例谈立体几何中的转化新课标人教版

1、例谈立体几何中的转变立体几何中所包括的数学思想方法特别丰富，其中最重要的就是转变的思想方法，它贯串立体几何授课的向来，在立体几何授课中占有很重要的地位。立体几何中的转变主假如空间问题向平面问题的转变，详细从以下几个方面下手。1、地点关系的转变线线、线面、面面平行与垂直的地点关系是立体几何中的一个重点内容，其精华就是平行与垂直地点关系的相互依存及转变，平行与垂直问题不仅好横向转变，而且能够纵向转变。例1已知三棱锥SABC中，ABC90，侧棱SA底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EFSC。SF分析：A、E、F三点不共线，AFSC，要证EFSC，只需证SC平面AEF，只需证S

2、CAE（如图1）。又BCAB，BCSA，BC平面SAB，SB是SC在平面SAB上的射影。只需证AESB（已知），EFSC。例2设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以2)。求证：平面AB1E平面C1DF。EACB图1EF为棱将矩形折成二面角AEFC1(如图分析一（纵向转变）：BEAAEDF，AE平面C1DF，D1AE平面C1DF.同理，B1E平面C1DF，DCF又AEBEE，平面ABE平面CDF。C1111分析二（横向转变）：图2AEEF，B1EEF，且AEB1EE，EF平面C1DF。同理，EF平面C1DF。平面AB1E平面C1DF。2、降维转变由三维空间向二维平面转变，是研究立体几何

3、问题的重要数学方法之一。降维转变的目的是把空间的基本元素转变到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判判定理的证明就是转变成三角形全等的平面问题。例3如图-3，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，ABC90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.322分析：这类问题平常都是将几何体的侧面张开成平面图形来解决。图-3又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最后都是转变成平面上两订交直线成的角来进行的。例4如图-4直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB

4、|CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）解：由题意AB/CD，C1BA是异面直线BC与DC所成的角.1连接AC1与AC，在RtADC中，可得AC5，又在RtACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH/AD交AB于H，得CHB90,CH2,HB3,CB13又在RtCBC1中，可得BC117，AB2BC12AC12在ABC1中,cosABC12ABBC1图-4317,ABC1arccos317.1717异而直线BC1与DC所成角的大小为。实现空间问题向平面问题转变的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、张开法和协助面法等等。

5、3、割补转变“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，经过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的打破口。例5如图5，三棱锥PABC中，已知PABC，PABCn,PA与BC的公垂线EDh，12求证：三棱锥PABC的体积V6nh.本题证法很多，下面用割补法证明以下：分析一：如图5，连接AD、PD，BCDE，BCAB，BC平面APD，又DEAP，PEACDB图5VVV1BCS1n2h。6PABCBAPDCAPD3APD分析二：如图6，以三棱锥PABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄PB1C1ABC，连接EC、EB，则易证AP平面EBC，1C122P

6、VAPSnh。B1ECAB图611n2hVPABC=3V三棱拄=6。4、等积转变“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很适用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转变”（或称等积变换）是以面积、体积（特别是周围体的体积）作为媒介，来交流相关元素之间的联系，从而使问题获取解决。例6如图7，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱棱锥A1EBFD1的体积。略解：易证四边形EBFD是菱形，B11连接A1C1、EC1、AC1、AD1，则VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF-A1ED1=2VC1-A1ED111=2V=V=6V6a。E-A1C1D1A-A1C1D1正方

7、体AC135、抽象向详细转变B例7A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是90、90、60。求球O夹在二面角BAOC间部分的体积。分析：本题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即AOBAOC90，BOC60，然后给出图形（如图8），则可想象本题意即为用刀沿60二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，AA1与CC1的中点，求四A1D1C1EFDA1C图-7AOCB2r3（答：9）。问题于是变得直观详细多了。AD图8例8三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60角，求此直线与其他一条直线所成的角。分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题能够转变成以下问题：长方体一条对角线与同一极点上的三条棱所成的角分别是60、60、，求的大小。依照长方体的性质，有coscos60cos601，可求得45。BCA1D1B1C1图9立体几何的授课，重点是要调换学生的学习兴趣，让他们学会联想与转变。立体几何的很多定理、结论源