经济数学模型课件

1、经济数学模型2022/9/30经济数学模型经济数学模型2022/9/28经济数学模型2. 参考书1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编,高教 2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著 华南理工大学3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚 译,中国人大4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著, 朱保华 钱晓明 译 上海财大5. 经济学的结构-数量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著, 高峰 等译, 清华经济数学模型2. 参考书经济数学模型第一部分经济数学模型的概念及建模方法经济数学模型第一部分经济数学模型的概念及建模方法经济数学

2、模型1.1数学模型和模型的建立一、模型和数学模型1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。2. 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。经济数学模型1.1数学模型和模型的建立一、模型和数学模型1. 模型：人 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；(2) 给出描述问题的数学提法；(3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论；(4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.3. 需要解决

3、几个问题：经济数学模型 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，4.数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用模型改进经济数学模型4.数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分二、建立数学模型的一个实例1、问题的提出： 设市场上有n 种资产Si( i=1,2,n) 可供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产 Si 的平均收益率为 ri, 且预测出购买资产Si 的风险损失为qi。 经济数学模型二、建立数学模型的一个实例1、问题的提出： 设

4、 考虑到投资越分散，总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。 购买资产Si 的需要支付交易费，其费率为pi, 并且当购买额不超过u i时, 交易费按购买额 ui 计算。设同期银行存款利率是r0=5%, 且存取款时既无交易费也无风险。经济数学模型 考虑到投资越分散，总的风险越小。公经济数学模2. 对问题的定位：最优化问题 需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi ,即建立投资组合，实现两个目标：(1) 净收益最大化；(2) 整体风险最小化；经济数学模型2. 对问题的定位：最优化问题 需要确定购3. 建模准备：(1)决策变量： 资产Si

5、( i =0,1,n)的投入量xi , i =0,1, n, 其中S0 表示将资产存入银行。(2)投资收益： 购买资产Si (i=0,1,2, n)的收益率为 ri, 因此投资 xi 的收益率为 rixi , 除去交易费用ci(xi)，则投资 xi 的净收益为 Ri=rixi - ci(xi)。从而，总投资的总收益为 R(x)=Ri(xi)。 用数学符号和公式表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件经济数学模型3. 建模准备：(1)决策变量： 资产Si (3)投资风险： 购买资产Si ( i=0,1,2, n ) 的风险损失为qi , 因此投资xi 的收益率为qi xi, 其总体风险用Si的风

6、险，即 Qi(xi)= qi xi最大的一个来度量。从而总投资的风险损失为 Q (x)= maxQi(xi)。经济数学模型(3)投资风险： 购买资产Si ( i=0,1,(4) 约束条件：经济数学模型(4) 约束条件：经济数学模型b. 记 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 1=(1, 1, 1, ,1)T, c=(c0, c1, c2, , cn)T, r=(r0, r1, r2, ,rn )T,总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为经济数学模型b. 记 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 4. 两目标优化模型经济数学模型4. 两目标优化模型经济数学模型

7、5. 单目标优化模型求解模型令模型1求最大化收益。给定风险水平给定风险水平经济数学模型5. 单目标优化模型求解模型令模型1求最大化收益。给定风险水求解模型模型2求最小化风险。给定盈利水平令经济数学模型求解模型模型2求最小化风险。给定盈利水平令经济数学模型模型3 给定投资者对风险-收益的相对偏好参数0，求解模型经济数学模型模型3 给定投资者对风险-收益的相对偏好经济数学模型6. 简化交易费用下的模型uipiuixici0(1) 交易费用函数为经济数学模型6. 简化交易费用下的模型uipiuixici0(1) 交 由于固定费用pi ui 的存在在，使得前面的模型是非线性模型，很难求解模型。表示投资

8、于Si 的资金比例。在实际计算中，常假设M=1，则 当M 很大而 ui 相对较小时，可略去 pi ui 的作用，即ci(xi)=pixi, 则资金约束条件变为：经济数学模型 由于固定费用pi ui 的存在在，使得前面表示投资于(3) 简化交易费用下的模型：LP1：经济数学模型(3) 简化交易费用下的模型：LP1：经济数学模型LP2：经济数学模型LP2：经济数学模型LP3：经济数学模型LP3：经济数学模型1.2 优化模型的求解方法(1) 多元函数的无(有)条件极值；(2)* 线性(或非线性)规划方法；经济数学模型1.2 优化模型的求解方法(1) 多元函数的无(有)条件1.2.1 多元函数的极值

9、(一) 多元函数的极值 设 n 元函数 f (x1, x2, xn) 具有3 阶连续偏导数，记经济数学模型1.2.1 多元函数的极值 (一) 多元函数的极值经济数将函数 f (x1, x2, xn)在点 =(a1, a2, an)T处展开，有其中R 是余项, 包含 (xi -ai) 的 3 次以上的项。经济数学模型将函数 f (x1, x2, xn)在点 =(a1, 当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1, a2, an)T 是极大值点时，有因此，有经济数学模型 当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a 由于 f (a1, a2, an) 是极大值,当X 在 a

10、 附近变化时，省略高阶无穷小R ，则有记经济数学模型 由于 f (a1, a2, an) 是极则(1.6)变为 由于yi = xi ai 在 0 附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY 0 对所有Y 均成立，即H是负定矩阵，或者说 H 是正定矩阵。注：矩阵H 的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。经济数学模型则(1.6)变为 由于yi = xi ai (二) 多元函数极值的判断定理1.1 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1, a2, an)T处邻域内有定义，|H|0

11、，则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极大值的充分必要条件是且是负定矩阵(海森矩阵)。经济数学模型(二) 多元函数极值的判断定理1.1 设n元函数 f 定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X = (a1, a2, an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是且是正定矩阵(海森矩阵)。经济数学模型定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn)1.2.3 二次多项式函数的极值 函数 f (x1, x2, xn)是二次多

12、项式时，设矩阵 AT=A，记注： 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的二次型。经济数学模型1.2.3 二次多项式函数的极值 函数 f推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T 处达到极大值的充分必要条件是且矩阵A是负定矩阵。经济数学模型推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是且矩阵A是正定矩阵。经济

13、数学模型推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个1.2.2 多元函数条件极值 Lagrange multiplier经济数学模型1.2.2 多元函数条件极值 Lagra在一定的约束条件下求解问题的最优化解。 设n 元函数 u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 阶连续偏导数，且有m 个约束条件：(一)约束条件问题经济数学模型在一定的约束条件下求解问题的最优化解。(一)约束条件问题经济(1) 函数 u = f (x1, x2, xn) 的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数 u = f (x1, x2, xn) 的

14、极大值或极小值函数 u 的条件极值。说明：经济数学模型说明：经济数学模型(二) Lagrange multiplier 函数 引入 m 个拉格朗日乘数 1, 2, ,m , 构造新的函数 拉格朗日乘子函数：经济数学模型(二) Lagrange multiplier 函数 (三) 条件极值存在的必要条件经济数学模型(三) 条件极值存在的必要条件经济数学模型(四)应用实例(一) 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水经济数学模型(四)应用

15、实例(一) 一束光线由空气中A点经过水面折射后到解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q, OQ = l。 根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB，所需时间为：经济数学模型解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点经济数学 下面确定在 x何值时，T(x)在0, l上取得最小值。当 x0, l 时，由于经济数学模型 下面确定在 x何值时，T(x)在0, l上又T (x)在0, l上连续，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零点

16、 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )内唯一的极小值点。设 x0满足 T (x)=0, 即 与 1 联系与 2 联系经济数学模型又T (x)在0, l上连续，T (x)在 x(因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。记经济数学模型因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是(四)应用实例(二) 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系： 其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分

17、析，对每台电视机的生产成本 c 有如下测算：经济数学模型(四)应用实例(二) 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,其中c0 是只生产一台电视机的成本，k 是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p, 才能使该厂获得最大利润？ 分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格，才能获得最大利润。经济数学模型其中c0 是只生产一台电视机的成本，k 是规 解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为 u = (p - c) x (3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润

18、函数的最大值。 构造拉格朗日函数经济数学模型解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生经济数学模型令经济数学模型令经济数学模型由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(10)(11)(12)及(5)，可得经济数学模型由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(1最优销售价格为说明：在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格，必须预先给出这些参数。经济数学模型最优销售价格为说明：经济数学模型复习：微积分的相关内容1. 多元函数的偏导数的求法；2. 多元函数的无条件极值的求法；3. 多元函数的条件极值的求法；经济数学模型

19、复习：微积分的相关内容1. 多元函数的偏导数的求法；经济数1.2 优化模型的求解方法(1) 一元函数的无(有)条件极值；(2) 多元函数的无(有)条件极值；(3)* 线性(或非线性)规划方法；经济数学模型1.2 优化模型的求解方法(1) 一元函数的无(有)条件定理 1 (极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左正右负” ,(2) “左负右正” ,(1) 一元函数的极值与最大(小)值经济数学模型定理 1 (极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “定理2 (极值第二判别法)二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证: (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证

20、.经济数学模型定理2 (极值第二判别法)二阶导数 , 且则 二、最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点或端点处达到 .求函数最值的方法:(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值经济数学模型二、最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点或端点处达到 .特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)经济数学模型特别: 当 在 内只有一个例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB

21、,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为问D 点应如何选取? 使货物从B 运到工厂C 的运费最省,20km ,条公路, 经济数学模型例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C ( k 为某一常数 )解: 设则令得 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费从而为最小点 ,经济数学模型( k 为某一常数 )解: 设则令得 又所以 例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确定光线的路径。O

22、Qh2h1PAB12x空气水经济数学模型 例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q, OQ = l。 根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB，所需时间为：经济数学模型解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点经济数学 下面确定在 x何值时，T(x)在0, l上取得最小值。当 x0, l 时，由于经济数学模型 下面确定在 x何值时，T(x)在0, l上又T (x)在0, l上

23、连续，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零点 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )内唯一的极小值点。设 x0满足 T (x)=0, 即 与 1 联系与 2 联系经济数学模型又T (x)在0, l上连续，T (x)在 x(因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。记经济数学模型因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是 (二) 多元函数的极值 设 n 元函数 f (x1, x2, xn) 具有3 阶连续偏导数，记经济数学模型 (二) 多元函数的极值经济数学模型将函数 f (x1, x2, xn)在点 =(a1, a2, an)T处展开，有其中R 是余项, 包

24、含 (xi -ai) 的 3 次以上的项。经济数学模型将函数 f (x1, x2, xn)在点 =(a1, 当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1, a2, an)T 是极大值点时，有因此，有经济数学模型 当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a 由于 f (a1, a2, an) 是极大值,当X 在 a 附近变化时，省略高阶无穷小R ，则有记经济数学模型 由于 f (a1, a2, an) 是极则(1.6)变为 由于yi = xi ai 在 0 附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY 0 对所有Y 均成立，即H是负定矩阵，或者说 H 是正定矩阵。矩阵H 的

25、正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。经济数学模型则(1.6)变为 由于yi = xi ai 多元函数极值的判断定理1.1 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1, a2, an)T处邻域内有定义，|H|0,则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极大值的充分必要条件是且是负定矩阵(海森矩阵)。经济数学模型多元函数极值的判断定理1.1 设n元函数 f (x1, 矩阵H 的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序

26、主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。经济数学模型矩阵H 的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数, 且在点X = (a1, a2, an)T处邻域内有定义, |H|0,则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是且是正定矩阵(海森矩阵)。经济数学模型定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn)1.2.3 二次多项式函数的极值 函数 f (x1, x2, xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记注： 当B = 0，且C = 0 时，f

27、 (X)即是线性代数中的二次型。经济数学模型1.2.3 二次多项式函数的极值 函数 f推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T 处达到极大值的充分必要条件是且矩阵A是负定矩阵。经济数学模型推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式, 且AT=A。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是且矩阵A是正定矩阵。经济数学模型推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个多元函数条件极值 Lagrange multiplier经济数学模型多元函数条件极值 Lagrange mult 在一定的约束条件下求解问题的最优化解。 设n 元函数 u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 阶连续偏导数，且有m 个约束条件：(一)约束条件问题经济数学模型 在一定的约束条件下求解问题的最优化解。(一)约束条件问题经(1) 函数 u = f (x1, x2, xn) 的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数 u = f (x1, x2, xn) 的极大值或极小值函数 u 的条件