2022年广东高考数学理科卷第19题研究

1、2021年广东高考数学理科卷第19题研究2021年广东高考数学理科卷第19题研究题目:(总分值14分)曲线:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点a(xa,ya)和b(xb,yb),且xaxb.记曲线在点a和点b之间那一段l与线段ab所围成的平面区域(含边界)为d.设点p(s,t)是l上的任一点,且点p与点a和点b均不重合.br=(1)假设点q是线段ab的中点,试求线段pq的中点的轨迹方程;(2)假设曲线g:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与d有公共点,试求a的最小值.一、总体分析数学探究性问题是新课程施行后较受重视的一类问题,其问题新颖,题材丰富,综合性强,解法灵敏多样,是高考命题的热

2、点.2021年广东高考数学理科卷第19题是一道整合了圆、抛物线、直线等内容的综合性问题,包含了数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法,旨在考察考生理解直观与严谨的关系,检测考生的详细形象思维、想象思维与逻辑思维程度;考察考生的推理论证才能、运算求解才能和问题探究才能;考察考生的创新意识和问题解决才能,表达了数学新课程的理念与要求.第(1)问求线段pq的中点的轨迹方程,是一道常规题,考生只需初步具备与未知互相转化的数学思想,就能顺利作答.点p是的,点q是可求的,点是未知的,且3个点互相关联,用未知点来表示点p,再通过点p的轨迹方程,即可得点的轨迹方程.第(2)问通过数形结合思想,让圆动起来并求

3、a的最小值,立意新颖灵敏,考察学生对轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的理解,对线性规划图解法的分辨才能,对数学问题的探究与质疑、反思才能.从评卷结果来看,许多考生受线性规划图解法思维定势的影响,直观地认为当圆g过点a时,a取最小值.命题者深谙此理,将动圆的半径定为和直线的斜率设为1,这是此题的亮点:数学发现离不开直观与合情推理,但未经严密论证的形象思维成果有时会是一种美丽的假象,容易使我们陷入泥潭.二、得分情况统计作为倒数第三大题,这样的平均分显然不能令人满意,但又在情理之中.样卷统计结果显示:02分数段约占47.64%,该题平均分如此之低就缺乏为奇了.三、典型错误统计随机抽取4786份样卷进

4、展分析,存在以下7种典型错误情形.四、第(2)问解法分析当曲线g(即圆g)与d仅有一个公共点时,圆g与d的上边界限段ab正好相切,a取最小值.解法1利用等腰直角三角形的性质.如图1,曲线g的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,这是一个圆心为g(a,2),半径为的圆.设圆g与直线l:x-y+2=0相切于点t(xt,yt),线段ab与y轴相交为r,那么有=,即a=.因为直线l的倾斜角为45,那么gtr为等腰直角三角形,且t(xt,yt)为直角顶点.故xt=a=.又(-1,2),且-1和2是区域d中点的最小和最大横坐标,所以切点td.故满足条件的a的最小值为-.解法2利用解代数方程组.当圆g在y

5、轴左边与线段ab相切,即只有一个交点时,a取最小值.于是有(x-a)2+(y-2)2=()2x-y+2=0,得2x2-2ax+a2-=0.依题意有=0且a0,即4a2-8(a2-),得a=-.条件切点td的判断方法与解法1同,此处略.解法3利用td先定a的取值范围.过点g(a,2)与直线l垂直的直线l的方程是y-2=-1(x-a),即x+y-2-a=0.由x-y+2=0 x+y-2-a=0,解得交点t的坐标xt=,yt=+2.假设点t(xt,yt)d,那么ytxt2,即+2,解得a(-2,4).参考解法1或解法2,可求得a=.因为(-2,4),故满足条件的a的最小值为-.解法4利用正弦定理.如

6、图2,曲线g的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,易知点r的坐标为(0,2).依题意,只需考虑a0的情况.当a0且圆g与d有公共点时,圆g与ab必有交点,设此交点为n,那么gn=.(1)假设点n与点r不重合,那么在gnr中,设gnr=,由正弦定理得=(或=)故a=sin.假设sin能取到最大值1,那么a有最小值-.由于ra=rn=,故在线段ab上可取点n,使rn=gn,再取gr=a=,那么gnr=90,从而sin能取到最大值1,此时a的最小值为-.(2)假设点n与点r重合,那么点g的坐标是(-,2).综合(1)与(2)知,满足条件的a的最小值为-.解法5利用导数求函数极值.曲线g的方程可化

7、为(x-a)2+(y-2)2=.设线段ab上的动点n(u,u+2),u-1,2,那么gn2=(a-u)2+(2-u-2)2=,即a=u.如图2,要使a获得最小值,圆g应在y轴左边且应与线段ab相交,此时au0,所以a=u-.br=令a=f(u)=u-,u-1,2,那么此题转化为求f(u)在-1,2上的最小值.因为f(u)=1+,令f(u)=0,得u0=-1,2.当u-1,-时,f(u)0,f(u)单调递减;当u-,2时,f(u)0,f(u)单调递增.于是a=f(u)在u0-1,2处获得极小值,而f(u0)=u0-=-,所以满足条件的a的最小值为-.五、问题拓展好的数学高考题如同一瓶好酒,越品越香醇.从开展学生思维的灵敏性和进步学生的数学探究才能而言,此题具有很好的研究和教学价值.现提出以下两个问题供