4.动态系统的稳定性

1、 P例4-5试确定系统x=x一ax(x2+x2)、x=-x一ax(x2+x2)，a=const.平衡点的801211221212稳定性。解：令x=x-ax(x2+x2)=0，x=-x-ax(x2+x2)=0求得x=0是唯一平衡点。1211221212e试取V(x)=x2+x20，只在x=0处，V(x)=012eov.avV(x)=xov.avV(x)=x+Ox11当a0,x=2xx+2xxOx211222有V(x)=-2a(x2+x2)20，12=-2a(x2+x2)2有连续偏导数。12当a0，12有V(x)=-2a(x2+x2)2三0，12x=0是稳定平衡点；ex=0是不稳定平衡点；ex=0

2、是Liapunov稳定平衡点；e表明所选V(x)=x2+x20可判定系统稳定性，是Liapunov函数。2图4-4a图4-4a0渐进稳定a0112V(x)=OV1x+OV1x=4xx+2x(-x-x)=2xx-2x2有连续偏导数。Ox1Ox212212T-2212符号不定，无法确定系统是否稳定，因此V(x)不是Liapunov函数。第二次取V(x)=x2+x20有连续偏导数12V(x)=OV2x+OV2x=2xx+2x(-x-x)=-2x20是Liapunov函数。进一步，由于卩(x)=-2x2021212V(x)=x+x=2(x+x)(x+x)+4xx+2x(-x-x)=2(x2+x2)0根

3、据定理可3x1dx21212122121212知x=0是渐近稳定，所以V(x)=h(x+x)2+2x2+x2是e321212Liapunov函数。可见Liapunov函数并非唯一，无论怎样取Liapunov，只要符合函数的条件，能判别平衡点的稳定性，他就是Liapunov函数，结论是唯一的。此题仍然可以用采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩甌=01、-此题仍然可以用采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩甌=det(XlA)=九2+X+1=0,根据Routh方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是定的。头际上九=1(-1+jv3)。2(x的解，由此说81明x=0是渐近稳定平衡点。e作业

4、4-1：用间接法求出(的解，由此说81明x=0是渐近稳定平衡点。ex丿27P例4-7设闭环系统如P图4-5所示，试分析系统的稳定性。8282U(s)图4-5双积分闭环系统解：用三种方法分析系统的稳定性经典法：由图列出Y(s)=U(S)+Y(S)-G(s)=竺=丄s2U(s)s2+1即(s2+1)Y(s)=U(s)一y(t)+y(t)=u(t)，取u(t)=0，并不影响讨论系统的稳定性,故其解为y(t)=acos+bsin这是临界稳定系统。Liapunov函数法：设x=y,x=y，于是x=x，x=-x+u稳定性与输入无121221关,只考虑齐次方程vx)关,只考虑齐次方程vx)1x丿27x=0是

5、唯一平衡点。e试取V(x)=x2+x20而且有连续偏导数dV.ddV.dVx+-dxidxx=2xx+2xx=2xx+2x(-x)三01221根据定理可知系统是Liapunov临界稳定，Liapunov稳定在工程意义上是不稳定的，这与经典控制理论的结论是一致的。间接法：eAt=L-1(sI-间接法：eAt=L-1(sI-A)-1-1*s丿cost、一sint、sintcost丿(x(t)1Ix(t)2eAtx0cost、一sint、/sintx10cost丿(x20 x(t)=y(t)=xcost+xsint1020显然，系统状态是振荡的，故x=0是Liapunov临界稳定平衡点，结论是一致的

6、。eP例4-8试分析系统x=x，x=-(1-|x|)x-x平衡点的稳定性。82122121解：非线性系统，不能采用“直接法求解”令x=0nx=(xx)t=0是唯一平e1e2e衡点。试取V(x)=x2+x2012V(x)=x+x=2xx+2xx三一2x2(1-|x|)，有连续偏导数。dx1dx21122212当|x|=1，在x2+x2=1的圆上，U(x)三0，故x=0是Liapunov临界稳定平衡点；112e当|x1，在x2+x2=1的圆内，U(x)0)，可判定系统e12稳定性，是Liapunov函数。其稳定域是单位圆内，系统不是大范围渐近稳定的。443.2用克拉索夫斯基方法构造Liapunov

7、函数由上面讨论可知，若找到了Liapunov函数，用直接法分析稳定性是方便的,然而构造Liapunov函数却成了新问题。尽管通过研究得到了一些方法，但至今还没有得到一个对任何系统都普遍适用的构造Liapunov函数的方法。ff(x)1fx)1fdf1dff(x)1fx)1fdf1dx1df)1dx数学知识：设f(x)=，x=x那么互=nf(x)丿n2IxJndxTndxV1ndxn丿p11pYx.1特例:dxdxTV(x)=xtPx=(x1x):n(p=2xpxiijji,j=1n1nnF面介绍一种克拉索夫斯基方法构造Liapunov函数。P定理4-3对系统x=f(x,t)，平衡点为x二082

8、eeV(x)取F(x)=f，记共轭为“*”，转置为“T”，共轭转置为“”eV(x)OfOfOf)OxOxOx亠nOx:1.:n+:1.:1OfOfOfOfOxJ1亠nOx”丿OxJ”亠nOxn丿*P=F(x)+F(x)=0=0是渐近稳定的。此时，Liapunov函数为=f(x,t)f(x,t)=龙f(x,t)f(x,t)=f|2+f|2+.+ii12当|x|TPV(当|x|TPV(x)T，则是大范围渐近稳定。无论系统是线性还是非线性，是定常还是时变，都能用克拉索夫斯基方法构造Liapunov函数,。证明:f(x,t)_畔x_卩(x)f(x,t)证明:/(x,t)_/(x,t)_x_)_f(x,

9、t)F(x)j0 xT丿V(x)_f(x,t)f(x,t)+f(x,t)f(x,t)_f(x,t)F(x)-f(x,t)+f(x,t)-F(x)f(t)_f(x,t)F(x)+F(x)-f(x,t)_f(x,t)Pf(x,t)0其中P_F(x)+F(x)，且V(x)_f(x,t)f(x,t)是Liapunov函数。证毕。特别当x_Ax_f(x),若A是非奇异的，则只有x_0唯一一个平衡点，有*T*T_AF(x)_A，F(x)_OxT、Qxt丿当A是实数矩阵时，A_AT，因此就有以下推论。重要推论：(克拉索夫斯基方法应用于线性系统)对线性定常系统x_Ax_f(x)，若A是非奇异实数矩阵，若根据定

10、号性确定P_AT+A01，贝Ux_0是大范围渐e近稳定平衡点。P例4一9分析非线性系统x_x一x(x2+x2)_f，x_-x一x(x2+x2)_f平衡点83121121212122的稳定性。解：令x_f_0，nx_(xx)t_0是唯一平衡点。e1e2ex23x212xx3x2x23x212xx3x2+x22xx12,1一2xx12，P=F(x)+F(x)=212123x2x2丿,2xxx2+3x2丿2dx丿123X2x212.12xx121一2xx12x23x2.1271212Tdx对2奇数：P=P=2(3x2+x2)012根据P二次型及其定号性P=169ii为奇数i为偶数12根据P二次型及其

11、定号性，P的顺序主子式为169即P=F(x)+F(x)0负定，nV(x)0121当MTg，V(x)Tg，故是大范围渐近稳定。P例4-10分析系统x=83x平衡点的稳定性。解：A是非奇异，且x=P例4-10分析系统x=83x平衡点的稳定性。解：A是非奇异，且x=(xxee1e2)T=0是唯一平衡点。P=At+A=奇数主子式：P=P=20；偶数主子式:11P11P21P12P220i为奇数，即P=AT+A0i为偶数所以x=0是渐近稳定平衡点，Liapunov函数为e根据P二次型及其定号性P=169iV(x)=fTf=f2+f2=(xx)2+(2x3x)20122112且当lixT2，v(x)Tg，

12、故是大范围渐近稳定。值得指出的是：通过克拉索夫斯基方法构造的Liapunov函数是一个充分条件，并非所有系统都可以找到Liapunov函数。若用这种方法找不到Liapunov函数，并不能就此判别系统的稳定性，必须用其他方法寻找Liapunov函数。(一11作业4-2：用间接法判断(P例4-10)系统x=:x的稳定性，求出A83I2-3丿的特征值，讨论系统的稳定性，并求出解eAt的表达式。433用求解Liapunov方程方法构造Liapunov函数对线性定常系统，采用克拉索夫斯基方法构造的Liapunov函数是一个可以给出渐近稳定的充分条件。以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。两个条件结

13、合，能否构造某一类非线性系统的充要条件呢？设X二Ax，取正定二次型作Liapuno函数，即P为正定对称矩阵，有V(x)=xtPxV(x)=XtPx+xtPx=(Ax)tPx+xtPAx=(xtAt)Px+xtPAx=xTQx式中：Q=(AtP+PA)，显然，若Q是正定对称矩阵，则V(x)0。然后通过Liapunov方程APZZA2ZZ求解出正定对称矩阵P，此时，对n阶对称矩阵P共有n(n+1)/2个独立元素，求解出这n(n+1)/2个独立元素，就可确定P，计算P的顺序主子式的符号可确定对称矩阵P的定号性，由此可构造出Liapunov函数V(x)=xtPx，再根据Hurwitz判断系统的稳定性。

14、P例4T1用求解Liapunov方程分析系统x=x平衡点的稳定性。解：设对称矩阵P=卩11IP12x平衡点的稳定性。解：设对称矩阵P=卩11IP12p)12p22求解Liapunov方程AtP+PA=21确定P:AtP+PA=2P12ppp111222ppp、1112222p-2p丿12222p=2120，111根据Hurwitz判据，有P0,解得:，若方程无解，说明找不到符合条件的正定对称矩阵P。解得:计算P的顺序主子式的符号(参见P例4-6)81偶数主子式：P=pnp12=502pp1222即P是正定对称矩阵，再根据定理4-4可以判别系统是渐近稳定的。系统的一个Liapunov函数为V(x

15、)=xtPx=V(x)=xtPx=(xx)12=3x2+2xx+2x2=112212稳定性判别方法小结：1间接法有n个解,2直接法求解n阶系统的特征方程det(sI-A)=Sn+as”-1+.+as+1间接法有n个解,2直接法1n-1”X0不稳定i构造一个Liapunov函数v(x)0，TOC o 1-5 h z*_dV(x)=工SVdx=工6Vx=工QVfdtQxdtQxiQxii=1ii=1ii=1i(1)若卩(X)负定(卩(x)0正定，则x是不稳定；e若V(x)0半负定，则x是Liapunov临界稳定；进一步：若卩(x)不三0，e则x是渐近稳定(局部稳定)；e3克拉索夫斯基方法P=F(x

16、)+F(x)0，当|x|Tg,V(x)Tg，则是大范12n围渐近稳定。4.Liapunov方法给定正定对称Q，若能找到一个正定对称P0，满足Liapun方程Q=-(AtP+PA)，系统稳定，此时Liapunov函数为V(x)=xTPx01作业4-3：用间接法判断(P例4-11)系统x=01x的稳定性，求出A84(1一1丿的特征值，讨论系统的稳定性，并求出解eA的表达式。4.3.4对线性系统瞬时响应速度的估计设n阶线性定常系统x(t)=Ax,x(0)=x有唯一的平衡点x=0，且是渐近0e稳定的。其状态响应为x(t)=eAtx，这是线性定常系统的零输入响应，其运动将0从任一初态x出发，向平衡点x=

17、0衰减，我们要问：衰减速度如何呢？0e当系统是渐近稳定时，“能量”V(x)是正定的，而“能量的变化”Wx)是负定的，因此可以引入一个变量耳二V(当系统是渐近稳定时，“能量”V(x)是正定的，而“能量的变化”Wx)是负定的，因此可以引入一个变量耳二V(x)，U(x)+nV(x)=0,V(x)=V(x)emV(x)00V(x)=xTPx，V(x)=xtQxxtxQI，所以,(x)xtx(x)xtPx不妨设P的特征值为九、九、九，且12n九-九为最大的特征值，经正交变换max1xFx后(FFI)有图4-6李雅普诺夫函数收敛的几何意义P86xtPx(Fx)tP(Fx)xt(FtPF)x九x2iii1xtx(Fx)t(Fx)xt(FtF)xx2ii1xtx.x2+x2+x2耳=x2/九x212nxtPxiii九(x2+x2+x2)i1i1max12n1TmaxnV(x)V(x)e严V(x)e厂r,00mdStxmaxin3V(x)这给出了系统