北京版高考数学总复习专题11.1随机事件与古典概型（讲解练）教学讲练

1、专题十一概率与统计11.1随机事件与古典概型数学 北京专用考点一事件与概率考点清单考向基础1.事件的分类确定事件必然事件一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件fn(A)=为事件A出现的频率.(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.3.事件的关系与运算(1)包含关系:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定

2、发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作BA(或AB).(2)相等关系:一般地,若BA且AB,则事件A与事件B相等,记作A=B.(3)几种运算的比较2.频率与概率(1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现的比例 内容解读表示并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称该事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称该事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事

3、件,则称事件A与事件B互斥AB=对立事件若AB为不可能事件,而AB为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件AB=且AB=U(U为全集)4.概率的基本性质(1)任何事件的概率都在01之间,即0P(A)1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.(2)当事件A与事件B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B).(3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)+P(B)=1.考向等可能事件的概率考向突破例1(2019首师大附中一模,7)某校校庆期间,大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名教师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选

4、中且列队服务时不相邻的概率为()A.B.C.D. 解析从包括甲、乙两人在内的七名教师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,且列队服务,基本事件总数n=(+)=720,甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m=120,故甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率P=.答案C评析本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.考点二古典概型考向基础1.古典概型的两个特点(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.2.古典概型的概率公式(1)在基本事件总数为n

5、的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相等的,即每个基本事件的概率都是.(2)对于古典概型,随机事件A的概率为P(A)=.考向突破考向古典概型概率的求解例2(2016课标文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.B.C.D. 解析从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红,黄)、(红,白)、(红,紫)、(黄,白)、(黄,紫)、(白,紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=,故选C.答案C方法1随

6、机事件的频率与概率的常见类型及解题策略1.补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.2.由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.3.由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.方法技巧例1(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.T(分钟)25303540

7、频数(次)20304010解析(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).(2)设T1、T2分别表示往、返所需时间,T1、T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T2T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1T25303540P0.20.30.40.135)

8、+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P()=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P()=0.91.方法2古典概型的求解方法1.事件A的概率的计算,关键是分清基本事件总数n与事件A中所含的基本事件数nA.因此,必须解决好下面三个方面的问题:(1)本试验是不是等可能的;(2)本试验的基本事件有多少个;(3)事件A是什么,它包含多少个基本事件.2.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来,然后求

9、出n、nA,再利用公式P(A)=求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.也可用排列、组合求基本事件数.3.求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含义,必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和,或者是先去求对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.含有“至多”“至少”等词语的概率问题,从正面突破比较困难或者比较烦琐时,可考虑其反面,即其对立事件,然后应用对立事件的性质P(A)=1-P()进一步求解.5.求古典概型概率的基本步骤: 例2(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(5,1),(5,2),(5,3),(