概率论5.1大数定律

1、第五章 极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。 所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行大量的观测。第五章 极限定理 随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。 研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很广泛, 最重要的有两种:“大数定律”和“中心极限定理”。对随机现象进行大量重复观测，发现大量随机事件频率的稳定性.5.1 大数定律大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率例 掷一颗均匀的正六面体骰子，出现“1点”的概率为1/6, 。掷的次数

2、的次数少时，出现“1点”的频率可能与1/6相差很大，但掷的次数很多时，出现“1点”的频率接近1/6几乎是必然的。例1 测量一个长度为a的零件，一次测量结果不见得等于a，测量若干次，其算术平均值仍不见得为a，但测量次数很多很多时，其算术平均值接近a是必然的。大量随机事件之平均结果的稳定性例2 测量几个男孩的平均身高，当男孩数比较少时，平均值不一定为l，逐渐增加男孩的数量，这群男孩的平均身高越来越接近定数l，当所观测的男孩数量极大时，其平均身高就无比接近定数l了。 从各种例子可知，在大量随机现象中，不仅看到了随机事件频率的稳定性，而且还看到平均结果的稳定性.5.1.1 切比雪夫不等式离差 ，方差

3、描述随机变量 取值的切比雪夫不等式：离散程度。下面的切尔谢夫不等式描述了离差与方差之间的关系。设为X随机变量，有期望方差 ，则P106定理5.1.1证明:(1) X是连续型,放大被积函数放大积分域性质4 若（比较定理）(2) X是离散型证明:越小，事件 发生的概率也越小.当利用期望及方差对 的概率分布进行估计可知方差确是一个描述随机变量与其期望值离散程度的量。此不等式的作用：切比雪夫不等式：设为X随机变量，有期望 ，方差 ，则 利用切比雪夫不等式可以在 X 的分布未知的情况下，估计概率值 P | X-| 0，有 证明：定理证毕。由夹逼定理：P108定理5.1.2 (大数定律): 设随机变量序列

4、 X1, X2, 相互独立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=, Var(Xi) =2，i=1, 2, 。则对任意的0，有 该大数定律表明：无论正数 怎样小, 只要 n充分大，事件 发生 的概率均可任意地接近于 1。 即当 n充分大时， 差不多不再是随机变量， 取值接近于其数学期望的概率接近于 1。 下面再给出定理5.1.2的一种特例贝努里大数定律。 推论 (贝努里大数定律): 设 nA是 n 重贝努里试验中事件A发生的频数， p是 A 发生的概率，对任给的 0，有或 贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA / n与事件A发生的概率几乎相等。设Xi为第i次试验中事件A发生的次数,它服从两点分布，且相互独立，由定理2 有即证： 定理3 (贝努里大数定律): 设 nA是 n 重贝努里试验中事件A发生的频数， p是 A 发生的概率，对任给的 0，有或 此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动。由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生，这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1，则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。小概率原理-在一次试验中,极小概率的事件几乎不发生大数定律的主