浙江版高考数学总复习专题8.1空间几何体的三视图、表面积和体积（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 19学好数理化，走遍天下都不怕专题八立体几何【真题探秘】8.1空间几何体的三视图、表面积和体积探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点简单的几何体的结构特征、三视图和直观图1.理解柱、锥、台、球的结构特征,了解与正方体和球有关的组合体的结构特征.2.能画出简单的空间几何体的三视图,会用斜二测画法画出它们的直观图.3.理解三视图和直观图的联系,能识别三视图所表示的简单空间几何体.2019浙江,4,4分棱柱的三视图与直观图棱柱的体积2017浙江,3,4分组合体的三视图三棱锥、圆锥的体积2015浙江,2,5分组合体的三视图棱柱、棱锥

2、的体积空间几何体的表面积和体积1.会计算柱、锥、台、球的表面积(不要求记忆公式).2.会计算柱、锥、台、球的体积(不要求记忆公式).2018浙江,3,4分棱柱的体积棱柱的三视图2016浙江,14,4分几何体的体积空间点、线、面的位置关系分析解读1.三视图与直观图的识别及二者的相互转化是高考考查的热点,考查几何体的展开图、几何体的三视图.2.考查柱、锥、台、球的结构特征,以性质为载体,以选择题、填空题的形式呈现.3.考查柱、锥、台、球的表面积与体积的计算,主要是与三视图相结合,也可与柱、锥、球的切接问题相结合,不规则几何体的表面积与体积的计算也有可能考查.(例:2019浙江,4)4.预计2021

3、年高考试题中,对三视图与直观图的识别以及求由三视图还原所得几何体的表面积和体积的考查是重点.柱、锥、台、球的结构特征可能以选择题、填空题的形式出现,它们的表面积与体积的计算还是会与三视图相结合,或以组合体的形式出现,复习时应重视.破考点 练考向【考点集训】考点一简单几何体的结构特征、三视图和直观图1.(2019浙江金丽衢联考,4)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积为()A.2 cm2 B.22 cm2C.(22+1) cm2D.(22+2) cm2答案B2.(2019浙江金丽衢十二校联考,5)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.43B.83C.16

4、3答案B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2018浙江浙东北联盟期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.13+B.2C.13+2D.2答案A2.(2020届浙江镇海中学期中,5)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是() A.76B.84C.76+82D.84+82答案C3.(2020届浙江宁波十校联考,13)祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”,称为祖暅原理.意思是底面处于同一个平面上的两个同高的几何体,若在等高处的截面面积始终相等,则它们的体积相等.利用这个原理求半球O的体积时,需要构造一个几何

5、体,该几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.答案23;(3+4.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),13)已知某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的表面积为,体积为.答案1+24+4;炼技法 提能力【方法集训】方法1根据三视图确定直观图的方法1.(2019浙江绍兴数学测试,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是() A.823 B.82C.42答案C2.(2019浙江高考数学仿真卷(二),5)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.3+636C.23+6答案A方

6、法2空间几何体的表面积和体积的求解方法1.(2020届浙江台州一中模拟,4)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.42+23+6B.4C.42+23+4D.8答案A2.(2019浙江宁波期末,6)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.13+12B.1C.1+4 D.1+答案D3.(2020届浙江师大附中11月模拟,12)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体最长的一条棱的长度是cm,体积为cm3.答案43;644.(2019浙江金华十校期末,14)一个棱柱的底面是边长为6的正三角形,侧棱与底面垂直,其三视图如图所示,则这个棱柱的体积为,此棱柱的外接球

7、的表面积为.答案363;64【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一简单几何体的结构特征、三视图和直观图1.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是() A.158B.162C.182D.324答案B2.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是() A.2+1B.2+3C.32+1答案A3.(2015浙江,2,5分)某

8、几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8 cm3B.12 cm3C.323 cm3D.403 答案C考点二空间几何体的表面积和体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C2.(2016浙江,14,4分)如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.答案1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一简单几何体的结构特征、三视图和直观图1.(2018课标全国文,9,5分)某圆柱

9、的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为() A.217B.25C.3D.2答案B2.(2018北京理,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2018课标全国文,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A4.(2017北

10、京文,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10答案D5.(2017课标全国理,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案B6.(2019北京理,11,5分)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.答案407.(2019课标全国理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的

11、形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分) 图1 图2答案26;2-1考点二空间几何体的表面积和体积1.(2019课标全国理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()A.86B.46C

12、.26D.6答案D2.(2018课标全国文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122B.12C.82D.10答案B3.(2018课标全国文,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83答案C4.(2018课标全国文,12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.

13、543答案B5.(2017课标全国理,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2答案B6.(2019天津文,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案7.(2019课标全国文,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1

14、=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.88.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.答案109.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案4C组教师专用题组考点一简单几何体的结构特征、三视图和直观图1.(2017课标全国理,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A.90B.63

15、C.42D.36答案B2.(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.32B.23C.22D.2答案B3.(2016课标全国,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20B.24C.28D.32答案C4.(2015课标,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16答案D5.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+B.23+C.13+2答案A6.(2015安徽,7,5分)一个四面

16、体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+3B.2+3C.1+22D.22答案B7.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3B.4C.2+4D.3+4答案D考点二空间几何体的表面积和体积1.(2016课标全国,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.92C.6答案B2.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.1答案A3.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如

17、图所示.则该几何体的体积为()A.13+23B.13+23C.13+2答案C4.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B5.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工

18、件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89 B.C.4(2-答案A6.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A.23B.43答案C7.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5B.4+5C.2+25D.5答案C8.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则

19、四棱锥M-EFGH的体积为.答案19.(2017课标全国理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案41510.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案9211.(2017课标全国文,15,5分)长方体的长,宽

20、,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案1412.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案8313.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案714.(2017课标全国文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为27,求四棱

21、锥P-ABCD的体积.解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CM因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=142因为PCD的面积为27,所以122

22、x142x=2解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=132(2+4)15.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C

23、1D1的体积V锥=13A1B12PO1=136正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1B12+PO1所以2a22即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a263(36h-h3从而V=263(36-3h2)=26(12-h2令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是单调增函数;当23h6时,V0,V是单调减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23 m时,仓库的容积最大.方法小结(1)注意正四棱锥与正四棱柱底面相同,高的倍数关系.(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变量的函数.转化成求函数最值的问题,再考虑用导数求解.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2019浙江