微积分的发展史对新课标导数教学的启示

1、PAGE 第 PAGE 七 页 共7页微积分的发展史对新课标导数教学的启示台山培英中学 黄辉胜【内容摘要要】一般般地，导导数概念念的起点点是极限限，即从从数列数列的的极限函数的的极限导数，但但对于高高中的学生来来说，极极限是非非常抽象象和不容容易理解解的，而而新课标标导数教教学并没没有介绍绍形式化化的极限限定义，改从变化化率入手手，用形形象直观观的“逼近”方法定定义导数数。本文文就是从微微积分的的发展史史来弄清清为什么么可以这这样引入入导数的的概念。【关键词】流流数；变化率率；瞬时变变化率；导数 一般地，导导数概念念的起点点是极限限，即从从数列数列的的极限函数的的极限导数。这这种概念念建立方方

2、式有严严密的逻逻辑性和和系统性性，但是是也产生生了一些些问题：就高中中学生的的认知水水平而言言，他们们很难理理解极限限的形式式化定义义。由此此产生的的困难也也影响了了对导数数本质的的理解。而而新课标标导数概概念是怎怎样讲呢呢？教科科书（人人教版）没有介绍形式化的极限定义及相关知识。而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。这种概念建立方式当然就没有严密的逻辑性和系统性了，有这种必要吗？笔者从微积分的发展史找到答案。一、微积分分的发展展史简介介众所周知，微微积分是是由伊萨萨克牛顿（IIsacc Neewtoon，11643317727）与与戈特弗弗里威廉莱布尼尼茨（GGotttfrii

3、ed Willhellm，11646617716）分分别通过过研究不不同的问问题而创创立的。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文流数简论，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿莱布尼茨定理

4、，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。而莱布尼茨与牛顿的切入点不同，他创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在教师学报上发表了第一篇微分学论文一种求极大值与极小值以及求切线的新方法（简称新方法），它包含了微分记号，以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：只是莱布尼尼茨对微微积分学学基础无穷穷小量上上的解释释

5、和牛顿顿一样也也是含混混不清的的，这引引起了所所谓第二二次数学学危机。而为了解决这次数学危机才有极限这个概念。由此可见，传统的导数教学只是按“公理演绎法”的形式来铺陈数学，即只讲述逻辑演绎系统，亡象而存玄珠，按“公理、定义、定理、证明”四部曲，干净利落地呈现。但是，对于提问题的艺术，一个概念的形成，一个公式、定理的发现，乃至一个理论的创造与生长过程，这些更有趣部分，几乎都不谈。换言之，将完整的探索过程去头砍尾，即去掉人文与历史土壤，再砍掉品味与欣赏，结果造成数学的无趣与面目可憎，迫使学生为了“分数”或“升学”而走上痛苦之“背记”道路，美其名是为了逻辑的严谨，如此所付出的代价实在太大了全盘皆输！

6、二、新课标标导数教教学的处处理反观新课标标的导数数的教学学，没有有介绍形形式化的的极限定定义及相相关知识识，而是是从变化化率入手手，用形形象直观观的“逼近”方法定定义导数数。在一一系列问问题的引引导下，学学生经历历从平均均变化率率到瞬时时变化率率刻画现现实问题题的过程程，从代代数和几几何两个个方面理理解导数数的含义义，一方方面，通通过去瞬瞬时速度度方法而而引入导导数的概概念，这这是牛顿顿创立导导数的基基础，另另一方面面，再讲讲清导数数的几何何意义导数数是曲线线上某点点处切线线的斜率率，这是是莱布尼尼茨创立立导数基基础。这样一一来，根根据德国国生物学学家海克克尔（EE.Haaeckkel,183

7、34119199）说法法：“个体的的发生史史重复种种系的发发生史。”类推应用到学习上，这意指一个人要学习一门学问，重走一趟该门学问的发展过程，是比较容易且自然的一条道路。其一，体现数学是自然的，不是强加给人的这一根本思想，避免学生认识水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力用于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观理解，很自然使学生想到所谓第二次数学危机问题，让学生体验历史上发现微积分的过程，激发学生学习的兴趣，知道极限概念的必要性，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。老实说，我们在以前的传统的教育下，在学习完微积分都感觉不到严格的极限定义的必要性，反而陷入极限定义的漩涡中

8、，弄得晕头转向，但在新课标导数教学方法下，我们将很自然明白为什么需要这样。三、导数教教学体会会 （1）由气球球膨胀率率与高台台跳水两两个例子子引入变变化率问问题，进进一步引引出平均均变化率率过程，使学生达到牛顿和莱布尼兹创立微积分的基础。（2）由高高台跳水水的数学学模型很很自然得得出我们们要关心心运动员员某一时时刻的速速度瞬时速速度，公公式定义义了运动动员在一一段时间间内的平平均速度度，它粗粗略地描描述了这这段时间间内运动动员运动动的快慢慢。可以以想象，如如果非常常非常小小，就可可以近似似地反映映t时刻刻的瞬时时速度。一个自然的想法是，选取一个时刻，如t2秒，在具体数值计算基础上，细致地观察它

9、附近的变化情况。确定思路后，如下表所示：0时，在在这段时时间内当时，13.0511当时，13.1499当时，13.09551当时，13.10449当时，13.099951当时，13.100049当时，13.09999511当时，13.10000499当时，13.099999551当时，13.100000449 计算出t2两侧侧各时间间段内运运动员的的平均速速度，观观察表格格中的两两列数值值，可以以发现，当当趋近于于0时，平平均速度度趋向于于一个定定值，自自然地，这这个定值值就是tt2秒秒时的瞬瞬时速度度。最后后出于表表述的方方便，用用简洁的的符号表表示上述述思想，即即用“”代替“当趋近于于0，

10、趋趋于的定定值”。于是是，t2秒时时的瞬时时速度可可以简洁洁地表示示为2秒时的瞬瞬时速度度13.1这一点避免免提出复复杂的极极限定义义，其实实牛顿与与莱布尼尼兹时代代也是这这样来理理解啊！所以使使学生感感到非常常自然，我我们为什什么讲导导数非要要讲极限限的定义义不可呢呢？这是是一个从从近似到到准确，量量变到质质变的过过程。（3）通过过探究11：运动动员在某某一时刻刻的瞬时时速度怎怎样表示示？使求求瞬时速速度的方方法更具具一般性性。通过过探究22：函数数在处的瞬瞬时变化化率怎样样表示？进一步步舍弃高高台跳水水的物理理意义，完完全抽象象为数学学问题。（4）引出出导数概概念，函函数在处的导导数就是是

11、函数在在处的瞬瞬时变化化率。通过上面的的过程自自然建立立导数概概念的过过程，学学生会对对历史上上导致导导数产生生的一类类问题“根据物物体的路路程关于于时间的的函数求求速度和和加速度度”有更深深的体会会，这其其实就是是牛顿创创立微积积分一个个过程啊啊！使学学生充分分感受到到数学知知识的认认识掌握握是水到到渠成的的，不是是死记硬硬背的，还有有哪种教教法比这这样的教教法好啊啊！不过，笔者者在教学学过程中中发现，学生对高台跳水这个例子虽然很有兴趣，但学生对这个例子感觉还是比较难的，容易使学生失去学习的兴趣（本校的学生的数学基础比较差），大多数学生学习数学的能力都不是太强的，开始安排的例子要尽量简单，然后在后面的应用中逐渐拓展，这样符合人类认识事物的发展规律，不必一开始就这么难，笔者觉得这种现象在新课标的教材中还是比较常见的，我们数学教学目的首先不是培养数学精英，是为了使每一位学生都懂数学，也即数学大众化，可根据学生的实际作调整和补充。总之，从微微积分的的发展史史可以看看出，新新课标的的导数教教学的改