新高考版数学高中总复习专题5.2三角恒等变换(讲解练)教学讲练

1、. 三角恒等变换高考数学考点三角函数式的求值和化简1.两角和与差的三角函数公式sin(+)=sin cos +cos sin ;(S+)sin(-)=sin cos -cos sin ;(S-)cos(+)=cos cos -sin sin ;(C+)cos(-)=cos cos +sin sin ;(C-)tan(+)=;(T+)tan(-)=.(T-)考点清单2.二倍角公式sin 2=2sin cos ;(S2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(C2)tan 2=.(T2)3.公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan +tan =tan(+)(

2、1-tan tan );tan -tan =tan(-)(1+tan tan ).(2)升幂公式1+cos =2cos2;1-cos =2sin2.(3)降幂公式sin2=;cos2=.(4)其他常用变形sin 2=;cos 2=;1sin =;tan=.4.辅助角公式asin +bcos =sin(+),其中cos =,sin =,tan =.5.角的拆分与组合(1)用已知角表示未知角例如,2=(+)+(-),2=(+)-(-),=(+)-=(-)+,=-=+.(2)互余与互补关系例如,+=,+=.(3)非特殊角转化为特殊角例如,15=45-30,75=45+30.考法一三角函数式的化简方法

3、知能拓展例1(1)已知为第二象限角,则cos +sin =.(2)化简:(00,cos 0.因为=,=,所以原式=cos +sin =sin -cos .(2)原式=cos=.0,00,原式=-cos .(3)原式=.答案(1)sin -cos (2)-cos (3) 方法总结1.三角函数式的化简原则2.三角函数式化简的方法化简三角函数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂与升幂等.3.三角函数式化简的要求(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;(2)尽量使分母不含三角函数;(3)尽量使被开方数不含三角函数.考法二三角函数式的求值方法例2(1)(2019山

4、西康杰中学等名校9月联考,12)已知-=,tan -tan =3,则cos(+)的值为()A.+B.-C.+D.-(2)(2018湖北八校联考,10)已知34,且+=,则=()A.或B.或C.或D.或(3)已知tan=2,则sin cos +cos2-=.解题导引(1)把切化为弦、逆用两角差的正弦公式得sin(-)=3cos cos ,进一步求cos cos 的值,再求sin sin 的值,从而求得cos(+).(2)应用升幂公式,根据角的范围去掉原式中的根号,再用辅助角公式求得cos=,求得 的值.(3)把切化为弦,得cos=-2sin,由平方关系得cos+,sin+的值,把所求式子化为si

5、n求解.解析(1)由tan -tan =3,得-=3,即=3.sin(-)=3cos cos .又知-=,cos cos =.而cos(-)=cos cos +sin sin =,sin sin =-.cos(+)=cos cos -sin sin =-=-.故选D.(2)34,2.cos =2cos2-1=1-2sin2,+=+=cos -sin =cos=.cos=. 2, +,+=或+=,=或,故选D.(3)tan=2,tan=-2,即tan=-2,cos=-2sin.,+.又知cos2+sin2=1,解得cos=-,sin=.则sin cos +cos2-=sin +cos =sin=.答案(1)D(2)D(3) 方法总结1.给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消,分子、分母约分等)的方式来求值.2.给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如=(+)-,2=(+)+(-)等,把待求三角函