三线摆测刚体转动惯量：实验改进与教学体会

1、三线摆测刚体转动惯量：实验改进与教学体会摘要三线摆测量刚体转动惯量是工科大类基础力学实验教学中的重要一环。尽管该实验已经过多年的 教学实践和改进，但学生的实验结果常不尽如人意，这极大地挫伤了其学习积极性。本文介绍浙江大学力学实 验教学中心实验团队近年来对三线摆实验所做的诸多改进及教学体会，以期能起到抛砖引玉之功。关键词 三线摆，转动惯量，误差分析，实验改进，教学体会THREE-WIRE PENDULUM TO MEASURE THE MOMENT OF INERTIAOF A RIGID BODY: EXPERIMENTAL IMPROVEMENTAND TEACHING EXPERIENCE

2、Abstract The measurement of the moment of inertia of a rigid body with a three-wire pendulum is an important part of the experimental teaching of basic mechanics for engineering majors. Although the experiment has been practiced and improved for many years, the results of the experiment are often no

3、t satisfactory, which greatly dampens students enthusiasm for learning. This article introduces improvements and teaching experience during recent years in the three-wire pendulum experiment from the experimental team of the Mechanics Experimental Teaching Center of Zhejiang University, aiming to in

4、spiring more attracting ideas.Key words three-wire pendulum, moment of inertia, error analysis, experimental improvement, teaching experience转动惯量是刚体（绕轴）转动惯性的度量。刚体 的转动惯量在工业领域中意义重大：导弹、卫星、飞 机及船舶的姿态调整，大型水轮机及小型旋转机械 的结构设计等，均依赖于对转动惯量的精确测量。转 动惯量概念在现代科技创新中也有广泛应用，如通 过将平移惯性转化为转动惯性，或反之，将转动惯 性转化为平移惯性，学者们设计了独特的“惯

5、容”元 件1 ,该元件在结构被动减振领域前景光明。无疑地，精准计算或测定刚体的转动惯量是极 为重要的。对于规则的均匀物体，通过定义式，并结 合平行轴定理、组合法和负体积法，可直接计算转动 惯量。然而，一方面，均匀材料及结构的参数（如材 料密度和结构尺寸等）不一定十分准确；另一方面, 对于大多数工程构件，其结构形式及材料组分十分复杂，不可能应用上述计算方法。此时，将不得不诉 诸于实验方法。实验方法主要包括落体法、复摆法和 扭振法等I2。其中，作为典型扭振法的三线摆测量法 具有物理概念明确、操作简单、计算方便等优点。三 线摆法在工业领域中被广泛采用，多年来也一直被 列为工科大类基础力学实验教学的必

6、备项目。浙江 大学力学实验教学中心自2002年起就开设了三线 摆实验。结合多年的教学经验，于20162017学年 对实验装置进行了全面改进，又通过三年的教学实 践，取得了良好的教学效果。本文首先简述三线摆的测量原理、已有的误差 分析和实验改进工作，之后详细介绍本实验团队对 装置的诸多改进及教学过程中形成的心得体会。1三线摆测量原理和误差说明三线摆测量转动惯量的测量原理是：三根等长 线对称悬吊的物体由（较小的）初始扭转角释放后, 发生扭转振动；扭转振动的频率（或周期）依赖于被 悬吊物体的绕转轴的转动惯量；通过测量扭振周期 即可计算被悬吊物的转动惯量。在推导过程中，忽略 被悬吊物竖向平动动能的影响

7、、引入摆线的小倾角 假设以及小扭转角假设，可以导出转动惯量与各物 理量和几何量的显式关系tmRrgT 2J = 7式中，J为转动惯量，m为待测物质量，R和r分别 为下圆盘和上圆盘的有效半径，H为上下圆盘的竖 直距离，T为扭振周期。由计算公式可知，影响测量精度的因素包括m （待测物质量），R；r （圆盘有效半径），H （圆盘间的竖 直距离）和T （扭振周期）。这些量中的任何一个不准 确都会引起计算误差。误差传递关系为冏（m 十 Nm）kR 十十 Ar） g （T +，T ）2 里4m2 （H + AH）（ 十 ）J mRra 2Am AR Ar AH ATm + r + v + h + 2t（2

8、）由此可见，m，R，r，H的贡献相同（系数均为1）， 而T的贡献最大（系数为2）。文献中对上下圆盘 的竖直距离（或相应的线长L）选择和扭振周期T 的测量进行了细致讨论：增加线长可减小竖直距离 测量的相对误差2,4，引入光电门可减小周期测量的 相对误差同。上述公式中涉及较多测量量，文献6 采用了标定法，即以标准刚体的转动惯量为基准去 测量任一刚体的转动惯量，从而极大地提高了测量 精度。（2）值得注意的是，转动惯量计算式（1）是有严格的 成立条件的。整个推导过程中要求：无阻尼、圆盘面 水平、小倾角和小扭转角、定轴转动、弦线无质量且 不弯曲等。危害上述任一条件的测量最终给出的结 果都是成问题的。文献

9、6讨论了阻尼对测量结果的 影响，并给出阻尼影响可以忽略的结论；文献2指 出了阻尼的两种来源，并指出弦线的合理选择方法; 文献4讨论了摆角对测量结果的影响，并给出了合 适的摆角值。2实验改进和教学体会根据实验中心多年的教学经验，对实验装置及 实验过程进行了一系列改进，包括：使用光电门测 量周期间、增加摆线竖直高度2,4、选择合适材质 的摆线【2,6、合理控制摆角I4、实验前先标定【6等。 本节介绍对三线摆实验的改进和教学过程中的心得 体会。2.1上下圆盘如何保持平行？三线摆实验装置整体结构如图1所示，下圆盘A （也称为主圆盘）用于承载待测量物，上圆盘B用于 悬挂摆线。下圆盘A需具有一定重量才能将

10、柔线绷 直，之前的圆盘或质量太轻、或悬线刚度过大，空载 时无法绷直悬线，我们将原圆盘替换为重量约1.4 kg 的钢质圆盘（直径190 mm，厚度7 mm），并使用较 为柔软的悬线，保证空载时悬线完全绷直。实验开始前先调整好下圆盘A和上圆盘B的 水平度对于控制好实验结果的精度十分重要。首先 需要调整的是上圆盘B：在制造过程中通过加工精 度的控制，保证了上圆盘与底座的平行度，将小水平 仪置于底座上，调整底座方盘下的三个旋钮，就可以 调整上圆盘B的水平度（扫描图2二维码观看操作 视频）。下圆盘A的水平度通过微调三根摆线的长度 实现：将小水平仪置于下圆盘A上，微调功能通过 在上圆盘B处摆线抽动位置设置

11、微调旋钮实现（如 图3所示），旋钮下侧的锁钮松开就能微调摆线长度, 锁钮锁定就能固定线长（扫描图4二维码观看操作 视频）。这种微调方式操作方便、效率高，不像之前 的设备靠下圆盘A底部打结调整单线长度。图1空载时悬线绷直图2 “三线摆”上圆盘调平视频图3上圆盘处机构细节图4 “三线摆”下圆盘调平视频2.2如何整体调节摆线长度？在教学实验中，需要比较不同摆线长度下测得 的转动惯量的误差，这就需要能快速地整体调节摆 线的长度，为此，我们设置了三轨旋钮整体粗调旋 盘。旋盘加工了三道轨道绕线，摆线头卡在旋钮各自 心部位置用微驻头螺栓锁定，如图3所示。三线伸 缩各有各的轨道，操作方便且效率高，扫描图5二维

12、 码观看操作视频。在之前的装置中，三线搅在一起, 影响了下圆盘A的水平度，调整起来费时、费力。图5 “三线摆”调节摆线长度视频2.3如何施加初始扭转角？三线摆的扭振始于初始扭转角。通常是用双手 给下圆盘A施加力偶矩，从而使下圆盘获得初始扭 转角。然而，这种徒手操作很难精确控制，往往在施 加了初始扭转角的同时，也使下圆盘A中心偏离了 原垂线位置。从受力方面上看，这相当于双手的操 作在引入力偶的同时M = 0）,也引入了一个侧向 力F = 0），力偶引起下圆盘A转动，而侧向力引 起盘心位置侧移。释放后，三线摆同时发生扭转振动 和摆动，这属于复合运动。此时，测得的周期明显增 大，从而导致测量误差偏大

13、。基于上述考虑，我们认 为直接驱动下圆盘A做扭振是不可取的，需采用间 接驱动方法。我们的策略是驱动上圆盘B，通过转动上圆盘 B，由等长的悬线间接驱动下圆盘A扭振。要使上 圆盘B能轻松地左右转动，需要设置摩擦系数小的 聚四氟圆板作过渡，为了控制上圆盘B只能小角度 转动，设置了转动幅度控制的约束。由于上圆盘B 的轴线受到一定的约束，因此这种驱动方式不会轻 易引起下圆盘A中心的侧移，也就不会引起耦合的 摆振。2.4如何测量扭振周期？扭振不同于摆振，人眼观察周期个数（如30个 周期），常容易多读或少读一个周期。之前采用秒表 计周期时易产生误差，我们改用光电门扫描计算周 期时间，这就要准确得多。在大圆盘

14、外圆设置一根 棒状挡光杆（扫过光电门60次为30个周期），就能 很好地解决扭振周期测量问题，该方法简单、方便且 准确。2.5如何选择合适的悬线长度？之前的装置中，上下圆盘的垂直距离处于 200550 mm左右，学生反映范围偏小。因此，我 们设计两平行不锈钢杆总长1000 mm，悬线长度可 以在300850 mm之间分档调节，从而验证转动惯 量的测量结果。由于调整长度方便，试验时间大为缩 减。注意，上下圆盘的竖直距离应包含上下圆盘的厚 度，这是由于两圆盘厚度中间的摆线没有受约束（参 与扭振），如未考虑这一厚度，将会导致转动惯量大 约0.5%的误差。3改进效果经过上述一系列改进，实验精度和实验效率

15、都 得到了显著提高。在近三年的实验中，我们规定测量 误差（三组测量中至少有一组）必须小于1%,学生 均能很好地完成实验。随机抽取50份改进前的实验 报告和50份改进后的实验报告，每份实验报告三组 测量相对误差，对改进前后各150组相对误差进行 统计，结果如表1所示，相对误差的直方图如图6 所示。此外，改进之后的实验效率也得到一定程度的 提高，学生完成实验的平均时间从110分钟减少到 100分钟。表1改进前后实验测量相对误差（百分比）统计结果对比误差均值/%误差最大值/%误差均方差/%改进前7.8621.983.92改进后0.574.200.521-11改进前 脸改进后5 1 8 1R 1-liLxjJ.-JIluililiiJ1 i.i| 806020520401015相对误差/%图6改进前后实验测量相对误差直方图对比总得来说，实验改进是较为成功的，教学效果和 教学效率都得到了提高。学生普遍反映改进装置操 作非常方便、测量非常准确。扫描图7二