北京版高考数学总复习专题5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示（讲解练）教学讲练

1、专题五平面向量5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示数学 北京专用考点一平面向量的基本概念与线性运算考点清单考向基础1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量:模:|零向量长度为0的向量叫做零向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量常用e表示平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为ab;0与任一向量共线共线向量平行向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量a=b相反向量长度相等且方向相反的向量a与b互为相反向量,则a=-b;0的相反向量为02.平面向量的线性运算向量运算定义法

2、则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算三角形法则 数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|=|a|;(2)当0时,a与a的方向相同;当0时,充分性才成立,若|a+b|=|a|+|b|成立,则非零向量a,b必同向,故必要性成立,故选B.答案B考点二平面向量基本定理考向基础定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基

3、底.温馨提示(1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,向量的分解形式唯一;(3)若1e1+2e2=0,则1=2=0.考向平面向量基本定理的应用考向突破例3(2019北京东城一模文,4)设E为ABC的边AC的中点,=m+n,则m,n的值分别为()A.-1,B.,-1C.-,1D.1, 解析如图,=+,=-.在ABC中,E为AC的中点,所以=.所以=-+,即m=-1,n=.故选A.答案A考点三平面向量的坐标运算2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.考向基础1.加法、减法、

4、数乘运算向量及运算aba+ba-ba坐标表示(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线x1y2-x2y1=0.【知识拓展】1.若+=2,则D为BC的中点,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条件是=+,且+=1,R.考向突破考向平面向量的坐标表示与运算例4(2018北京朝阳一模,3)已知平面向量a=(x,1),b=(2,x-1),且ab,则实数x的

5、值是()A.-1B.1C.2D.-1或2解析由a=(x,1),b=(2,x-1),且ab,可得x(x-1)=2,即x2-x-2=0,即(x-2)(x+1)=0,所以x=-1或x=2,故选D.答案D方法1平面向量的线性运算技巧1.搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,能熟练地运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.3.适当选择基底是解题关键.方法技巧例1(2019北京清华大学中学生标准学术能力测试文,4)如图所示,已知=a,=b,=3,=

6、2,则=()A.a-bB.a+bC.a+bD.a-b解析=+=+=+-=+=a+b.答案C方法2向量共线问题的解决方法1.两非零向量共线是指存在实数使两向量可以互相表示.2.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.4.A、B、C三点共线=+且+=1.特别地,当=时,C为线段AB的中点.例2(2018北京西城二模,5)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量a+b与c共线,则实数=(

7、)A.-2B.-1C.1D.2解题导引 解析如图,建立平面直角坐标系xOy,则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),a+b=(,-1).a+b与c共线,=2(-1),解得=2,故选D. 答案D方法3平面向量的坐标运算的解题策略1.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.2.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.例3(2019北京丰台期末文,8)如图,在平面直角坐标系xOy中,O是正六边形A1A2A6的中心,若点A1的坐标为,则点A3的纵坐标是(