 ()2 m a t , 体系在微 扰的作用下,由初态k 跃迁到终态m 的几率为 () 2 k m m W a t = (3

13、5) (2) 用于周期微扰()()?i t i t H t F e e -=+得到 ()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t +-? -=-+?+-? (36) 由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是 mk =或 m k m k = (37) (i) 表明只有外界的微扰含有频率mk 时,体系才能从k 态跃迁到m 态,这时体系吸收和发射的能量是mk ; (ii)跃迁是一个共振现象. (3) 能量时间的测不准关系的含义 E t ? ? (38) (4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数: mk A , mk B 和km B 及相互关系. (5) 了

14、解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数 (6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则 1,0, 1.l l l m m m ?=-=? ?=-=? (39) 第六章 自旋与全同粒子 1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取 2z S = (40) 2. 自旋算符的矩阵形式 01?210 x S ?= ? ?, 0?20y i S i ?-= ? ?, 10?201z S ?= ? ?-? (41) 3.泡利矩阵 1?1 0 x ? = ? ? ?, 0?0y i i ?-= ? ?, 10?01z ?= ? ?-? (42) (1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差. ?G G = (43) ()11121? 1 2 22122G G G G G G *? = ? ? ? ? (44) (2)