股票有、无卖空限制下有效前沿的计算

1、股票有、无卖空限制下有效前沿 的计算（doc 9页）有、无卖空限制下有效前沿的计算基于股票案例的研究摘要在丰富的金融投资理论中，投资组合 理论占有非常重要的地位，金融产品本质上市各种 金融工具的组合。现代投资组合理论试图解释获得 最大投资收益与避免过风险之间的基本权衡关系， 也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例 组合在一起作为投资对象，以达到在保证预订收益 的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提 下使收益率最大。在中国股市上运用马科维茨模型 研究投资有限前沿组合，探索风险变动规律，从而 知道各股票投资组合在达到最佳时所占的比例。关键词马科维茨模型投资组合有效前 沿投资者很早就认识到了

2、分散的将资金进行投 资可以降低投资风险，扩大投资收益。但在第一个 对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马科 维茨。1952年马科维茨发表了证券投资组合选 择，标志着证券组合理论的正式诞生。马科维茨 根据每一张证券的预期收益率、方差和所有证券间 的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。马 科维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和 方差时非常精确。本文通过对在上交所上市的六只 股票运用马科维茨模型进行分析，找到给定风险下 的最佳投资组合。一、模型理论一、模型理论经典马科维茨均值-方差模型为:其中（R 其中（R = R ,R ,R12,工，,工min

3、。 2 = X t * Xmax E (r ) = X t R，V n-iS . t . * X = 1.R =虱5是第i种资产的预期收益率;是投资组合的权重向量；*=()是n中E(r血2分别是投资组合的期PpX =资产间的协方差矩阵； 望回报率和方差。马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收 益率方差度量风险。在本文中以股票的历史收益率 的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效 果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算 组合风险值时协方差对结果影响较大，在本文中以 股票的历史收益率的协方差度量资产风险与相关 性，可能会与实际协方差矩阵存在一定的偏差。前沿的计算马科维茨均值-方差模型为

4、典型的带约束的二次 规划问题，在给定的期望收益时，方差最小解唯一， 函数如下：min b 2? = x， X X T R = e sv _ iI ，= i给定弓计算相应风险最小的组合，即得到有效前沿上 一点（有效组合），给定一系列弓可以有效描绘出有效前 沿。有效边界是组合证券资产选择的重要基础。根据 Markwitz创立的现代证券投资组合理论，理性的投资者 应具有“非满足性”和“风险回避”两个特征，即一定风 险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最小化。在 马科维茨的均值-方差模型中，对于每一个给定的收益 率水平，得到的对应投资组合的方差（或标准差）比在同 样收益水平的任何组合的方差（或标准差

5、）要小,称为有 效前沿。在标准差-均值坐标系中，则是一条双曲线。收 益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合，位于组 合前沿的上半部分，被称为有效前沿，它是前沿投资组合 和有效投资组合的交集部分。前沿投资组合（Envelope Portfolio）是指对于任意给定的期望收益水平，所具有 最小方差的投资组合构成的集合，即在图-1中位于包络 线线上的投资组合。有效投资组合（EfficientPortfolio）是 指对于任意给定的方差或标准差水 平,具有最大收益率的投资组合。5 5 5 555555550 9 8 76543210 5 5 5 555555550 9 8 76543210 L福喜鲫

6、跋霍用20 x = 1i0. 20 x = 1i组合标准差可行投资组合:满足投资比例之和为1,即才i=1的组合，如上图中的A、B、C组合。可行集：由所有可行投资组合构成的集合，为上图曲线内部以阴影表示的区域。前沿投资组合：对于任意给定的期望收益水平，所有具有最小方差的投资组合构成的集合，即 为途中包络线上的投资组合。以组合D为例，在所有期望收益为57%的组合中，组合D具有最小方差 .30.24%。有效投资组合：对于任意给定的方差或标准差 水平，具有最大收益率的投资组合。有效前沿：有所有有效投资组合构成的集合。 任何一个位于该曲线下方的投资组合，其期望收益 都小于对应在有效边界上的组合，为标准差

7、却相 等。条件下计算有效前沿1=11=1w记列向量J=e (r ) 一c, E(r ) 一c,.,E(r ) F,如果向量Z 为线性方程组夫c战的解&是方差协方差矩阵)， R C = Sz1=11=1w则Z-S1(R c)那么/ =(.X ) T为前沿投资组合，其中一1 ( C),x (x , x , , x )1八二1ii =1x = Z / &，即x八二1ii =1i IJiJ =1i =1何前沿投资组合都满足以上条件。任何两个前沿投资组合的线性组合仍为前沿 投资组合；反之，所有前沿投资组合均可由任意两 个不同的前沿组合产生。限制下的有效前沿计算在卖空限制下求解投资组合类似于求大化问 题，

8、只是对投资组合增加了一个投资比例非负性约 束条件： = 1其中x,. 0,i = 1,.,N i=1在有卖空限制下，前沿投资组合的求解可用规 划问题表示：Max E d。bxSubject _ to Z x = 1, x 0i = 1有效前沿的计算基于六只股票从大智慧证券分析软件提取工商银行、三一重 工、中国石化、上海汽车、上海机场、中国移动六 只股票的收盘价（向前除权后提取月K线数据）2010 年5月31日至2011年5月31日收盘价数据如下:日期收盘价三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车2010-5-315.6213.328.434.2173.714.462010-

9、6-305.7211.847.744.0178.212.752010-7-307.2113.238.824.2578.5512.272010-8-318.6413.268.154.0379.1515.332010-9-309.2112.58.23.9979.4516.412010-10-2914.0714.18.914.378.9516.852010-11-3014.3912.168.134.277.4520.022010-12-3114.3812.398.064.2477.217.122011-1-3114.8414.0494.2576.614.682011-2-2816.7614.558.

10、524.2673.0517.382011-3-3118.5713.568.534.4771.6518.452011-4-2918.3414.198.644.5671.418.222011-5-3116.813.368.064.5671.0516.551.收益率的计算本文中提取的股票收盘价为除权以后的 数据，故不需考虑股利分红等因素。股票A在 第t月的收益率为在第t月末与第（t-1）月 月末价格之比的自然对数，计算公式为：r = ln（ t）AtPA , t - 1六只股票的月收益率日期收益率三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车2010-5-312010-6-301.76

11、%-11.78%-8.54%-4.87%5.93%-12.59%日期超额收益率三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车2010-5-312010-6-30-7.36%-11.80%-8.17%-5.53%6.23%-13.71%2010-7-3014.02%11.08%13.44%5.15%0.75%-4.96%2010-8-318.97%0.20%-7.53%-5.98%1.07%21.14%2010-9-30-2.74%-5.93%0.99%-1.66%0.68%5.68%2010-10-2933.25%12.02%8.68%6.82%-0.33%1.52%2010-1

12、1-30-6.88%-14.83%-8.79%-3.02%-1.61%16.11%2010-12-31-9.19%1.85%-0.49%0.28%-0.02%-16.77%2011-1-31-5.98%12.48%11.41%-0.43%-0.48%-16.50%2011-2-283.04%3.54%-5.11%-0.43%-4.44%15.76%2011-3-311.13%-7.07%0.49%4.15%-1.63%4.85%2011-4-29-10.37%4.52%1.66%1.33%-0.04%-2.38%2011-5-31mrvr-r一17；90%-6.05%-6.57%-0.67%-

13、0.19%-10.74%2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%0.45%-3.84%2010-8-3118.09%0.23%-7.90%-5.32%0.76%22.27%2010-9-306.39%-5.90%0.61%-1.00%0.38%6.81%2010-10-2942.38%12.04%8.30%7.48%-0.63%2.65%2010-11-302.25%-14.80%-9.16%-2.35%-1.92%17.24%2010-12-31-0.07%1.87%-0.86%0.95%-0.32%-1

14、5.65%2011-1-313.15%12.50%11.03%0.24%-0.78%-15.38%2011-2-2812.17%3.57%-5.48%0.24%-4.75%16.88%2011-3-3110.26%-7.05%0.12%4.81%-1.94%5.97%2011-4-29-1.25%4.54%1.28%1.99%-0.35%-1.25%2011-5-31-8.77%-6.03%-6.95%0.00%-0.49%-9.61%月期望收益9.13%0.02%-0.37%0.67%-0.31%1.12%年期望收益109.50%0.30%-4.49%7.99%-3.66%13.50%方差（

15、月）1.71%0.78%0.55%0.14%0.06%1.58%标准差（月）13.07%8.85%7.42%3.78%2.35%12.58%方差（年）20.50%9.40%6.60%1.71%0.66%19.00%标准差（年）多?30.66%25.69%13.08%8.15%43.59%2.运用超额收益矩阵计算方差-协方差矩阵六只股票的超额收益计算r - E (r )r 一 E (r )r - E (r )r- E C ) TOC o 1-5 h z 2112nm:- -r- E (r )r - E (r )ml1mnm3.计算方差-协方差矩阵 协方差定义为：Cov(r , r )=丈 r -

16、 E(r )* r - E(r )A B M A t A B tBt=1根据协方差公式计算六只股票的方差协方差矩 阵为：根据上证指数求得rf上证指数日期收盘2010-6-302398.372010-7-302637.52010-8-312638.82010-9-302655.662010-10-292978.842010-11-302820.182010-12-312808.082011-1-312790.692011-2-282905.052011-3-312928.112011-4-292911.512011-5-312743.47rf0.143889, 无卖空限制下有效前沿的计算计算前沿

17、组合。根据无卖空限制计算有效前沿 性质一，需要假设两个不同的常数乌通过 R-c=Sz求解z,然后根据性质二就可以求得前沿组 合。两个前沿组合的计算两个相关指标的计算期望收益（X）-0.013344596期望收益（M）-0.00732115方差(X)9.43283E-05方差(M)4.97682E-05标准差(X)0.009712277协方差(M)0.007054655协方差5.17507E-05liiJ计算有效前沿。根据无卖空限制有效前沿计算的性 质二，通过上一步计算得到的两个前沿组合x和 y的线性组合，可以求出整个可行域的包络线，当 然有效边界也包含在内。假设对组合x的投资比 例为a,对组合

18、y的比例为(1-a)的组合为p,通过 下面的公式，可以得到组合p的期望收益和标准liiJ差：E(R)=aE(R)+(1-a)E(R) pxyq =aq +(1-a)22 +2a(1-a)Cov(x,y) p xy令a=0.3，可以得到组合p的期望收益和标准差。 此外，使用Excel的模拟运算表功能，计算对 组合x和y不同投资比例下的期望收益和标准 差，即可得到无卖空限制下有效前沿曲线组合x的投资比例30%组合p的期望收益-0.9128%组合p的标准差5.65733E-05不同组合比例下组合的期望收益和标准差组合x的投资比例 a标准差期望收益0.0057%-0.9128%-40.0000%0.0

19、012%-0.4912%-30.0000%0.0024%-0.5514%-20.0000%0.0035%-0.6116%-10.0000%0.0043%-0.6719%0.0000%0.0050%-0.7321%10.0000%0.0054%-0.7923%20.0000%0.0056%-0.8526%30.0000%0.0057%-0.9128%40.0000%0.0055%-0.9731%50.0000%0.0051%-1.0333%60.0000%0.0045%-1.0935%70.0000%0.0037%-1.1538%80.0000%0.0027%-1.2140%90.0000%0.

20、0014%-1.2742%100.0000%0.0000%-1.3345%110.0000%-0.0006%-1.3947%120.0000%-0.0015%-1.4549%130.0000%-0.0025%-1.5152%140.0000%-0.0038%-1.5754%150.0000%-0.0053%-1.6356%160.0000%-0.0069%-1.6959%无卖空限制的有效前沿曲线-0.组合标准差无卖空限制下有效前沿益收望期合组-0.组合标准差无卖空限制下有效前沿益收望期合组有效前沿曲线呈现出这样的趋势主要是因为六只 股票的收益率都低于大盘的平均收益率。二、有卖空限制下有效前沿计

21、算在实际构建投资组合时要考虑到合规、合法或5：者分先管理等限制条件，这样会给组合构建带来约5：者分先管理等限制条件，这样会给组合构建带来约束，例如基金“双百分之十规则”；基金投资于某 一证券的市值不能超过基金资产的10%，投资于某 一上市公司的股票不能超过该公司市值的10%。如要求六只股票的最大配置分别为：三一重工最大配置50%，上海机场最大配置60%，中国石=i最大配置50%，上海机场最大配置60%，中国石=i化最大配置80%，工商银行最大配置55%，中国 移动最大配置79%，上海汽车最大配置30%； 一重工、上海机场、中国石化组成资产集合A； 工商银行、中国移动、上海汽车组成资产计划集合B

22、；其中集合A的最大配置为50%，集合B的最大配置为80%，集合A的配置不能超过集合B的配置 的1.5备，并且有卖空限制的条件下如何配置？六只股票的收益率均值、收益率标准差及超额 收益率协方差矩阵收益率均 值收益率标 准差（超额收益）方差协方差矩阵收益率均 值收益率标 准差（超额收益）方差协方差矩阵三一重 工0.09130.13070.01860.00670.005 00.0028-0.00 030.0061上海机 场0.00020.08850.00670.00850.00580.0021-0.00 05-0.0028中国石 化-0.00370.07420.005 00.00580.006 00

23、.0023-0.0002-0.0039工商银 行0.00670.03780.00280.00210.00230.0016-0.00 04-0.0009中国移 动-0.00310.0235-0.00 03-0.00 05-0.0002-0.00 040.0006-0.0014上海汽 车0.01120.12580.0061-0.0028-0.0039-0.0009-0.00140.0173应用二次规划问题求解得到: 有效前沿组合组合风 险组合期望收 益六只股票投资比例三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车1.24%0.08%0.00%1.04%0.00%28.27%63.06

24、%7.63%1.42%0.29%1.85%0.00%0.00%31.89%58.63%7.64%1.65%0.49%4.31%0.00%0.00%30.07%58.58%7.03%1.89%0.70%6.78%0.00%0.00%28.26%58.53%6.43%2.14%0.91%9.25%0.00%0.00%26.45%58.48%5.83%2.40%1.11%11.71%0.00%0.00%24.64%58.43%5.22%2.66%1.32%14.18%0.00%0.00%22.83%58.37%4.62%2.93%1.52%16.65%0.00%0.00%21.01%58.32%4.

25、01%3.20%1.73%19.11%0.00%0.00%19.20%58.27%3.41%3.47%1.94%21.58%0.00%0.00%17.39%58.22%2.81%3.74%2.14%24.05%0.00%0.00%15.58%58.17%2.20%4.02%2.35%26.51%0.00%0.00%13.77%58.12%1.60%4.29%2.56%28.98%0.00%0.00%11.96%58.07%1.00%4.57%2.76%31.45%0.00%0.00%10.14%58.02%0.39%4.85%2.97%33.89%0.00%0.00%8.30%57.81%0.00%5.13%3.18%36.27%0.00%0.00%6.41%57.32%0.00%5.41%3.38%38.65%0.00%0.00%4.52%56.83%0.00%5.69%3.59%41.04%0.00%0.00%2.62%56.34%0.00%5.97%3.80%43.42%0.00%0.00%0.73%55.85%0.00%6.25%4.00%45.68%0.00%0.00%0.00%54.32%0.00%6.54%4.21%47.87%0.00%0.00%0.00%52.13