浙江版高考数学总复习专题6.2等差数列（讲解练）教学讲练

1、6.2等差数列高考数学 浙江专用考点一等差数列的有关概念及运算考点清单考向基础1.如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).2.如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且A=.3.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d和an=am+(n-m)d.4.等差数列的公差公式为d=和d=.5.等差数列的前n项和公式(1)Sn=;(2)Sn=na1+;(3)Sn=n2+n;(4)n为奇数,Sn=n(为中间项).考点二等差数列的性质及应用考向基础1.等差

2、数列的性质(1)m,n,p,qN*,若m+n=p+q,则am,an,ap,aq的关系为am+an=ap+aq,特别地,a1+an=a2+an-1=.(2)an=an+b(a,b是常数)是an成等差数列的充要条件,(n,an)是直线上一群孤立的点.(3)数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)是an成等差数列的充要条件.(4)等差数列的单调性d0an为递增数列,Sn有最小值.d0,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值.等差数列中“基本量法”解题的方法方法1方法技巧等差数列an中一共涉及五个基本量,即首项a1,第n项an,项数n,公差d以及前n项和Sn.在a1,an,n,

3、d,Sn中,只要知道其中三个,其他两个就能求(简称“知三求二”).其中a1与d是两个最基本的量,往往用它们表示其他的量列出方程(组)进行求解.例1(2019浙江绍兴一中期末,19)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解题导引(1)(2) 解析(1)设等差数列an的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有解得所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=,所以Tn=,故数列bn的前n项和Tn=.方法2等差数列的判定方法等

4、差数列的判定方法主要有四种:(1)定义法:an+1-an=d.(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n2).(3)前n项和公式法:Sn=An2+Bn.(4)通项公式法:an=pn+q.例2(2019浙江温州普通高中高考适应性测试,20)设Sn为数列an的前 n 项和,且 S2=8,2Sn=(n+1)an+n-1.(1)求 a1,a2 并证明数列an为等差数列;(2)若不等式2n-Sn0对任意正整数 n 恒成立,求实数的取值范围.解析(1)由2S2=3a2+1,S2=8,得a2=5.a1=3.2Sn=(n+1)an+n-1,2Sn+1=(n+2)an+1+n,两式相减得2an+1=(n+

5、2)an+1-(n+1)an+1,即nan+1-(n+1)an+1=0.(n+1)an+2-(n+2)an+1+1=0.-得(n+1)an+2-(2n+2)an+1+(n+1)an=0,即an+2-2an+1+an=0,即an+2-an+1=an+1-an.故数列an为等差数列,且an=2n+1.(2)an=2n+1,Sn=n2+2n.由2n-Sn0得,.令bn=,则bn+1-bn=,b1b3b4,=2.2.方法3等差数列的前n项和最值的求法求等差数列an的前n项和Sn的最值的方法: 例3(2018浙江名校协作体,12)已知an是公差为-2的等差数列,Sn为其前n项和,若a2+1,a5+1,a7+1成等比数列,则a1=,当n=时,Sn有最大值.解析等差数列an中,a2+1,a5+1,a7+1成等比数列,(a5+1)2=(a2+1)(a7+1),(a1-7)2=(a1-1)(a1-11),a1=19.下面求Sn的最大值.解法一(通项公式法):an=19+(n-1)(-2)=-2n+21,令an0,得n10.5,且nN*,等差数列an中前10项为正数,从第11项起为负数,(Sn)max=S10.解法二