利用中值定理证明不等式_第1页
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文档简介

1、利用中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的证明过程是鉴于罗尔定理上的,并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推行,找出协助函数满足罗尔定理条件得证的:定理8罗尔定理:假如函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,且在区间端点的函数值相等,即fafb那么在a,b内最少存在一点使得函数在该点的导数值等于零.即f0.证明由于f(x)在闭区间a,b上连续,所以f(x)在a,b上必定取到最小值与最大值,分别设为m与M.当mM,则f(x)在a,b是常值函数,即fxm,fx0,xa,b.所以,可取a,b内随意一点,有f0.当mM时,由于fafb,所以最大值、最小值最罕有一个在内部取到，不如设最大值M

2、在内部取到.设a,b,fM,则f为极大值.由f(x)在a,b内可导,知f存在.由费马定理知,f0定理8拉格朗日中值定理:假如函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,那么在a,b内最少存在一点使等式fbfafba建立.证明结构一个函数,设Fxfxfbfaafa,bax由于FxCa,b,FxDa,b,且FaFb0.所以由罗尔定理知至少存在一点a,b,使F0.又Fxfxfbfa,ba所以ffbfab0,a于是fbfafba例4证明x0,ex1x分析:由于x0当x0时,将不等式ex1x改写成exe0ex0,0,x当x0时,将不等式ex1x改写成exe0ex0,x,0证明令fxex当x0

3、时,对fxex在0,x上应用拉格朗日中值定理.exe0ex0,0,x由于1eex,所以ex1x,即ex1x当x0时,对fxex在x,0上应用拉格朗日中值定理,exe0ex0,x,0由于exe1，所以ex1x.即ex1x.故当x0时，ex1x.例证明不等式:当x0时,xln1xln10 xx11分析:所证不等式中的函数ln1x的导数为,即所证不等式中含有函数及其导1x数,所以可用拉格朗日中值定理试之.由于ln10,所以可结构函数的改变量ln(1x)ln1,则相应自变量的改变量为x,原不等式等价于:1ln1xln11由不等式中间部1x(1x)1分的形式可知,可利用拉格朗日中值定理证明.证明原不等式可等价变形为：1ln1xln101.1xx0令fxln1x,明显它在0,xx0上满足拉格朗日中值中定理的条件,故存在0,x,使得fxf0f,ln1xln11.即xx01

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