证明的方法总结

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 证明的方法总结 证明的方法总结 总结是在某一特定时间段对学习和工作生活或其完成状况，包括取得的成绩、存在的问题及得到的阅历和教训加以回想和分析的书面材料，它在我们的学习、工作中起到呈上启下的作用，不如立刻行动起来写一份总结吧。总结怎么写才不会千篇一律呢？下面是我为大家收集的证明的方法总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。 证明的方法总结1 一、原函数 定义1 假如对任一xI，都有 F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。 例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 ln(xx2) 原

2、函数存在定理：假如函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。 注1：假如f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。 设F(x)是f(x)的原函数，则F(x)Cf(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。 注2：假如F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数） 注3：假如F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。 1x2，即ln(xx2)是1

3、x2的原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。 假如F(x)为f(x)的一个原函数，则 f(x)dxF(x)C，（C为任意常数） 三、不定积分的几何意义 图 51 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有相互平行的切线，其斜率都等于f(x) 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y

4、F(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线 四、不定积分的性质（线性性质） f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx k为非零常数） kf(x)dxkf(x)dx（ 五、基本积分表 a dx = ax + C，a和C都是常数 xa dx = x(a + 1)/(a + 1) + C，其中a为常数且 a -1 1/x dx = ln|x| + C ax dx = (1/lna)ax + C，其中a 0 且 a 1 ex dx = ex + C cosx dx = sinx + C

5、sinx dx = - cosx + C cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C =

6、ln|cscx - cotx| + C sec2(x) dx = tanx + C csc2(x) dx = - cotx + C secxtanx dx = secx + C cscxcotx dx = - cscx + C dx/(a2 + x2) = (1/a)arctan(x/a) + C dx/(a2 - x2) = arcsin(x/a) + C dx/(x2 + a2) = ln|x + (x2 + a2)| + C dx/(x2 - a2) = ln|x + (x2 - a2)| + C (x2 - a2) dx = (x/2)(x2 - a2) - (a2/2)ln|x +

7、(x2 - a2)| + C (x2 + a2) dx = (x/2)(x2 + a2) + (a2/2)ln|x + (x2 + a2)| + C (a2 - x2) dx = (x/2)(a2 - x2) + (a2/2)arcsin(x/a) + C 六、第一换元法（凑微分） 设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 假如 u(x)，且(x)可微，则 dF(x)F(u)(x)f(u)(x)f(x)(x) dx 即F(x)为f(x)(x)的原函数，或 f(x)(x)dxF(x)CF(u)Cu(x)f(u)du因此有 定理1 设F(u)为f(u)的原函数，

8、u(x)可微，则 f(x)(x)dxf(u)du 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x) (2-1) f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x) 1f(axb)d(axb)1f(u)duf(axb)dxuaxb 证明的方法总结2 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 任取x1、x2D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数；假如f(x)0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3互为反函数的两个函数有一致的单调性 4yfg(x)是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性一致， 则其复合函数fg(x)为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相

9、反， 则其复合函数fg(x)为减函数简称同增异减 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值 (2)对比函数值或自变量值的大小 (3)解、证不等式 (4)求参数的取值范围或值 (5)作函数图象 证明的方法总结3 数列极限的证明 数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的十分频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。 微分中值定理的相关证明 微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式

10、主要是三类定理： 1。零点定理和介质定理； 2。微分中值定理； 包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考察频率底，所以以前两个定理为主。 3。微分中值定理 积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。 在考察的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考察，所以要总结到现在为止，所考察的题型。 方程根的问题 包括方程根唯一和方程根的个数的探讨。 定积分等式和不等式的证明 主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。 积分与路径无关的五个等价条件 这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。 方法篇

11、 结合几何意义记住基本原理 重要的定理主要包括零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。 知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的推理能力。如20 xx年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明白极限存在，求值是很简单的，但是假如没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。 由于数学推理是环环相扣的，假如第一步未得到结论，那么其次步就是空中楼阁。这个题目十分简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，由于对于该题中的数列来说，“单调性与“有

12、界性都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是好多，更多的是要用到其次步。 借助几何意义寻求证明思路 一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如20 xx年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点（正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）之间的一个点。这样很简单想到辅助函数F（x）=f（x）g（x）有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。 再如20 xx年数学一第18题

13、（1）是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f（x）及y=1x在0，1上的图形就马上能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应当看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。假如其次步实在无法完满解决问题的话，转第三步。 逆推法 从结论出发寻求证明方法。如20 xx年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。 在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常状况只需一

14、阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常状况却出现的更多（这里所举出的例子就属非正常状况），这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F（x）=lnxxlnxa4（xa）/ex，其中eF（a）就是所要证的不等式。 证明的方法总结4 一、 不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、 定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参

15、考不定积分计算方法 三、 定积分与极限 1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、 定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，对比积分值的大小 1) 对比定理：若在同一区间a,b上，总有 f(x)=g(x),则 = ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式对比之 a) b) 当0可积。 定理设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个休止点，则f(x)在区间a,b上可积。 3、定积分的若干重要性质 性质假如在区间a,b上f(x)0则abf(x)dx0。 推论假如在区间a,b上f(x)g(x)则abf(x)dxabg(x)dx。

16、推论|abf(x)dx|ab|f(x)|dx。 性质设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值，则m(b-a)abf(x)dxM(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质(定积分中值定理)假如函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间a,b上除点c(a 定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) 直角坐标系下(含参数与不含参数) 极坐标系下(r,x=rcos,y=rsin)(扇形面积公式S=R2/2) 旋转体

17、体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=abf(x)2dx，其中f(x)指曲线的方程) 平行截面面积为已知的立体体积(V=abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) 功、水压力、引力 函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*abf(x)dx) 证明的方法总结7 摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练把握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。 关键词:积分方法 第一类换元法其次类换元法 分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与把握的好坏直接影响到该课程的学习和把握。熟练把握

18、不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步稳定前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了好多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理明了,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。 1 直接积分法 直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积

19、分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。 一、原函数与不定积分的概念 定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF f(x) (x)f(x)dx ,则称F(x)为f(x)的一个原函数 定义2.函数 f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，记为: f(x)dxF(x)C f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数 “ 其中 叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式 性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx. 性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 f(x)dxf(x)C, 或df(x)f(x)C