圆的培优专题含解答

1、圆的培优专题1与圆相关的角度计算一运用协助圆求角度1、如图，ABC内有一点D，DADBDC，若DAB20，DAC30，1则BDC.（BDC2BAC100）2、如图，AEBEDEBCDC，若C100，则BAD.（50）3、如图，四边形ABCD中，ABACAD，CBD20，BDC30，则BAD.（BADBACCAD4060100）第1题第2题第3题解题策略：经过增添协助圆，把问题转变成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思想更明亮！4、如图，ABCD中，点E为AB、BC的垂直均分线的交点，若D60，则AEC.（AEC2B2D120）5、如图，O是四边形ABCD内一点，OAOBOC，ABCADC70，则D

2、AODCO.（所求360ADCAOC150）6、如图，四边形ABCD中，ACBADB90，ADC25，则ABC.ABCADC25）第4题第5题第6题解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易获得ACBD共圆.二运用圆周角和圆心角互相转变求角度7、如图，AB为O的直径，C为?的中点，D为半圆?上一点，则ABABADC.8、如图，AB为O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC.?，则ABC.9、如图，AB为O的直径，BC3AC第7题第8题第9题答案：7、45；8、30；9、22.5；10、40；11、150；12、110解题策略：以弧去找寻同弧所对的圆周角与圆心角是

3、解决这种问题的捷径！10、如图，AB为O的直径，点C、D在O上，BAC50，则ADC.11、如图，O的半径为1，弦AB2，弦AC3，则BOC.?P30，12、如图，PAB、PCD是O的两条割线，PAB过圆心O，若ACCD，则BDC.（设ADCx，即可睁开解决问题）第10题第11题第12题解题策略：在连结半径时，常常会陪伴出现特别三角形等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个重点点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个特别好用的一个重要性质！圆的培优专题2与垂径定理相关的计算1、如图，AB是O的弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上，若BED30，O的半径为4

4、，则弦AB的长是.略解：ODAB，AB2AC，且ACO90，BED30，AOC2BED601OAC30，OC2OA2，则AC23，所以AB43.2、如图，弦AB垂直于O的直径CD，OA5，AB6，则BC.1略解：直径CD弦AB，AEBE2AB=3OE52324，则CE549BC9232310第1题第2题第3题3、如图，O的半径为25，弦ABCD，垂足为P，AB8，CD6，则OP.略解：如图，过点O作OEAB，OFCD，连结OB，OD.11则BE2AB4，DF2CD3，且OBOD25OE(25)2422，OF(25)23211又ABCD，则四边形OEPF是矩形，则OP22(11)2154、如图，

5、在O内，假如OA8，AB12，AB60，则O的半径为.1略解：如图，过点O作ODAB，连结OB，则AD2AB4，所以，BD8，OD43OB(43)28247.5、如图，正ABC内接于O，D是O上一点，DCA15，CD10，则BC略解：如图，连结OC，OD，则ODCOCDABC为等边三角形，则OCAOCE30，ODCOCD45OCD是等腰三角形，则OC52过点O作OEBC，则BC2CE56第4题第5题为上一点，第6题，的延EABOBAECCE长线交O于点D，则CD略解：如图，连结OC，则OC2?，又60，OCABAECOCE301如图，过点O作OFCD，则OF2OC1，CF3，CD2CF237、

6、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的地区.问：A地能否遇到此次台风的影响？若遇到影响，恳求出受影响的时间？解：如图，过点A作ACBF交于点C，1ABF30，则AC2AB150200，所以A地会遇到此次台风影响；如图，以A为圆心200千米为半径作A交BF于D、E两点，连结AD，则DE2CD2200215021007，所以受影响的时间为100710710（时）圆的培优专题3圆与全等三角形1、如图，O的直径AB10，弦AC6，ACB的均分线交O于D，求CD的长.解：如图，连结AB，BD，在C

7、B的延伸线上截取BEAC，连结DEACDBCD，ADBD又CADEBD，ACBECADEBD（SAS）CDDE，ADCBDEAB为O的直径，则ACBADB90BC102628；ADCCDBCDBBDE90，即CDE90CDE是等腰直角三角形且CE14，CD722、如图，AB是O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延伸线上一点，且MAMD，若CM2，求BD的长.解：如图，连结AC，则ACBC，C90，即ABC是等腰直角三角形过点M作MNAD，则NMAMAD则CMN也是等腰直角三角形，则MN2CM2ANCMBD135，又MAMD，DNMAMADAMNBMD（AAS）BDMN23、如图，A

8、B为O的直径，点N是半圆的中点，点C为?上一点，NC3.AN求BCAC的值.解：如图，连结AN，BN，则ABN是等腰直角三角形在BC上截取BDAC，连结DNANBN，CANDBN，ACBDACNBDN（SAS）CNDN，CNADNB，CNDCNAANDADNDNB90，即CND是等腰直角三角形CD2NC6，BCACBCBDCD6?4、如图，点A、B、C为O上三点，ACBC，点M为BC上一点，CEAM于E，AE5，ME3，求BM的长.解：如图，在AM上截取ANBM，连结CN，CM.?ABACBC，ACBC，又ACNBCM（SAS）CNCM，又CEAMNEME3，BMANAENE25、如图，在O中

9、，P为?的中点，交于，若，BACPDCDCDOAAC3AD1求AB的长.解：如图，连结BP、CP，则BPCP，BC过点P作PEAB于点E，又PDCDBEPCDPBEPCDP（AAS）BECD3+14，PEPD连结AP，则RtAEPRtADP（HL），则AEAD1ABAE+BE56、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB10，MN8.求BFAE的值.解：AEMN，BFMN，则AEBF，AB如图，延伸EO交BF于点G，则AOEBOG，AOBOAOEBOG（AAS），则OEOG过点O作OHMN，FG2OH，HN4连结ON，则ON5，OH52423，则BGAEFG6.圆的培优

10、专题4圆与勾股定理1、如图，O是BCN的外接圆，弦ACBC，点N是?的中点，60，ABBNCBN求BC的值.解：如图，连结AB，则AB为直径，BNA90连结AN，则BNAN，则ABN是等腰直角三角形BN2AB；又BACBNC60，2BC3AB，BN6（方法2，过点B作BDCN，即可求解）2BC32、如图，O的弦ACBD，且ACBD，若AD22，求O半径.解：如图，作直径AE，连结DE，则ADE90又ACBD，则ADBDACADBEDB90?DACEDB，则CDBE，DEBC，?ACBD，ACCD，则ADBCDEADDE，即ADE是等腰直角三角形AE2AD4，即O的半径为23、如图，AB为O的直

11、径，C为O上一点，D为CB延伸线上一点，且CAD45，CEAB于点E，DFAB于点F.（1）求证：CEEF；（2）若DF2，EF4，求AC.（1）证：AB为O的直径，CAD45，则ACD是等腰直角三角形，即ACDC又CEAB，则CAEECB如图，过点C作CG垂直DF的延伸线于点G又CEAB，DFAB，则四边形CEFG是矩形，AECDGC90EFCG，CEDG，则ECBCDGCAEACEDCG（AAS），则CECGEF2）略解：ACCD4262213.4、如图，AB为O的直径，CDAB于点D，CD交AE于点F，?ACCE.（1）求证：AFCF；（2）若O的半径为5，AE8，求EF的长（1）证：如

12、图，延伸CD交O于点G，连结AC直径AB?CG，则AGAC?CECAEACG，则AFCF12）解：如图，连结OC交AE于点H，则OCAE，EHAH2AE=4OH52423，则CH532设HFx，则CFAF4x则x222(4x)2，x3，即HF322EF1125、如图，在O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连结AD.（1）求证：ADAN；（2）若AB42，ON1，求O的半径.1）证：CDAB，AMBCCCNMCB90BCNM，又BD，ANDCNMDAND，即ADAN2）解：直径CD弦AB，则AE22又ANAD，则NEED如图，连结OA，设OEx，则NEEDx1OAOD2x1x2(

13、22)2(2x1)2，则x1O的半径OA3圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题1、在O中，弦ABCD于E，求证：AODBOC180.证：如图，连结AC，ABCD，则CABACD90又AOD2ACD，BOC2BACAODBOC180.2222、在O中，弦ABCD于点E，若O的半径为R，求证：ACBD4R.证：ABCD，则CABACD90如图，作直径AM，连结CM则ACMACDDCM90CABDCM，?BCDM?CMBD，CMBD222ACCMAM222ACBD4R.3、在O中，弦ABCD于点E，若点M为AC的中点，求证MEBD.证：如图，连结ME，并延伸交BD于点FABCD，且点M为AC的中点ME为

14、RtAEC斜边上的中线AMMEAAEMBEF又BC，AC90BEFB90，即BFE90MEBD.14、在O中，弦ABCD于点E，若ONBD于N，求证：ONAC.证：如图，作直径BF，连结DF，则DFBD，又ONBD，ONFD，又OBOF1ONDF连结AF，则AFAB，又CDABAFCD?ACFD，则ACFD1ONAC5、在O中，弦ABCD于点E，若ACBD，ONBD于N，OMAC于M.（1）求证：ME/ON；（2）求证：四边形OMEN为菱形.证：（1）如图，延伸ME交OD于点FOMAC，则点M为AC的中点ABCD，则ME为RtACE的斜边上中线AMEM，AAEMBEF又BC，AC90BBEF9

15、0，则BFE90MFBD，又ONBDMFON（2）由（1）知MFON，同理可证OMNE，四边形OMEN是平行四边形ACBD，OMON四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6圆与内角（外角）均分线一圆与内角均分线问题常常与线段和相关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O为ABC的外接圆，弦CD均分ACB，ACB90.求证：CACB2CD.证：如图，在CA的延伸线上截取AEBC，连DE，AD，BDCD均分ACB，ADBD又DAEDBC，AEBCDAEDBC（SAS）CDDE，又ACD45CDE是等腰直角三角形，则CACBCE2CD.CA+CB2、如图，O为ABC的外接圆，弦CD均分ACB，ACB120

16、，求CD的值.解：如图，在CA的延伸线上截取AEBC，连DE，AD，BDCD均分ACB，ADBD又DAEDBC，AEBCDAEDBC（SAS）CDDE，又ACD60CDE是等边三角形CA+CBCDCECABC，即CD13、如图，过O、M(1,1)的动圆O1交y轴、x轴于点A、B，求OAOB的值.解：如图，过点M作MEy轴，MFx轴，连AM、BM由M（1，1）知：四边形OFME是正方形OEOF4，EMFM，又MBFMAE，AEMBFM（AAS），则AEBFOAOBAEOEOFBF8.二圆中的外角问题常常与线段的差相关4、如图，O为ABC的外接圆，弦CP均分ABC的外角ACQ，ACB90.?PC.

17、2ACBC2证：（1）如图，连结AP，则PCQPAB又PCQPCA，则PABPCA?PAPB（2）连结BP，由（1）得，PAPB在AC上截取ADBC，连PD，又PADPBCPADPBC（SAS），则PDPC又PCD45，则PCD是等腰直角三角形，ACBCCD2PC.5、如图，O为ABC的外接圆，弦CP均分ABC的外角ACQ，ACB120.求BCAC的值.PC解：如图，在BC上截取BDAC，连AP、BP、DPPCBPCQPBAAPBP，又CAPDBPCAPDBP（SAS），则CPDP又ACB120，PCD30，BCACCDPCPC36、如图，A(4,0)，B(0,4)，O1经过A、B、O三点，点

18、?、）这P为OA上动点（异于OA.求PBPA的值.PO解：如图，在BP上截取BCAPA(4,0)，B(0,4)，则OAOB4又OAPOBCOAPOBC（SAS）PBPAPCOCOP，且COPAOB90，则POPO2.圆的培优专题7与切线相关的角度计算全部线与一个圆答案：1、70；2、201、如图，AD切O于A，BC为直径，若；3、80ACB20；4、120；5、130，则CAD.；6、452、如图，AP切O于P，PB过圆心，B在O上，若ABP35，则APB.3、如图，PA、PB为O的切线，C为?50，则ACB上一点，若BCAAPB.第1题第2题第3题第题第5题?上一点，AB若BCA150，则A

19、PB.5、如图，点O是ABC的内切圆的的圆心，若BAC80，则BOC.6、如图，PA切O于A，若PAAB，PD均分APB交AB于D，则ADP.（设元，列方程）第6题二切线与两个圆7、如图，两齐心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC分别切小圆于D、E，小圆的DE?的度数为110，则大圆的?的度数为BC.8、如图，O第1和7题O2交于A、B两点，第且8点题O1在O2上，若D第1109题，则C9、如图，O和O外切于D，AB过点D，若AOD?100122则DCB.答案：7、140；8、40；9、50（过点D作两圆的切线）圆的培优专题8与切线相关的长度计算1、如图，在O的内接ACB中，ABC30，AC的延伸

20、线与过点D的切线BD交于/OC，则CD.（CD3）点D，若O的半径为1，BD32、如图ABC内接于O，ABBC，过点A的切线与OC的延伸线交于D，BAC75，CD3，则AD.（AD3）3、如图，O为BCD的外接圆，过点C的切线交BD的延伸线于A，ACB75，ABC45CD.CD2），则DB的值为（DB第1题第2题第3题第4题4、如图，AB为O的直径，弦DC交AB于E，过C作O的切线交DB的延伸线于M，若AB4，ADC45，M75，则CD.（CD23）5、如图，等边ABC内接于O，BD切O于B，ADBD于D，AD交O于E，O的半径为1，则AE.（AE1）6、如图，ABC中，C90，BC5，O与A

21、BC的三边相切于D、E、F，若O的半径为2，则ABC的周长为.（C30）7、如图，ABC中，C90，AC12，BC16，点O在AB上，O与BC相切于D，连结，则.（示：过D作DEx，）ADBDAB，设CDDEBD10第5题第6题第7题解题策略：连半径，有垂直；找寻特别三角形；设元，建立勾股定理列方程.圆的培优专题9圆的切线与垂径定理1、如图，AB为O的直径，C为?AE的中点，CDBE于D.（1）判断DC与O的地点关系，并说明原因；（2）若DC3，O的半径为5，求DE的长.解：（1）DC是O的切线，原因以下：如图，连结OC，BC，则ABCCBDOCBOCBD，又CDBEOCCD，又OC为O的半径

22、DC是O的切线2）如图，过O作OFBD，则四边形OFDC是矩形，且BEEFOFCD3，DFOC5，EFBF52324，DEDFEF12、如图，AB为O的直径，D是?的中点，交的延伸线于，O的切线BCDEACACEBF交AD的延伸线于点F.（1）求证：DE为O的切线；（2）若DE3，O的半径为5，求DF的长.（1）证：明显，CADOADODAODAE，又DEAC，ODDE，又OD为O半径DE为O的切线（2）解：如图，过点O作OGAC，则OGDE是矩形，即OGDE3，DEOD5AG52324，则AE549，9232310连结BD，则BDAD，BD102(310)210设DFx，则x2(10)222

23、，10.BF(x310)10DFx33、如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD于E，DA均分（1）求证：AE是O的切线；（2）若AE2，DE1，求CD的长.BDE.1）证：如图，连结OA，则ADEADOOADOACD，又AECDOAAE，又OA为O的半径AE是O的切线2）解：如图，过点O作OFCD，则CD2DF，且四边形OFEA是矩形EFOAOD，OFAE2设DFx，则ODEFx1x222(x1)2，x1.5CD2CF2x34、如图，AE是O的直径，DF切O于B，ADDF于D，EFDF于F.（1）求证：EFADAE；（2）若EF1，DF4，求四边形ADFE的周长.1）证：如图，

24、连结CE，则四边形CDFE是矩形连结OB交CE于点G，DF是O的切线OBDF，OBCEBGCDEF，OGAC，又AOOEAC2OGEFADACCDEF2OG2BG2OBAE.2）解：明显CEDF4，CDEF1设ACx，则ADx1，AEx2x242(x2)2，则x3，则AC3，AD4，AE5四边形CDFE的周长为14.圆的培优专题10圆的切线与勾股定理1、如图，已知点A是O上一点，半径OC的延伸线与过点A的直线交于点B，OCBC，1ACOB.（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD45，OC2，求弦CD的长.（1）证：OCOB，1AC为OAB的OB边上的中线，又ACOBOAB是直角三角形，且O

25、AB90，又OA为O的半径AB是O的切线2）解：明显，OAOCAC，即OAC是等边三角形AOC60，D30如图，过点A作AECD于点E，ACD45，AEC是等腰直角三角形，AECE2AC2OC2，DE3AE622CD622、如图，PA、PB切O于A、B，点M在PB上，且OM/AP，MNAP于N.（1）求证：OMAN；（2）若O的半径r3，PA9，求OM的长.（1）证：如图，连结OA，PA为O的切线，OAAP，又MNAPOAMN，又OM/AP，四边形OANM是矩形，即OMAN2）解：如图，连结OB，PB、PA为O的切线OBMMNP90，PBPA9OM/AP，OMBP，又OBOAMN，OBMMNP

26、（AAS）222OMPM，则3OM（9OM），OM53、如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延伸线上一点，过D作O的切线，为切点，连结CE交AB于F.（1）求证：DEDF；（2）连结AE，若OF1，BF3，求DE的长.（1）证：如图，连结OEPE为O的切线，OEDE，又OCABCCFOOEFDEF90又COCF，CFODFEDEFDFE，DEDF2）解：明显，OEOBOFBF4设BDx，则DEDFx3，ODx4(x3)242(x4)2，x4.5DE7.54、如图，正方形ABCO的极点分别在y轴、x轴上，以AB为弦的M与x轴相切于F，已知A(0,8)，求圆心M的坐标.解：如图，连结FM交

27、延伸交AB于点EM与x轴相切，即OC是M的切线EFOC，又四边形ABCO是正方形EFAB，又A（0，8）即ABEMOA8AE4设MFAMx，则EM8x42(8x)2x2，x5，即MF5点M的坐标为（4，5）圆的培优专题11圆的切线与全等三角形1、如图，BD为O的直径，A为?的中点，交于，过D作O的切线，交BCBCADBCE的延伸线于F.（1）求证：DFEF；（2）若AE2，DE4，求DB的长.（1）证：如图，连结ABBD为O的直径，DF为O的切线BADBDF90ABCAEBADBFDE90又ABCADB，AEBDEFDFEDEF，DEEF2）解：如图，过点F作FGED，则EGGD2AE，又BA

28、EFGE90，AEBGEF，ABEGFE（ASA），BEEF，即DE为RBDF的斜边上中线DFEFDE4，BF8，则BD432、如图，AB为O的直径，C、D为O的一点，OCAD，CFDB于F.（1）求证：CF为O的切线；（2）若BF1，DB3，求O的半径.（1）证：AB为O的直径DFAD，又OCADOCDF，又CFDBOCCF，又OC为O的半径CF为O的切线2）解：如图，过点C作CEBD于点E，则BEDE1.5，EF2.5又OCCF，CFEF四边形OCFE是矩形O有半径OCEF2.53、如图，以O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD.（1）求证：OCOD；（2）过D作DM切O于M，若AB2，DM

29、22，求O的半径.（1）证：如图，连结OA、OB，则OAOB2SVBCMOABOBA四边形ABCD是正方形ADBC，DABCBA90OADOBCOADOBC（SAS）OCOD2）解：如图，连结OM、BD，则OMDM，且BD2AB22DM又OMOB，ODOD，ODMODB（SSS）OBBD，又ABD45OAB45，即OAB是等腰直角三角形2OAAB24、如图，在ABC中，ACBC，ACB90，以BC为直径的O交AB于D.（1）求证：ADBD；（2）弦CE交BD于M，若SVABC3SVBCMBD，求.CE1）略证：连结CD，则CDAB又ACBC，ACB90，ADBD2）解：如图，连结BE，过A作A

30、NCE于N，SVABC3SVBCM，SVACMAN2BECANBCE，ACBC，ANCCEBANCCEB（AAS）BECN，CEAN设CNBEx，则CEANBE2x，BC5x，AB2BC10 x，即BD10 x2BD10.CE4圆的培优专题12圆的切线与等腰三角形1、如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于D，与边AC交于E，过D作DFAC于F.（1）求证：DF为O的切线；（2）若DE5，AB5，求AE的长.1）证：如图，连结AD，OD，AB为O的直径，ADBC，又ABAC，OAOBEADDABADOODAC，又DFACODDF，又OD为O的直径DF为O的切线（2）解：EADD

31、AB，BDDE5，又AB5，AD52(5)225DFACADCD，DF2，CFEF(5)5221，AE5232、如图，在ABC中，ABAC，以边AB为直径作O，交BC于D，过D作DEAE.DE（1）求证：DE是O的切线；（2）连结OC，若CAB120，求OC的值.1）证：如图，连结AD，OD，则ADBC又ABAC，CDBD，又AOOBODAC，又DEAEODDF，DE是O的切线；2）解：如图，过点O作OFBD于F，则BD2BFABAC，CAB120，B30设OFx，则BF3x，OB2x，ACAB4x，CDBD23x，则CF33xDE21由勾股定理，得OC27x，由面积法，得DE3x，.3、如图

32、，ABAC，点O在AB上，O过点B，分别交BC于D、AB于E，DFAC.（1）证：DF为O的切线；（2）若AC切O于G，O的半径为3，CF1，求AC.1）证：如图，连结OD，ABAC，OBODBCODBODAC，又DFACODDF，又OD为O的半径DF为O的切线（2）解：如图，连结OG，AC为O的切线OGAC，又ODDF，DFAC，OGOD四边形ODFG是正方形，即OBOGGF3设AGx，则ABACx4，则AOx1x233(x1)2，x4，则AC84、如图，CD是O的弦，A为?的中点，E为延伸线上一点，切O于G.CDCDEGDK3（1）求证：KGGE；（2）若AC/EG，CK5，AK210，求

33、O的半径.（1）证：如图，连结OG，OA交CD于点FA为?的中点，是O的切线CDEGOACD，OGGEOAGAKFOGAEGK又OAGOGA，AKFEKGEGKEKGKGGE（2）解：ACEG，CAKEGK，又EGKEKGCKACAKCKA，CACK设CKCA5x，则DK3x，CD8x，CF4x，EGxAF(5x)2(4x)23x在RtAFK中，(3x)2x2(210)2，x2CE8，AE6，设O的半径为R，则R282（R6）2，R253圆的培优专题13圆与三角形的心里1、如图，AB是O的直径，?上一点，且CMAC.ACCE，点M为BC（1）求证：M为ABE的心里；（2）若O的半径为5，AE8

34、，求BEM的面积.1）证：如图，连结CE，则ACCECMCMECEM，CEACBECBEBEMCEAAEMAEMBEM，又ABCCBE点M为ABE的心里.（2）解：如图，过点M作MNBE于点N，则MN为ABE的内切圆的半径.AB10，AE8，则BE102826MN68102，MNabcab222abcBME的面积为1626.22、如图，O为ABC的外接圆，BC为直径，AD均分BAC点M是ABC的心里.（1）求证：BC2DM；（2）若DM52，AB8，求OM的长.（1）证：如图，连结BD，CD，BC为直径，AD均分BACBDCD，BDC90，BC2CD连结CM，则ACMBCM，DACBCDDMC

35、ACMDACBCMBCDDCM，DMCD，即BC2DM（2）解：明显，BC2DM10，AB8，则AC6，且MAE45如图，过M作MEBC于点N，作MFAC于点F，则MEMFAF2CFCE4，则OE1OM22125.3、如图，AB为O的直径，C为O上一点，D是?的中点，于，是ABDBCDEABEI的心里，DI的延伸线交O于N.（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE4，CE2，求O的半径和IN的长.（1）证：D是?的中点，BCOAODCADDAOADOODAE，又DEABODDE，又OD为O的半径DE是O的切线.（2）解：如图，过点O作OFAC，则AFCFDEAB，ODDE四边形ODEF是矩形，

36、则OFDE4设O的半径为R，则OAODEFR，AFCFR2（R2）242R2，R5，AB10，如图，连结BI，AN，BN，则INBNAN524、如图，在ABC中，ABAC，I是ABC的心里，O交AB于E，BE为O的直径.（1）求证：AI与O相切；（2）若BC6，AB5，求O的半径.（1）证：如图，延伸AI交BC于点D，则ADBC，连结OI，则OIBOBIOBDOIBC，又ADBCADOI，又OI为O的半径AI与O相切2）明显BD3，AB5，则AD4如图，过点I作IFAB于点F，则BFBD3，AF2，IFID，设IFIDx，则AI4x，x222(4x)2，则IFx32设O的半径为R，则OF3R，

37、（3R）2（3）2R2，R1528圆的培优专题14圆中动向问题1、如图，点P是等边ABC外接圆?上的一个动点，求证BCPAPBPC.证：如图，在AP上截取PDPC，连结CDABC是等边三角形，ABCACB60DPCABC60PCD是等边三角形，即CDPCACDBCDBCPBCD60ACDBCP，又ACBCACDBCP（SAS）ADBPPAADDPPBPC.2、已知弦ADBD，且AB2，点C在圆上，CD1，直线AD、BC交于点E.（1）如图1，若点E在O外，求AEB的度数；图1（2）如图2，若C、D两点在O上运动，CD的图2长度不变，点E在O内，求AEB的度数.解：（1）如图1，连结OC，ODA

38、DBDAB为O的直径，且AB2CDOCOD1，即OCD是等边三角形COD601CBD2COD=30AEB60（2）如图2，连结OC，OD1同理可得：ACD60，CBD2COD=30又ADB90，AED1203、已知直线l经过O的圆心O，且交O于A、B，点C在O上，且AOC30，点是直线l上一个动点（与O不重合），直线CP与O交于Q，且QPQO.（1）如图1，当点P在线段AO上时，求OCP的度数；（2）如图2，当点P在线段OA的延伸线上时，求OCP的度数；（3）如图3，当点P在线段OB的延伸上时，求OCP的度数.解：（1）如图1，设OCPx图1OCOQ，则OQPx又AOC30，QPQOQOPQPOx302(x30)x180OCPx40（2）如图2，设COQx，图2又AOC30，QPQOQOPQPOx30又OC