新高考版数学高中总复习专题7.2平面向量的数量积及向量的综合应用(讲解练)教学讲练

1、. 平面向量的数量积及向量的综合应用高考数学考点一平面向量的数量积1.两个向量的夹角考点清单2.平面向量的数量积的有关概念易错警示(1)若a,b,c(b0)为实数,则ab=bca=c;但对于向量就不适用,即ab=bc/ a=c.(2)数量积的运算不适合乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc).3.平面向量数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos .(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2;|a|=.(4)cos =.(5)|ab|a|b|.考点

2、二平面向量数量积的应用1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:abab=0 x1x2+y1y2=0.(2)求夹角问题,利用夹角公式:cos = .(3)求线段的长度,可以用向量的线性运算.向量的模|a|=或|AB|=|=.2.向量中常用的结论在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)在=的条件下,存在使得I为ABC的内心;a+b+c=0P为ABC的内心.(2)|=|=|P为ABC的外心.(3)+=0G为ABC的重心.(4)=P为ABC的垂心.考法一求向量模的方法知能拓展例1(1)(2017课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为

3、60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.(2)已知向量a=(2,-4),b=(-3,x),c=(1,-1),若(2a+b)c,则|b|=()A.9B.3C.D.3 解题导引(2)本题给出的是向量的坐标,应先求出向量b的纵坐标,可由条件(2a+b)c,即(2a+b)c=0,求出b,再用|b|=求得.解析(1)解法一:由题意知ab=|a|b|cos 60=21=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.解法二:根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,取a=(2,0),b=,则a+2b=(3,),所以|a+2b|=2.(2)a=

4、(2,-4),b=(-3,x),2a+b=(1,-8+x),又c=(1,-1),(2a+b)c,1+8-x=0,则x=9,b=(-3,9),|b|=3,故选D.答案(1)2(2)D方法总结向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法:(1)|a|=;(2)|ab|=;(3)若a=(x,y),则|a|=.考法二求平面向量夹角的方法例2(1)(2019福建漳州八校4月联考,5)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=2,则2a+b与b的夹角是()A.B.C.D.(2)(2019豫北名校10月联考,14)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为.解析(1)设

5、2a+b与b的夹角是,由题意有|2a+b|=2,(2a+b)b=2ab+b2=2|a|b|cos +b2=6,所以cos =,所以=.(2)设a与a+b的夹角为,由|a|=|b|得|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|得|b|2=|a-b|2,则ab= |a|2,|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=|a|.cos =.又知0,=,即a与a+b的夹角为.答案(1)D(2) 例(2019湖南长郡中学第五次月考,11)已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点,则|+2|的最大值是()A.2B.3C.4D.5 实践探究解题导引这是一个求模的最值问题,一种方法是

6、找到取最值的几何位置求解,再一种是建立函数关系求解.思路一:设外接圆的圆心为O,则+2=+2(+)=4+2,正三角形外接圆的圆心为O(亦为三角形的重心),则+=0,从而把所求转化为求4+模的最大值;思路二:可以考虑以ABC外接圆的圆心为原点,OA所在直线为y轴,过O与OA垂直的直线为x轴建立坐标系,设P(cos ,sin ),以为参量,转化为求三角函数最值问题.解析解法一:设ABC的外接圆的圆心为O.由正弦定理得圆的半径为=.由正三角形的圆心也是其重心得+=0,故+2=4+.|4+|4|+|=5R=5,当且仅当与同向,即PC为圆O直径时,取得最大值5.解法二:设O为ABC外接圆的圆心,以O为圆心,OA所在直线为y轴,过O与OA垂直的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示