华东师大版八上13角平分线的性质与判定课件

1、13.5.3角平分线的性质13.5.3角平分线的性质回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。如图，OC是AOB的角平分线。探索 点P是射线OC上的任意一点，过点P作PDOB，PE OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长PAOBCED 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？PD=PE回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED PDOA，PEOB

2、,证明： PDO= PEO= 90在POD和POE中 PDOPEO（AAS） PDOPEO AOCBOCOP=OP PDPE结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。用几何语言表示： PD = PE（角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。（2）距离必须是垂直距离（1）必须是角平分线上的点 OC是AOB的角平分线PD OA ，PE OB角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。BA 如图，AD

3、平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD CD（）练习：判断 如图，AD平分BAC（已知） AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。不必再证全等 AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） 如图， DCAC，DBAB （已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD CD（） 如图， DCAC，DBAB （已知） PD=PE=PF.练习 教材P98练习1 2（2）若AB=10cm，DBE的周长= 。点P是射线OC上的任意一点，过点P作PDOB，PE O

4、A,点D、E为垂足，测量PD、PE的长反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 如图，AD平分BAC（已知）3：角平分线的判定结论：一处 B.结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 OC是AOB的角平分线已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E.角的平分线上的点到角的两边的距离相等1、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） PDOA，PEOB，PDPE例1、已知：AB=AC，BD=CD， DE AB于点E，DF AC于点F。求证：DE=DF PD=

5、PE=PF.例1、已知：AB=AC，BD=CD， ，1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ ABCDE 2、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=_cm.ADOBEPC知识应用DE=DC4cm，1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。（1）若AC=6cm，则DE+BD= 。（2）若AB=10cm，DBE的周长= 。 6cm10cm3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CA3、

6、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三角形的三条角平分线相交于一点。3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。这样，我们又可以得到一个结论：求证：点Q在AOB的平分线上观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？BC、CA，垂足分别为D、E、F3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。 AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）点P是射线OC上的任意一点，过点P作PDOB，PE OA,点D、E为垂足，测量PD

7、、PE的长到角的两边的距离相等的点在角平分线上。点Q在AOB的平分线上在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这样，我们又可以得到一个结论：即点P到边AB、BC、 CA的距离相等例1、已知：AB=AC，BD=CD， DE AB于点E，DF AC于点F。 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上思考3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CA证明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QD=QE Rt

8、QDORtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证明: QDOA，QEOB（已知），已知：如图,QD这样，我们又可以得到一个结论： 到角两边距离相等的点在角的平分线上。BADOPEC PDOA，PEOB，PDPE点Q在AOB的平分线上用几何语言表示：这样，我们又可以得到一个结论： BADOPEC PDOA例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCPMNABCPMN例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB

9、、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为D、E、FFDEDE BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等想一想，点P在A 的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？三角形的三条角平分线相交于一点。例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.例2、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD例2、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DF练习 教

10、材P98练习1 2练习 教材P98练习1 22、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.三角形的三条角平分线相交于一点。 如图，AD平分BAC（已知）反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等三角形的三条角平分线相交于一点。已知：如图,QDOA，QEOB，求证：点Q在AOB的平分线上结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等这样，我们又可以得到一个结论：点Q在AOB的平分线上点D、E为垂足，QDQE QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何

11、处修建? QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中这样，我们又可以得到一个结论：这样，我们又可以得到一个结论：1、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. CDABO拓展与延伸2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处

12、C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。D3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它小结:1：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等3：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。小结:1：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2 PD=PE=PF.证明: QDOA，QEOB（已知）， PD=PE=PF.到角的两边的距离相等的点在角平分线上。点D、E为垂足，QDQE两处 C.QOQO（公共边） QD=QE RtQDORtQEO（HL）点Q在AOB的平分线上要

13、使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?定理应用所具备的条件： PDOPEO（AAS）三角形的三条角平分线相交于一点。结论：它到角的两边的距离相等BM是ABC的角平分线，点P在BM上2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.（2）距离必须是垂直距离结论：它到角的两边的距离相等 = ，( )3：角平分线的判定结论：三处 D.例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.题设：一个点在一个角的平分线上观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如图，OC是AOB的角平分线。三角形的三条角平分线相交于一

14、点。在POD和POE中3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？想一想，点P在A 的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ = ，( )即点P到边AB、BC、 CA的距离相等即点P到边AB、BC、 CA的距离相等我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。点Q在AOB的平分线上观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？PD=PE例2、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，且BECF。已知：如图,QDOA，QEOB， 如图，AD平分BAC（已知）结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 AOCBOC例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。BC、CA，垂足分别为D、E、F 如图，AD平分BAC（已知）3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.这样，我们又可以得到一个结论：求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.结论：它到角的两