高等数学同济大学版课程讲解.函数的极限

1、课 时 授 课 计 划课次序号： 03一、课 题：1.3 函数的极限二、课 型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料：1.高等数学释疑解难，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.高等数学教与学参考，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：习题13 1（2），2（3），3，6八、授课记录：九、授课班 次效果分析：limx a 0,N,n 时，nx a ；nn yfx1 若 0，

2、X0 xX xAf(x)AxlimxA fxAx若 0， X0 xX fx）UA）（即(x)AxflimxA fxAxx例1 0 xxcosxcosx 1cosx100证 0，xxxxx11cosx0 1 得即x 0 X xX 2x2x0 xxlim10 0例 2 xx10 0证0 x xg X g1 xX 时，即有 0 xxlim 1 得 0 xx 2 若 0， X0 xX f xU A(x)Alim称x时，x A xAxxA x）；xA xfxA xlim f(x) A或 lim f(x) A或 lim f(x) Ay Ay f(x) 注 若xxx 1 2 limlimlim 1xA x）

3、xAxxxx2lim例 3 1x1xx2x13331证0，只需x1 x1x1x1 ，x13x1 3x2x2x11lim 0 X1 ，则当xX 2 得1x1xxx 0 x x x A x0是x x x 0 x fx0oU 3 yf（x f 0， 0 x （x 000 x）A）（即xAA yfx0limx） A xAxx 0 x0 x xx x x 时fx fx00 xxx0yA A x (x)当0 x和 0（x ,x ）x ,x xx (x) yf(x) x （00000 (x)A,或 A(x)A 1 图1x 12例 4 2x1x1x 1x 1222x1证 x）在 x1 0 0 0 x1 x1x

4、1x 122 0 0 x1 3 得x1x 122x1x1limxsinx x0例 50证xx，cosx1x xxx00sinxsinx 2 2200lim 0 0 时，sinxsinx 3 得sinxx 000 x0 x 从x x x00ooU(x ,)U(x ,)4f xD R 0， 0 x(或x)f00limlim f x（A A 为f x xx f xA（f0 xx xx 00 xxxA f（ ）A（ A00 3 4 limlimlimxA 2xA x）x0 xx xx 00cosx, x01x x0f(x)lim例 6 设xx0解 x0 limlimlimlim1x1x）cosxcos

5、01fx）x0 x0 x0 x0lim 2 （x1x0 x, x0f(x)lim例 7 设x1 x0 x0limlimlimlimlimlimf(x),解 x）x0，x）11x）x0 x0 x0 x0 x0 x0lim故xx0似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”1 3 若 fx2oU 5 在xx x 0 x (x )(xX)00 x） x xx x0 4 若 fx）存在，则 fx）是该极限过程中的有界变量证 xx 0lim oxA 1， 0 x x xA1，则x若0 x01A 1A 5 xx 时，fx0lim sinx 3x xlimUUx x x x0 x0oo 5 若xA，AA000 x0lim若xAA0（A0），则 X0，当xX 时，有 x0fx0 x fx0 x0），且 xA A0A0 limlimfn 6f(x)A的充要条件是对任意的数列x ，x D（x x 当 x x（nnfn0n0 x0（x ） A可为有限数或为n 6 1limcos例 1 xx0111lim limlimlimn