数学分析第十章-定积分的应用课件

1、1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积3 平面曲线的长4 定积分在物理学中的应用第十章 定积分的应用精品文档第十章 定积分的应用精品文档 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且微元法解决问题的定积分的分析方法。精品文档 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来精品文档第十章 定积分的应用1 平面图形的面积精品文档第十章 定积分的应用1 平面图形的面积精品文档abxyo精品文档abxyo精品文档2.如果y=f(x)在a,b上不都是非负时，如下图abxyy=f(x)0精品文档2.如果y=f(x)在a,b上不都是非负

2、时，如下图abxy0 xy=f(x)y=g(x)ab精品文档y0 xy=f(x)y=g(x)ab精品文档 一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围平面图形的面积计算公式为精品文档 一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及精品文档解两曲线的交点精品文档解两曲线的交点精品文档注 被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线精品文档注 被积函数为“右-左”精品文档如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积三参数方程形式下的面积公式精品文档如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积三参数方程形式解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积精品文

3、档解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积精1 考虑曲边梯形面积计算问题微元法abxyo精品文档1 考虑曲边梯形面积计算问题微元法abxyo精品文档面积表示为定积分要通过如下步骤：（3） 求和，得A的近似值（4） 求极限，得A的精确值精品文档面积表示为定积分要通过如下步骤：（3） 求和，得A的近似值（两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式这就是定积分的微元法精品文档两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边 要想得2 定积分的微元法精品文档2 定积分的微元法精品文档微元法的一般步骤精品文档微

4、元法的一般步骤精品文档这个方法通常叫做微元法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等精品文档这个方法通常叫做微元法应用方向：平面图形的面积；体积；xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元法被积函数上-下、右-左精品文档xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元法被积函数上-解两曲线的交点，面积微元选 为积分变量解方程组注 被积函数为上-下，上为 下为精品文档解两曲线的交点，面积微元选 为积分变量解方程组注 曲边扇形的面积四 极坐标下的面积公式面积微元精品文档曲边扇形的面积四 极坐标下的面积公式面积微元精品文档解利用对称性知精品文档解利用对称性知精品文

5、档解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积精品文档解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积精品文档作业，精品文档作业，精品文档第十章 定积分的应用2 由平行截面面积求体积精品文档第十章 定积分的应用2 由平行截面面积求体积精品文档一 平行截面面积为已知的立体的体积 对一个立体，如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.精品文档一 平行截面面积为已知的立体的体积 对一个立体，如果知道该立立体体积精品文档立体体积精品文档例 1 求两圆柱:所围的立体体积. 解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限

6、的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：精品文档例 1 求两圆柱:所围的立体体积. 解：两圆柱所 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正方形, 所以截面面积 。故两圆柱面所围成的立体的体积精品文档 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积精品文档解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积精品文档 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台二 旋转体的体积精品文档 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立xyo旋转体的体积为即体积微元为 精品文档xyo旋转体的体积为即体积

7、微元为 精品文档解直线方程为过原点 及点精品文档解直线方程为过原点 及点精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档yoxyxoyxo精品文档yoxyxoyxo精品文档即环体体积:精品文档即环体体积:精品文档解精品文档解精品文档精品文档精品文档作业P246 2(1)(3)(4),3精品文档作业P246 2(1)(3)(4),3精品文档第十章 定积分的应用3 平面曲线的弧长精品文档第十章 定积分的应用3 平面曲线的弧长精品文档1.平面曲线弧长的概念精品文档1.平面曲线弧长的概念精品文档精品文档精品文档对光滑曲线C:精品文档对光滑曲线C:精品文档从而曲线的长度:精品文档从而曲线的长度:精品文档1. 弧

8、长公式精品文档1. 弧长公式精品文档设光滑曲线弧为故弧长为证明1. 弧长公式精品文档设光滑曲线弧为故弧长为证明1. 弧长公式精品文档解的全长所以精品文档解的全长所以精品文档(2) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长精品文档(2) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长精品解所以弧长为精品文档解所以弧长为精品文档设曲线弧为弧长（） 极坐标情形精品文档设曲线弧为弧长（） 极坐标情形精品文档x0y精品文档x0y精品文档解精品文档解精品文档1光滑曲线的概念.四 小结2平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3 弧长的公式精品文档1光滑曲线的概念.四 小结2平面曲线

9、弧长的概念直角坐标系下参作业（）（）（）精品文档作业（）（）（）精品文档第十章 定积分的应用4 旋转曲面的面积精品文档第十章 定积分的应用4 旋转曲面的面积精品文档1 设平面光滑曲线的方程为求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .精品文档1 设平面光滑曲线的方程为求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:精品文档积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:精侧面积微元的线性主部 .不是薄片侧面积 的 注意:精品文档侧面积微元的线性主部 .不是薄片侧面积 的 注意:精品文例1. 计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .

10、解: 对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式精品文档例1. 计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解: 若光滑曲线由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则它绕 x 轴精品文档若光滑曲线由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则例2. 求由内摆线一周所得的旋转体的表面积 S .解: 利用对称性绕 x 轴旋转 精品文档例2. 求由内摆线一周所得的旋转体的表面积 S .解: 利用若光滑曲线由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转体的侧面积为这里极坐标方程可转化为参数方程精品文档若光滑曲线由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转体作业（）（），（）精品文档

11、作业（）（），（）精品文档第十章 定积分的应用5 定积分在物理中的某些应用精品文档第十章 定积分的应用5 定积分在物理中的某些应用精品文档一 液体静压力精品文档一 液体静压力精品文档解在端面建立坐标系如图精品文档解在端面建立坐标系如图精品文档精品文档精品文档二、引力精品文档二、引力精品文档解: 建立坐标系如图.细棒上小段机动 目录 上页 下页 返回 结束 将典型小段近似看成质点小段的质量为小段与质点的距离为精品文档解: 建立坐标系如图.细棒上小段机动 目录 上页 下页 返回故垂直分力微元为引力微元为(对质点的引力大小为)精品文档故垂直分力微元为引力微元为(对质点的引力大小为)精品文档利用对称性棒对质点引力的水平分力机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直