2021课标版理数高考总复习专题2.4指数与指数函数（讲解练）理科数学教学讲练

1、2.4指数与指数函数高考理数考点一指数及指数幂的运算考点清单考向基础1.根式的概念根式的概念符号表示备注一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数(a0)负数没有偶次方根2.两个重要公式=()n=a(注意a必须使有意义).3.有理指数幂(1)幂的有关概念(i)正分数指数幂:=(a0,m,nN*,且n1);(ii)负分数指数幂:=(a0,m,nN*,且n1);(iii)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的性质(i)ar

2、as=ar+s(a0,r,sQ);(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ);(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).考向突破考向指数幂的运算例(0.06)-2.5-0=.解析原式=-1=-1=-1=0.答案0考点二指数函数的图象与性质考向基础1.指数函数的图象与性质 a10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1在(-,+)上是单调增函数在(-,+)上是单调减函数2.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,其中0cd1ab.在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小.(无论在y轴的左侧还是右侧,底数

3、按逆时针方向变大)考向突破考向一指数式大小比较例1(2019安徽合肥4月冲刺,2)若0ba1,则在ab,ba,aa,bb中最大的是()A.baB.aaC.abD.bb 解析0baaa,babb,即在ab,ba,aa,bb中最大的是ab,故选C.答案C考向二指数函数的图象与性质及其应用例2已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a0,b0,c0 B.a0C.2-a2c D.2a+2c2解析作出函数f(x)=|2x-1|的图象(如图中实线所示),由abf(c)f(b),结合图象知f(a)1,a0,f(c)1,0c1,02a1,12cf(c),即1-2

4、a2c-1,2a+2c2,故选D.答案D方法与指数函数有关的复合函数的解题方法1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域(1)y=af(x)的定义域就是f(x)的定义域.(2)y=af(x)和y=f(ax)的值域的解法形如y=af(x)的函数的值域,要先令u=f(x),求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需要对a进行分类讨论:当0a1时,y=au为增函数.形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)的值域.方法技巧2.与指数函数有关的复合函数的单调性形如y=af(x)的函数的单调

5、性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间;若0a1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间.即“同增异减”.注意当底数a与1的大小不确定时应分类讨论.3.对于含有ax,a2x的函数表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中要注意新元的取值范围.例已知f(x)是定义在R上的单调函数且f(x)为奇函数,满足f(3)=log23,若f(k3x)+f(3x-9x-2)0,所以f(3)f(0),因为f(x)是R上的单调函数,所以f(x)在R上是增函数.f(k3x)+f(3x-9x-2)0f(k3x)f(9x-3x+2)k3x0对任意xR恒成立.解法一:(换元法)令t=3x,t0,问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立.令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为t=,当t=0,即k-1时,g(0)=20,符合题意;当t=0,即k-1时,需满足g0,解得-1k-1+2.综上所述,当k-1+2时, f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR恒成