二面角几何求法

1、关于二面角的几何求法第1页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四学习目标：1、知道二面角和二面角的平面角定义以及二面角平面角的范围。2、熟悉二面角的常见作法：定义法、垂面法、三垂线法3、掌握求二面角的一般步骤第2页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:复 习:2、二面角的表示方法AB 二面角AB l二面角 l 二面角CAB DABCDABCEFD二面角CAB E1、定义第3页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四二面角的平面角

2、: ABP l二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围: 00 ，1800 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。A1B1 P1 注意:(与顶点位置无关)APB= A1P1B1第4页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。VABC第5页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 例1、已知正三棱锥V

3、-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。VBCA第6页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。VBCA第7页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。VBCAO解：过B点作BOVC于O,连接AO.因为在正三棱锥中VA=VB,VO=VO,BVO=AVO.所以所以AOVC。所以BOA即为所求二面角的平面角。在AOB中，设AB=1，则AO=BO=作角证角求角定义法第8页，共21页，2022年，5月20日，

4、18点7分，星期四探究准备想一想： 1、还能用什么方法作出二面角的平面角？ （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则ACB即为该二面角的平面角。ABC第9页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB

5、=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD第10页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD;于是SB= = a又BC= a ， SB=BC; E为SC的中点，BESC 又DESC 故SC平面BDE可得BDSC 又BDSA BD平面SAC CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， C

6、DE=900-SCA=600 解毕。SECAD议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 垂面法第11页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 PABCD过B作BDPC于D， 则BDE就是此二面角的平面角。连结ED， 解：过B作BEAC于E， E ABC为正， BE=在RtPAC中，E为AC中点，则DE=在RtDEB中tan BDE=例3:已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的正切值。三垂线法第12页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四课堂小结：1、二面角以及二面角的平面角的定义、范围。2、二面角平面角的

7、作法：定义法、垂面法、三垂线法3、求二面角的步骤：作角-证角-求角第13页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第14页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第15页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第16页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四预习探究如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。（1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第17页，共21页，20

8、22年，5月20日，18点7分，星期四谢 谢 指 导！第18页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四预习探究如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。（1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第19页，共21页，2022年，5月20日，18点7分，星期四A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB； 又因为是直棱柱，DD1 PB, PB面DD1B, 故 DBD